Bài tập Bài 2. Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ có đáp án

+ Đường thẳng y = 2x + 3 là đồ thị của hàm số y = 2x + 3.

Ta có y = 2x + 3 ⇔ 2x – y + 3 = 0

⇒ a = 2 ; b = −1 ; c = 3.

Vậy a = 2 ; b = −1 ; c = 3.

+ Đường thẳng y = −x + 1 là đồ thị của hàm số y = −x + 1.

Ta có y = −x + 1 ⇔ x + y − 1 = 0

⇒ a = 1 ; b = 1 ; c = −1.

Vậy a = 1 ; b = 1 ; c = −1.

+ Đường thẳng y = 3 là đồ thị của hàm số y = 3.

Ta có y = 3 ⇔ y − 3 = 0 ⇔ 0x + y − 3 = 0.

⇒ a = 0 ; b = 1 ; c = −3.

Vậy a = 0 ; b = 1 ; c = −3.

+ Đường thẳng x = −2 là đồ thị của hàm số x = −2.

Ta có x = −2 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x + 0y + 2 = 0.

⇒ a = 1 ; b = 10; c = 2.

Vậy a = 1 ; b = 10; c = 2.

a) Ta có n→. u→ = a.b + b.(−a) = 0 ⇒ n→ ⊥ u→

⇒ phương của hai vectơ n→ và  u→ vuông góc với nhau.

Vậy n→. u→ = 0 và phương của hai vectơ  và  vuông góc với nhau.

b) 

Vì u→ có giá song song hoặc trùng với Δ mà M0M→ trùng với Δ có giá song song hoặc trùng với M0M→

Do đó  u→ cùng phương với M0M→.

Mặt khác vectơ  u→và vuông góc với vecto n→ nên  u→  ^{vuông góc với} M0M→ vuông góc với nhau.

Với mỗi điểm M(x; y) thuộc Δ khi đó M0M→  = (x – x0; y – y0).

Do u→ là vectơ chỉ phương của Δ nên u→ và M0M→  cùng phương.

Tức là có số t ≠ 0 để M0M→  = tu→

⇒ (x – x0; y – y0) = t(u1; u2). 

⇔ (x – x0; y – y0) = (tu1; tu2) .

⇔ x−x0=tu1y−y0=tu2⇔x=x0+tu1y=y0+tu2

Vậy tọa độ điểm M thỏa mãn x=x0+tu1y=y0+tu2 .

a) Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(−9; 5) và nhận v→ = (8; −4) làm vectơ chỉ phương là:

b) Giả sử điểm P trên d có tung độ bằng 1 có tọa độ là P(x; 1).

Vì P nằm trên d nên thay y = 1 vào phương trình  ta được : x=−9+8ty=5−4t

 x=−9+8t1=5−4t.

 Từ phương trình1 = 5 − 4t⇒ t = 1.

Thay t = 1 vào phương trình x = −9 + 8t, ta được: x = −9 + 8. 1 = −1.

Vậy P = (−1; 1).

a) Đường thẳng d đi qua M(1; 1) nhận vectơ v→ = (40; 30) làm vectơ chỉ phương.

Khi đó phương trình tham số của đường thẳng d là: x=1+40ty=1+30t

b) Thay t = 2 vào phương trình đường thẳng d :x=1+40ty=1+30t , ta được:

 ⇒x=1+40.2y=1+30.2⇒x=81y=61

Vậy tọa độ của xe tương ứng với t = 2 là (81 ; 61).

Thay t = 4 vào phương trình đường thẳng d: x=1+40ty=1+30t, ta được:

 x=1+40.4y=1+30.4⇔x=161y=121

Vậy tọa độ của xe tương ứng với t = 4 là (161 ; 121).

Ta có: n→ = (a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ ⇒ u→  = (b; −a) là vectơ chỉ phương của Δ.

Suy ra phương trình tham số của Δ đi qua M₀(x₀;y₀) nhận  u→ = (b; −a) làm vectơ chỉ phương là x=x0+bty=y0−at.

Vì M thuộc Δ nên tọa độ của M thoả mãn x=x0+bty=y0−at.

Xét hệ  x=x0+bt1y=y0−at2

Từ phương trình (1) suy ra x – x₀ = bt ⇒ t =x−x0b  (với b ≠ 0)

Thay t = x−x0b vào y = y₀ – at ta được :

y – y₀ + a. x−x0b = 0 ⇔a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0.

