(Đúng sai) 37 bài tập Xác suất có điều kiện (có lời giải) - Phần 2
36 câu hỏi
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Khi đó:
a) \[n\left( \Omega \right) = 36\]
a) Có: \[n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\]. Suy ra Sai.
b) Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8 nếu biết rằng ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm bằng \[\frac{2}{{11}}\].
b) Gọi \[A\] là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8” \[ \Rightarrow A = \left\{ {\left( {2;6} \right),\left( {6;2} \right),\left( {5;3} \right),\left( {3;5} \right),\left( {4;4} \right)} \right\} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{5}{{36}}\]
Gọi \[B\] là biến cố: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm” \[ \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{11}}{{36}}\]
Khi đó: Biến cố \[AB\] là: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8 và ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm” \[ \Rightarrow AB = \left\{ {\left( {3;5} \right),\left( {5;3} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( {AB} \right) = 2\]
\[ \Rightarrow P\left( {AB} \right) = \frac{2}{{36}} = \frac{1}{{18}}\]
Biến cố \[A|B\] là: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8 nếu biết rằng ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”.
Có: \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{1}{{18}}.\frac{{36}}{{11}} = \frac{2}{{11}}\]
Suy ra Đúng.
c) Xác suất để có ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8 là \[\frac{2}{{11}}\].
c) Biến cố \[B|A\] là: “Có ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8”.
Suy ra Sai.
d) Xác suất để số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc giống nhau nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8 là \[\frac{1}{{11}}\]
d) Gọi \[C\] là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc giống nhau”
Biến cố \[CA\] là: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc giống nhau và tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8” \[ \Rightarrow CA = \left\{ {\left( {4;4} \right)} \right\} \Rightarrow P\left( {CA} \right) = \frac{1}{{36}}\]
Biến cố \[C|A\] là: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc giống nhau nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8”.
Khi đó: \[P\left( {C|A} \right) = \frac{{P\left( {CA} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{1}{{36}}.\frac{{36}}{5} = \frac{1}{5}\]
Suy ra Sai.
Một công ty kinh doanh 2 mặt hàng là \[A\] và \[B\]. Xác suất có lãi của mặt hàng \[A\] là \[0,6\] và xác suất có lãi của mặt hàng \[B\] là \[0,7\]. Xác suất chỉ có mặt hàng \[A\] có lãi \[0,2\].
Gọi \[A\] là biến cố: “Mặt hàng \[A\] có lãi”
Gọi \[B\] là biến cố: “Mặt hàng \[B\] có lãi”.
Khi đó:
a) Biến cố là biến cố: “Lấy ra quả thứ hai màu đen biết rằng quả thứ nhất lấy ra là màu đỏ”
a) Sai
b) Biến cố A|B¯ là biến cố: “Lấy ra quả thứ nhất màu đỏ biết rằng quả thứ hai lấy ra là màu đỏ”
b) Đúng
d) Xác suất của biến cố: “Lấy ra quả bóng thứ nhất màu đỏ khi quả bóng thứ hai cũng màu đỏ” là 29
d) Đúng
Có: \[\overline B \] là biến cố: “Lấy ra quả thứ hai màu đỏ” \[ \Rightarrow n\left( {\overline B } \right) = 3.2 + 7.3 = 27 \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{{27}}{{10.9}} = \frac{3}{{10}}\]
Có: \[n\left( \Omega \right) = 10.9 = 90\]
Có: \[A\overline B \] là biến cố: “Lấy ra 2 quả cầu đều màu đỏ” \[ \Rightarrow n\left( {A\overline B } \right) = 3.2 = 6 \Rightarrow P\left( {A\overline B } \right) = \frac{6}{{90}} = \frac{1}{{15}}\]
Có: \[A|\overline B \] là biến cố: “Lấy ra quả thứ nhất màu đỏ biết rằng quả thứ hai lấy ra là màu đỏ”
Khi đó: \[P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{1}{{15}}.\frac{{10}}{3} = \frac{2}{9}\]
c) nAB=90
c) SaiCó: \[AB\] là biến cố: “Lấy ra quả thứ nhất màu đỏ và lần thứ 2 lấy ra quả màu đen” \[ \Rightarrow n\left( {AB} \right) = 3.7 = 21\]
Trong một lớp học, có 35% học sinh học tốt cả Toán và Văn, có 65% học sinh học tốt Toán. Tính xác suất để một học sinh học tốt Văn biết học sinh đó học tốt Toán.
Gọi A là biến cố: “Học sinh học tốt Văn”
Gọi B là biến cố: “Học sinh học tốt Toán”.
Khi đó:
a) \[A\] và \[B\] là hai biến cố độc lập.
a) Theo giả thiết suy ra: \[P\left( A \right) = 0,4\]; \[P\left( B \right) = 0,5\] và \[P\left( {AB} \right) = 0,3\]
Có: \[P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,4.0,5 = 0,2 \ne 0,3 \Rightarrow \]\[A\] và \[B\] là hai biến cố không độc lập.
