20 câu trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2. Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đường thẳng \(d:x - 2y + 3 = 0\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Chọn A.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = - 2 + 3t\end{array} \right.\) là \(\overrightarrow u = \left( { - 4;3} \right)\). Chọn A.

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)\) có phương trình là

\(2\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 5y + 12 = 0\). Chọn C.

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( { - 4;3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;5} \right)\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 - 2t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.\). Chọn A.

Đường thẳng \(d \bot \Delta \) nên \(d\) nhận vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 3;5} \right)\) của đường thẳng \(\Delta \) làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {5;3} \right)\).

Khi đó \(d\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 5t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\). Chọn B.

Đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 3;6} \right) = - 3\left( {1; - 2} \right) = - 3\overrightarrow {{n_1}} \).

Do đó \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương.

Lại có \(\left( { - 1;0} \right)\) thuộc \({\Delta _1}\) nhưng không thuộc \({\Delta _2}\). Do đó \({\Delta _1}//{\Delta _2}\). Chọn D.

Ta có \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 \cdot 1 - 12 \cdot 1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 1\). Chọn D.

Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 3;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;3} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\).

Đường thẳng \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;3} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{n_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_2}} \) nên hai đường thẳng này song song hoặc trùng nhau.

Lại có \(A\left( {1;3} \right)\) thuộc \({d_1}\) và thuộc \({d_2}\) nên hai đường thẳng này trùng nhau. Chọn B.

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1},{d_2}\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\).

Khi đó \[\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 3 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi = 45^\circ \]. Chọn A.

Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\).

Đường thẳng \(d'\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\).

Khi đó \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 1 \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\). Chọn A.

a) Đường thẳng \({d_1}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {5; - 12} \right)\).

b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {0;3} \right)\) vào phương trình đường thẳng \({d_2}\) ta thấy không thỏa mãn.

Vậy đường thẳng \({d_2}\) không đi qua điểm \(A\left( {0;3} \right)\).

c) Đường thẳng \(\Delta //{d_2}\) có dạng \(x + 2y + c = 0\).

Mà \(\Delta \) đi qua \(I\left( {2;1} \right)\) nên \(2 + 2 \cdot 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 4\).

Vậy \(x + 2y - 4 = 0\).

d) \(M \in {d_2}\) nên \(M\left( {3 - 2b;b} \right)\).

Khi đó \(I{M^2} = {\left( {1 - 2b} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow 5{b^2} - 6b + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = \frac{1}{5}\end{array} \right.\).

Vì \(b \ge 1\) nên \(b = 1 \Rightarrow M\left( {1;1} \right)\). Khi đó \(a + b = 2\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;    c) Đúng;   d) Sai.

a) Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 6} \right)\).

b) Có \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;4} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BC\). Suy ra đường thẳng \(BC\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {4;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

c) Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( {4;3} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 6} \right)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2t\\y = 3 - 6t\end{array} \right.\).

d) \(M\left( {\frac{3}{2}; - 1} \right)\) là trung điểm của \(BC\).

Có \(\overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{5}{2}; - 4} \right) = \frac{1}{2}\left( { - 5; - 8} \right)\).

Do đó đường trung tuyến \(AM\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 5; - 8} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;    c) Sai;  d) Sai.

a) \(d\left( {N,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5 \).

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\left( {1; - 1} \right)\) nên có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).

c) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt \(Ox\) tại \(C\left( {3;0} \right)\) và cắt \(Oy\) tại \(D\left( {0;3} \right)\).

Khi đó \({S_{\Delta COD}} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}\).

d) Giả sử \(\Delta \) cắt tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)\) với \(a > 0,b > 0\).

Khi đó phương trình đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

Vì \(\Delta \) đi qua \(N\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz ta có:

\(\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge {\left( {\frac{1}{{\sqrt a }} \cdot \sqrt a + \frac{2}{{\sqrt b }} \cdot \sqrt b } \right)^2} = 9\)\( \Rightarrow a + b \ge 9\) hay \(OA + OB \ge 9\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(OA + OB\) bằng 9.

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Đúng;    d) Đúng.

a) \(d\left( {O,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 9} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{9}{5}\).