⇔ax + by + c = 0 (với c = −ax₀ – by₀).

Vậy M(x; y) thuộc Δ thì M có tọa độ thỏa mãn phương trình:

a(x – x₀) +b(y – y₀) =0 hay ax + by + c = 0 (với c = −ax₀ – by₀).

a) Đường thẳng Δ có vectơ pháp tuyến n→ = (3; 5) nên có vectơ chỉ phương u→= (5; −3).

Khi đó phương trình tổng quát của Δ là 3(x – 1) + 5(y – 1)  = 0 ⇔ 3x + 5y – 8 = 0

Phương trình tham số của Δ là x=1+5ty=1−3t.

Vậy phương trình tổng quát của Δ là 3x + 5y −8 = 0 và phương trình tham số của Δ là x=1+5ty=1−3t.

b) Đường thẳng Δ đi qua O(0; 0) và có vectơ chỉ phương u→ = (2; −7) ⇒ vectơ pháp tuyến n→ = (7; 2)

Ta có phương trình tham số của Δ là:  x=0+2ty=0−7t⇔x=2ty=−7t

Phương trình tổng quát của Δ là 7(x – 0) + 2(y – 0) = 0 ⇔ 7x + 2y = 0.

Vậy phương trình tham số của Δ là x=2ty=−7t; phương trình tổng quát của Δ là 7x + 2y = 0.

c) Đường thẳng Δ đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3) nên có vectơ chỉ phương u→= MN→ = (−4; 3) ⇒ vectơ pháp tuyến n→= (3; 4).

Phương trình tham số của Δ là: x=4−4ty=0+3t⇔x=4−4ty=3t

Phương trình tổng quát của Δ là: 3(x − 4) + 4(y − 0) = 0 ⇔ 3x + 4y − 12 = 0.

Vậy phương trình tham số của Δ là x=4−4ty=3t; phương trình tổng quát của Δ là 3x + 4y − 12 = 0.

a) Ta có v→ = (3; −4) là vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ ⇒ n→ = (4; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 2) và nhận  n→ = (4; 3) là vectơ pháp tuyến là:

4(x − 1) + 3(y − 2) = 0 ⇔ 4x + 3y − 10 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng Δ là 4x + 3y − 10 = 0.

b) Điểm M là giao điểm của đường thẳng Δ và trục hoành, nên tọa độ của M thỏa mãn hệ phương trình:

4x+3y−10=0y=0⇔x=104=52y=0⇔M52;0

Vậy giao điểm của đường thẳng Δ và trục hoành là M52;0.

a) Nước từ vòi chảy với tốc độ là 2 m³/h nên sau x giờ thì số nước chảy vào bể là 2x (m³/h).

Vì trong bể chứa sẵn 5 m³ nước nên sau x giờ số nước trong bể là 2x + 5 (m³).

Vậy biểu thức tính thể tích y của nước có trong bể sau x giờ là: y =2x + 5.

b) Đồ thị d của hàm số y = 2x + 5 là đường thẳng đi qua hai điểm A−52;0 và B(0; 5) nên ta có hình vẽ sau:

c) Ta có: y = 2x + 5 ⇔ 2x – y + 5 = 0

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d là 2x – y + 5 = 0

Ta có d nhận n→ = (2; −1) là vectơ pháp tuyến nên  u→ = (1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(0; 5) và nhận  u→= (1; 2) là vectơ chỉ phương là:  x=ty=5+2t

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:x=ty=5+2t ; phương trình tổng quát của d là: 2x – y + 5 = 0.

a) Đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1→= (1; −5) và  n2→= (10; 2).

Ta có:  n1→. n2→ = 1. 10 + (−5). 2 = 0 nên n1→và  n2→ là hai vectơ vuông góc, suy ra d₁ ⊥ d₂.

Vậy d₁ và d₂ vuông góc với nhau.

Giải hệ phương trình x−5y+9=010x+2y+7=10 ta được x=−352y=9352

Suy ra d₁ và d₂ cắt nhau tại điểm có tọa độ −352;9352.

Vậy d₁ và d₂ vuông góc và cắt nhau tại điểm có tọa độ −352;9352.

a) Vì d₁ song song với d₂: x + 3y + 2 = 0 nên d₁ nhận n→ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng d₁ đi qua điểm A(2; 3) và nhận n→ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến là:

(x − 2) + 3(y − 3) = 0 ⇔ x + 3y − 11 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng d₁ là x + 3y − 11 = 0.

