Giải SBT Toán 10 Bài 2. Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ có đáp án

a) Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = a’x + b’

Đường thẳng đi qua điểm A−32;0 ; B(0; 3)

Ta có hệ −32a'+b'=00.a'+b'=3⇔a'=2b'=3 

Suy ra đường thẳng có dạng y = 2x + 3 ⇔ 2x – y + 3 = 0

Vì vậy a = 2; b = – 1; c = 3.

b) Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = a’x + b’

Đường thẳng đi qua điểm A(1; 0) ; B(0; 1)

Ta có hệ a'+b'=00.a'+b'=1⇔a'=−1b'=1 

Suy ra đường thẳng có dạng y = – x + 1 ⇔ x + y – 1 = 0

Vì vậy a = 1; b = 1; c = – 1.

c) Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = a’x + b’

Đường thẳng đi qua điểm A(0; 3) và song song với trục hoành nên đường thẳng có dạng y c 3 = 0

Vì vậy a = 0; b = 1; c = – 3.

d) Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = a’x + b’

Đường thẳng đi qua điểm A(– 2; 0) và song song với trục Oy nên đường thẳng có dạng x + 2 = 0.

Vì vậy a = 1; b = 0; c = 2.

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(2; 2) và có vectơ chỉ phương u→ = (4; 7) nên ta có phương trình tham số của đường thẳng d là: 

x=2+4ty=2+7t

Đường thẳng d đi qua điểm M(2; 2) và có vectơ chỉ phương u→ = (4; 7) nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n→ (7; –4) phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 7(x – 2) – 4(y – 2) = 0 ⇔ 7x – 4y – 6 = 0.

b) Đường thẳng d đi qua điểm N(0; 1) và có vectơ pháp tuyến là n→= (– 5; 3) nên ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là: – 5(x – 0) + 3(y – 1) = 0 ⇔ – 5x + 3y – 3 = 0.

Đường thẳng d đi qua điểm N(0; 1) và có vectơ pháp tuyến là n→= (–5 ; 3) nên ta có vectơ chỉ của đường thẳng d là u→(3; 5) phương trình tham số của đường thẳng d là: x=3ty=1+5t.

c) Đường thẳng d đi qua A(–2; –3) và có hệ số góc k = 3 nên phương trình tổng quát của đường thẳng d là: y = 3(x + 2) – 3 ⇔ 3x – y + 3 = 0.

Khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n→3;−1 suy ra vectơ chỉ phương u→(1;3). Vì vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: x=−2+ty=−3+3t.

d) Đường thẳng d đi qua hai điểm P(1; 1) và Q(3; 4) nên vectơ chỉ phương u→=PQ→ = (2; 3) và có vectơ pháp tuyến là vectơ n→ (3; – 2).

Phương trình tham số của đường thẳng d là: x=1+2ty=1+3t.

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 3(x – 1) – 2(y – 1) = 0 ⇔ 3x – 2y – 1 = 0.

a) Đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là vectơ u→=12BC→=(2;1) và có vectơ pháp tuyến là vectơ n→=(1;−2) nên phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 1(x – 0) – 2(y – 1) = 0 ⇔ x – 2y + 2 = 0.

b) Ta có M là trung điểm của BC nên toạ độ của M là: M(2; 2).

Đường thẳng AM có vectơ chỉ phương là vectơ u→=AM→ = (1; – 2) nên phương trình tham số của đường thẳng AM là: x=1+ty=4−2t 

c) Đường cao AH đi qua điểm A(1; 4) và có vectơ pháp tuyến là n→=12BC→ = (2; 1) nên phương trình tổng quát của đường cao AH là: 2(x – 1) + 1(y – 4) = 0 ⇔ 2x + y – 6 = 0.

a) Đường thẳng Δ đi qua M(3; 3) và song song với đường thẳng x + 2y – 2022 = 0 nên đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là vectơ Δ (1; 2) phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: 1(x – 3) + 2(y – 3) = 0 ⇔ x + 2y – 9 = 0

b) Đường thẳng Δ đi qua N(2; –1) và vuông góc với đường thẳng 3x + 2y + 99 = 0 nên đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là vectơ n→(2; – 3) phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: 2(x – 2) – 3(y + 1) = 0 ⇔ 2x – 3y – 7 = 0.

a) d₁ và d₂ có véc tơ pháp tuyến lần lượt là n1→ (2; 1) và n2→ (2; 3)

Ta có: a₁.b₂ – a₂.b₁ = 2.3 – 1.2 = 4 ≠ 0, suy ra véc tơ n1→ và n2→ là hai vectơ không cùng phương. Do đó d₁ và d₂ cắt nhau tại một điểm M.

