8 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ (Thông hiểu) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thay điểm A(2; 4) vào phương trình tham số ta có: $\left\{\begin{array}{l}2=2t+1\\ 4=3t+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{1}{2}\\ t=\frac{2}{3}\end{array}\right.$(vô lí).

Vậy A(2; 4) không thuộc đường thẳng d.

Tương tự điểm C(10; 1) và điểm D(3; ‒10) không thuộc đường thẳng d.

Thay điểm B(3; 5) vào phương trình tham số ta có: $\left\{\begin{array}{l}3=2t+1\\ 5=3t+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=1\\ t=1\end{array}\right.\iff t=1$.

Vậy B(3; 5) thuộc đường thẳng d.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta xét từng phương án:

• Phương án A: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=2.3+5.4=26\ne 0$ nên vectơ ở phương án A không là vectơ chỉ phương của d.

• Phương án B:$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=2.\left(-10\right)+5.4=0$ nên vectơ ở phương án B là vectơ chỉ phương của d.

• Phương án C: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=2.3+5.\left(-4\right)=-14\ne 0$ nên vectơ ở phương án C không là vectơ chỉ phương của d.

• Phương án C: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=2.\left(-2\right)+5.\left(-1\right)=-9\ne 0$ nên vectơ ở phương án D không là vectơ chỉ phương của d.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;3\right)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(3;-1\right)$.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;-1\right)$ và đi qua điểm M(3; 4) nên có phương trình tổng quát là: 3(x – 3) – 1.(y – 4) = 0 hay 3x – y – 5 = 0.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tọa độ M giao của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x-3y+1=0\\ 2x+3y-10=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=\frac{4}{3}\end{array}\right.$ 

Vậy $M\left(3;\frac{4}{3}\right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm M đến một điểm bất kì nằm trên đường thẳng d chính là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d.

Do đó ta có: $d\left(M,d\right)=\frac{\left|3+4.4-10\right|}{\sqrt{1^2+4^2}}=\frac{9}{\sqrt{17}}$.

Vậy khoảng cách nhỏ nhất từ điểm M đến một điểm bất kì nằm trên đường thẳng d bằng $\frac{9}{\sqrt{17}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Do B(2; 5) và M(3; 4) là trung điểm của BCnên C = (3.2 – 2; 4.2 – 5) = (4; 3).

Khi đó ta có: $\overrightarrow{AM}=\left(2;2\right),\overrightarrow{AC}=\left(3;1\right)$.

Góc giữa 2 đường thẳng AG và AC là góc giữa 2 đường thẳng AM và AC.

Suy ra: $\cos \left(AG,AC\right)=\left|\cos \left({\overrightarrow{u}}_{AM},{\overrightarrow{u}}_{AC}\right)\right|$ 

                                   = $\frac{\left|2.3+2.1\right|}{\sqrt{2^2+2^2}.\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{8}{\sqrt{80}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$ 

Suy ra (AG, AC) $\approx$ 26^o34’.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d: 7x + 2y – 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_d=\left(7;2\right)$

Đường thẳng D: $\left\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=1-5t\end{array}\right.$ có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }=\left(1;-5\right)$

$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{\Delta }=\left(5;1\right)$ là một vectơ pháp tuyến của D.

Ta có 7 . 1 – 2 . 5 = –3 ≠ 0 nên hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_d$ và ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }$ không cùng phương, do đó hai đường thẳng d và ∆ cắt nhau.

Lại có 7 . 5 + 2 . 1 = 37 ≠ 0 nên hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_d$ và ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }$ không vuông góc với nhau, do đó hai đường thẳng d và ∆ không vuông góc với nhau.

Vậy ta chọn phương án C

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 2; 2) và có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }=\left(1;-7\right)$

Do đó ∆ có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }=\left(7;1\right)$.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_d=\left(7;1\right)$.

Thay tọa độ điểm A(– 2; 2) vào phương trình d: 7x + y – 3 = 0 ta có:

7.(–2) + 2 – 3 = –15 ≠ 0.

Do đó đường thẳng d không đi qua điểm A(– 2; 2).

Vậy hai đường thằng d và ∆ song song với nhau.

Khi đó $d\left(\Delta ;d\right)=d\left(A;d\right)=\frac{\left|7.\left(-2\right)+2-3\right|}{\sqrt{7^2+1^2}}=\frac{15}{\sqrt{50}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.