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₃ là n3→(3; -1).

Vì đường thẳng d₁ vuông góc với đường thẳng d₃ nên vectơ pháp tuyến của d₃ là vectơ chỉ phương của d₁. Khi đó phương trình đường thẳng d₁ đi qua điểm B(4; -1) và nhận (3; -1) làm vectơ chỉ phương là:x=4+3ty=-1-t ⇔x-43=y+1-1 ⇔ – x + 4 = 3y + 3 ⇔ x + 3y – 1 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng d₁ là: x + 3y – 1 = 0.

Ta có: y = x ⇔ x − y  = 0 và y = 2x + 1 ⇔ 2x − y + 1 = 0

⇒ Phương trình đường thẳng của đồ thị hàm số y = x là d₁: x − y = 0 ⇒ vectơ pháp tuyến của d₁ là n1→= (1; −1).

Phương trình đường thẳng của đồ thị hàm số y = 2x + 1 là d₂: 2x − y + 1 = 0 ⇒ vectơ pháp tuyến của d₂ là  n2→ = (2; −1).

⇒ cos(d₁, d₂) = n1→.n2→n1→.n2→=|1.2+(−1).(−1)|12+12.22+(−1)2=310.

⇒ (d₁, d₂) = 18°26′.

Vậy góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hàm số y = x và y = 2x + 1 bằng 18°26′.

Hai đường thẳng d₁: 4x − 3y + 2 = 0 và d₂: 4x − 3y + 12 = 0 đều có vectơ pháp tuyến là :n→  = (4 ; −3)

Suy ra d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy A(0; 4) ∈ d₂. Thay tọa độ của A vào d₁ ta có: 4.0 – 3.4 + 2 = −10 ≠ 0⇒ A ∉ d₁.

Vậy d₁ và d₂ song song với nhau.

Khi đó khoảng cách từ A đến d₁ chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂.

Ta có d(A, d₁) = |4.0−3.4+2|42+(−3)2=105 = 2.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 2.

a) Ta có  u→ = (2; 1) là vectơ chỉ phương của d nên d nhận n→ = (1; −2) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(−1; 5) và nhận u→= (2; 1) là vectơ chỉ phương là: x=−1+2ty=5+t

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(−1; 5) và nhận n→  = (1; −2) là vectơ pháp tuyến là: 1(x + 1) −2(y − 5) = 0 ⇔ x − 2y + 11 = 0.

Vậy phương trình tham số của d là x=−1+2ty=5+t ; phương trình tổng quát của d là x − 2y + 11 = 0.

b) Phương trình tổng quát của d đi qua B(4; −2) và nhận n→ = (3; −2) là vectơ pháp tuyến là: 3(x − 4) − 2(y + 2) = 0 ⇔ 3x − 2y – 16 = 0.

Ta có n→ = (3; −2) là vectơ pháp tuyến của d nên d nhận u→  = (2; 3) là vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d đi qua B(4; −2) và nhận u→ = (2; 3) làm vectơ chỉ phương là:x=4+2ty=−2+3t.

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 3x − 2y – 16 = 0; phương trình tham số là x=4+2ty=−2+3t.

a) Ta có BC→= (4; 2) ⇒ đường thẳng BC nhận n→= (2; −4) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng BC đi qua B(1; 2) và nhận n→ = (2; −4) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x − 1) − 4(y − 2) = 0 ⇔ 2x − 4y + 6 = 0 ⇔ x − 2y + 3 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là x − 2y + 3 = 0.

b) Ta có M là trung điểm của BC ⇒ M( 1+52 ;2+42 ) ⇒ M(3; 3)

Phương trình tham số của trung tuyến AM đi qua A(2; 5) và nhận AM→ = (1; −2) làm vectơ chỉ phương là:  x=2+ty=5−2t

Vậy phương trình tham số của trung tuyến AM là:x=2+ty=5−2t .

c) Phương trình đường cao AH đi qua A(2; 5) và nhận BC→ = (4; 2) là vectơ pháp tuyến là:4(x−2)+2(y−5)=0 ⇔ 4x+2y–18=0 ⇔ 2x+y–9=0.