Giải hệ phương trình 2x+y+9=02x+3y−9=0  ta được M(- 9; 9).

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau tại một điểm M.

b) Ta có d₁: x=2+ty=1−2t suy ra phương trình tổng quát của d₁ là: 2x + y – 5 = 0

d₁ và d₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1→(2; 1) và n2→(2; 1).

Ta có: a₁.b₂ – a₂.b₁ = 2.1 – 1.2 = 0, suy ra vectơ n1→ và n2→ là hai vectơ cùng phương. Do đó d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau. Ta lấy M(– 4; – 2) thuộc d₂ , thay toạ độ M vào d₁ ta được 2.(– 4) + (– 2) – 5 = – 15 ≠ 0 suy ra M không thuộc d₁. Vậy d₁ song song với d₂.

c) Ta có d₁: x=1−ty=8−5t⇔t=x−1−1t=y−8−5⇒x−1−1=y−8−5⇔5x−y+3=0 suy ra phương trình tổng quát của d₁ là: 5x – y + 3 = 0.

Khi đó d₁ và d₂ đều có phương trình tổng quát là 5x – y + 3 = 0

Vậy d₁ trùng với d₂.

Ta có d: x=1+ty=2+2t

Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2x – y = 0

Tạo độ giao điểm của d với đường thẳng ∆ là nghiệm của hệ phương trình:

x+y−2=02x−y=0⇒x=23y=43

Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng ∆ là: M23;43.

a) d₁ và d₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là n→1 (5; – 3) và n→2(10; – 6).

Ta có cosd1,d2=5.10+(−3).(−6)52+(−3)2.102+(−6)2=1.

Suy ra (d₁, d₂) = 0^o

b) d₁ và d₂ có véc tơ pháp tuyến lần lượt là n1→ (7; – 3) và n2→(3; 7)

Ta có a_1.a₂ +b₁.b₂ = 7.3 + (– 3).7 = 0, suy ra (d₁, d₂) = 90^o.

c) d₁ và d₂ có véc tơ pháp tuyến lần lượt là n1→ (2; – 4) và n2→(6; – 2)

Ta có cosd1,d2=2.6+(−4).(−2)22+(−4)2.62+(−2)2=22 

Suy ra (d₁, d₂) = 45^o.

a) Ta có d(M,Δ)=8.2−6.3+782+(−6)2=12.

Vậy khoảng cách từ điểm M(2; 3) đến đường thẳng ∆ là: 12.

b) Ta có d(M,Δ)=4.0+9.1−2042+92=119797.

Vậy khoảng cách từ điểm M(0;1) đến đường thẳng ∆ là: 119797.

c) Ta có d(M,Δ)=3.1−532=23.

Vậy khoảng cách từ điểm M(1; 1) đến đường thẳng ∆ là: 23.

d) Ta có d(M,Δ)=4−2512=21.

Vậy khoảng cách từ điểm M(4; 9) đến đường thẳng ∆ là: 21.

Vì đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (C) nên ta có d(J,Δ)=R 

⇔4.1−3.2+c42+(−3)2=3

⇔−2+c=15(1)−2+c=−15(2)

Xét phương trình (1) ta có – 2 + c = 15 ⇔ c = 17

Xét phương trình (2) ta có – 2 + c = – 15 ⇔ c = – 13

Vậy c = 17 hoặc c = – 13 thoả mãn bài toán.

Ta có ∆ và ∆’ có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1→ (6; 8) và n2→ (6; 8) hai vectơ này cùng phương. Do đó ∆ và ∆’ song song hoặc trùng nhau.

Dễ dàng nhận thấy ∆ và ∆’ song song với nhau, thật vậy:

Ta lấy M0;118  thuộc ∆, thay tọa độ điểm M0;118 vào phương trình ∆’ ta được:

6.0 + 8.118 – 1 = 10 ≠ 0 nên M ∉∆’.

Khi đó, ta có: d(Δ,Δ')=d(M,Δ')=6.0+8.118−162+82=1.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ bằng 1.

Giả sử người ngồi trên xe khách là điểm M đang di chuyển trên đường cao tốc có dạng là đường thẳng ∆ như hình vẽ. Ta thấy khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông S khi người đó di chuyển đến điểm C và SC ⊥ ∆. Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông S bằng đoạn SC = d_{(S, ∆)}.

Ta có d(S,Δ)=12.5+5.1−20122+52=4513 

Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông S bằng 4513 km.