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\left( {3; - 4} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Lại có \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 4 \cdot 3 + 3 \cdot \left( { - 4} \right) = 0\). Do đó \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).

c) Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 4t\\3x - 4y + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 4t\\3\left( {1 + 3t} \right) - 4\left( {3 - 4t} \right) + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\\t = 0\end{array} \right.\).

Suy ra \(M\left( {1;3} \right)\).

Giả sử \(I\left( {a;b} \right)\).

Theo đề ta có \(IO = IA = IM\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2}\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 1\\6b = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Vậy \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

d) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _1}\) là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 4} \right)\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.

a) Đường thẳng \({d_1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {5; - 2} \right)\) nên có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)\).

b) Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \(\left( { - 4;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(2\left( {x + 4} \right) + 5\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 5y - 2 = 0\).

c) Ta có \(\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\) và \(\overrightarrow {n'} = \left( {3; - 7} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_2}\).

Ta thấy \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {n'} \) không cùng phương nên hai đường thẳng này cắt nhau.

d) Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

Ta có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 3 + 5 \cdot \left( { - 7} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} }} = \frac{{29}}{{29\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \varphi = 45^\circ \).

Đáp án: a) Sai;    b) Sai;   c) Đúng;    d) Đúng.

Vì \(P \in \Delta \) nên \(P\left( {a;a + 2} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {PM} = \left( {1 - a; - a - 2} \right);\overrightarrow {PN} = \left( { - 1 - a;1 - a} \right)\).

Do tam giác \(MNP\) vuông tại \(P\) nên \(\overrightarrow {PM} \cdot \overrightarrow {PN} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {1 - a} \right)\left( { - 1 - a} \right) + \left( { - a - 2} \right)\left( {1 - a} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 1 + {a^2} + a - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 2{a^2} + a - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).

Vì \(a \in \mathbb{Z}\) nên \(a = 1 \Rightarrow b = 3\).

Vậy \(T = 2a + 3b = 11\).

Dễ thấy \(A,B\) nằm khác phía với đường thẳng \(d\).

Khi đó \(AM + MB \ge AB\).

Do đó đường đi ngắn nhất khi 3 điểm \(A,B,M\) thẳng hàng.

Suy ra \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} \) cùng phương.

Ta có \(M \in d \Rightarrow M\left( {t; - 5 - 2t} \right)\), \(\overrightarrow {AM} = \left( {t - 1; - 2t - 2} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;5} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} \) cùng phương nên \(\frac{{t - 1}}{{ - 5}} = \frac{{ - 2t - 2}}{5}\)\( \Leftrightarrow 5\left( {t - 1} \right) - \left( { - 2t - 2} \right) \cdot \left( { - 5} \right) = 0 \Rightarrow t = - 3\)\( \Rightarrow M\left( { - 3;1} \right)\).

Do đó \(a + b = - 2\).

Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(d\) nên có dạng: \(x + 3y + c = 0\).

Lại có \(d\left( {A,\Delta } \right) = 2\sqrt {10} \) nên \(\frac{{\left| {3 + 3 \cdot 2 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = 2\sqrt {10} \)\( \Leftrightarrow \left| {9 + c} \right| = 20\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9 + c = 20\\9 + c = - 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 11\\c = - 29\end{array} \right.\).

Vì \(a;b;c \in \mathbb{N};a < 2\) nên \(x + 3y + 11 = 0\).

Do đó \(a = 1;b = 3;c = 11\). Vậy \(T = 3 \cdot 1 + 3 + 4 \cdot 11 = 50\).

Hai đường đi của hai tàu có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 33;25} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 30; - 40} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường đi của hai tàu.

Ta có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 33 \cdot \left( { - 30} \right) + 25 \cdot \left( { - 40} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 33} \right)}^2} + {{25}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 30} \right)}^2} + {{\left( { - 40} \right)}^2}} }} \approx 0,00483 \Rightarrow \varphi \approx 89,7^\circ \).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 1 = 0\\x + y + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( { - 5;3} \right)\).

Ta có \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 5} \right) + 3 \cdot 3 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {13} }} \approx 1,67\).