Vậy phương trình dường cao AH là: 2x+y–9=0.

a) Vì Δ song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0 nên Δ nhận n→= (3; 1) làm vectơ pháp tuyến và  u→ = (1; −3) làm vectơ chỉ phương.

⇒ Phương trình tổng quát đường thẳng Δ đi qua A(2; 1) và nhận n→= (3; 1) làm vectơ pháp tuyến là: 3(x − 2) + 1(y − 1) = 0 ⇔  3x + y – 7 = 0.

Phương trình tham số của Δ đi qua A(2; 1) và nhận  u→ = (1; −3) làm vectơ chỉ phương là: x=2+ty=1−3t.

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng Δ là 3x + y – 7 = 0; phương trình tham số của Δ là x=2+ty=1−3t.

b) Vì Δ vuông góc với đường thẳng 2x − y − 2 = 0 nên Δ nhận  u→ = (2; −1) làm vectơ chỉ phương và n→ = (1; 2) làm vectơ pháp tuyến.

⇒ Phương  trình tổng quát đường thẳng Δ đi qua B(−1; 4) và nhận n→= (1; 2) làm vectơ pháp tuyến là: 1(x + 1) + 2(y − 4) = 0 ⇔  x + 2y – 7 = 0.

Phương trình tham số của Δ đi qua B(−1; 4) và nhận u→= (2; −1) làm vectơ chỉ phương là: x=−1+2ty=4−t.

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng Δ là x + 2y – 7 = 0; phương trình tham số của Δ là x=−1+2ty=4−t.

Giao điểm A của d và trục Ox là nghiệm của hệ phương trình:

x=2−t0=5+3t⇔x=2+53=113t=−53⇒x=113y=0⇒A113;0

Giao điểm B của d và trục Oy là nghiệm của hệ phương trình:  0=2−ty=5+3t⇔t=2y=11

⇒ x=0y=11

⇒ B(0; 11).

Vậy d cắt hai trục tọa độ tại các điểm A113;0 và  B(0; 11).

Δ: 3x + 4y – 10 = 0 có n→  = (3; 4) là vectơ pháp tuyến.

Δ′: 6x + 8y – 1 = 0 có n'→  = (6; 8) là vectơ pháp tuyến.

Ta có: 36=48=12  nên n→  và n'→  cùng phương.

Suy ra Δ và  Δ′ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(2; 1) ∈ Δ, thay tọa độ điểm M vào Δ′ ta có:

6.2 + 8.1 – 1 = 0 ⇔ 19 = 0 (vô lý).

⇒ M ∉ Δ′.

Do đó Δ // Δ′.

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ và Δ′ là khoảng cách từ điểm M đến Δ′.

⇒ d(Δ, Δ′) = d(M, Δ′) = |6.2+8.1−1|62+82=1910 = 1,9.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ và Δ′ là 1,9.

Đường thẳng d: 12x − 5y + 16 = 0 có vectơ pháp uyến là n→ = (12; −5).

Khoảng cách ngắn nhất từ điểm M đến điểm S chính là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d

Ta có: d(M; d) = |12.5−5.10+16|122+(−5)2=2613  = 2.

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ M đến S là 2.

a) Ta có: AB→ = (10; 5), AC→ = (6; −4), BC→ = (−4; −9).

Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(−1; 1) và nhận AB→ làm vectơ chỉ phương nên nhận n1→ = (5; −10) là vectơ pháp tuyến là:  

5(x + 1) − 10(y − 1) = 0 ⇔ 5x − 10y + 15 = 0 ⇔ x − 2y + 3 = 0.

Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(−1; 1) và nhận  AB→ làm vectơ chỉ phương nên nhận n2→ = (4; 6) là vectơ pháp tuyến là: 

4(x + 1) + 6(y − 1) = 0 ⇔ 4x + 6y – 2 = 0 ⇔ 2x + 3y – 1 = 0.

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B(9; 6) và nhận BC→  làm vectơ chỉ phương nên nhận n3→ = (9; −4) là vectơ pháp tuyến là: 

9(x − 9) − 4(y − 6) = 0 ⇔ 9x − 4y – 57 = 0.

Vậy phương trình của các đường thẳng AB, AC, BC lần lượt là: 10x − 2y + 3 = 0; 2x + 3y – 1 = 0; 9x − 4y – 57 = 0.

c) Ta có: d(A; BC) =  9.(−1)−4.1−5792+(−4)2=7097

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là 7097.