Suy ra Sai
b) Xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án bằng \[0,7\].
b) Gọi \[C\] là biến cố: “Thắng thầu đúng 1 dự án” \[ \Rightarrow C = \overline A B \cup A\overline B \] mà \[\overline A B\] và \[A\overline B \] là các biến cố xung khắc \[ \Rightarrow P\left( C \right) = P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {A\overline B } \right)\]
Có: \[P\left( {\overline A B} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,5 - 0,3 = 0,2\]
\[P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) = 0,4 - 0,3 = 0,1\]
Vậy: \[P\left( C \right) = 0,2 + 0,1 = 0,3\]
Suy ra Sai
c) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1 là \[0,75\].
c) Gọi \[D\] là biến cố: “Thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1” \[ \Rightarrow D = B|A\]
Khi đó: \[P\left( D \right) = P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,3}}{{0,4}} = 0,75\]
Suy ra Đúng
d) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1 là \[0,25\].
d) Gọi \[E\] là biến cố: “Thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1” \[ \Rightarrow E = B|\overline A \]
Khi đó: \[P\left( E \right) = P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{0,5 - 0,3}}{{1 - 0,4}} = \frac{{0,2}}{{0,6}} = \frac{1}{3}\]
Suy ra Sai
Cho hai biến cố \[A\] và \[B\] là hai biến cố độc lập. Khi đó:
a) \[P\left( {A\overline B } \right) = 0,2\].
a) Có: \[A\overline B \] là biến cố “Mặt hàng \[A\] có lãi và mặt hàng \[B\] không có lãi” hay “Chỉ có mặt hàng \[A\] có lãi”.
\[ \Rightarrow P\left( {A\overline B } \right) = 0,2\]
Suy ra Đúng
b) Xác suất để cả 2 mặt hàng đều có lãi là \[0,5\].
b) Có: \[AB\] là biến cố “Cả 2 mặt hàng có lãi”.
Khi đó: \[P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) \Rightarrow P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) - P\left( {A\overline B } \right) = 0,6 - 0,2 = 0,4\]
Suy ra Đúng
c) Xác suất để có đúng một mặt hàng có lãi là \[0,5\].
c) Gọi \[C\] là biến cố “Có đúng một mặt hàng có lãi” \[ \Rightarrow C = \overline A B \cup A\overline B \] mà \[\overline A B\] và \[A\overline B \] là các biến cố xung khắc \[ \Rightarrow P\left( C \right) = P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {A\overline B } \right)\]
Có: \[P\left( {\overline A B} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,7 - 0,4 = 0,3\] và \[P\left( {A\overline B } \right) = 0,2\]
Vậy: \[P\left( C \right) = 0,3 + 0,2 = 0,5\]
Suy ra Sai
d) Xác suất để mặt hàng \[B\] có lãi biết mặt hàng \[A\] không có lãi là \[0,25\].
d) Gọi \[D\] là biến cố: “Mặt hàng \[B\] có lãi biết mặt hàng \[A\] không có lãi” \[ \Rightarrow D = B|\overline A \]
Khi đó: \[P\left( D \right) = P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{0,7 - 0,4}}{{1 - 0,6}} = \frac{{0,3}}{{0,4}} = 0,75\]
Suy ra Sai
Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) \[P\left( {{A_2}|{A_1}} \right) = 0,8\].
a) Có: \[{A_2}|{A_1}\] là biến cố “Bài tập thứ hai làm đúng khi biết bài tập thứ 2 làm đúng”.
\[ \Rightarrow P\left( {{A_2}|{A_1}} \right) = 0,8\]
Suy ra Đúng
b) \[P\left( {{A_1}{A_2}} \right) = 0,56\].
b) Có: \[{A_1}\] là biến cố: “Bạn An làm đúng bài thứ nhất” \[ \Rightarrow P\left( {{A_1}} \right) = 0,7\]
Có: \[{A_1}{A_2}\] là biến cố “Bạn An làm đúng cả 2 bài tập”.
Khi đó: \[P\left( {{A_1}{A_2}} \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}|{A_1}} \right) = 0,7.0,8 = 0,56\]
Suy ra Đúng
Xác suất để bạn An làm đúng ít nhất một bài tập là \[0,24\].
c) \[\frac{{28}}{{31}}\].
c) Theo giả thiết: Nếu bài thứ nhất làm sai thì sác suất làm đúng bài thứ 2 là \[0,2\].
\[ \Rightarrow P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = 0,2 \Rightarrow P\left( {\overline {{A_2}} |\overline {{A_1}} } \right) = 1 - P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = 1 - 0,2 = 0,8\]
Gọi \[A\] là biến cố “Bạn An làm đúng ít nhất một bài tập” \[ \Rightarrow \overline A \] là biến cố “Bạn An làm sai cả hai bài tập” \[ \Rightarrow \overline A = \overline {{A_1}} \overline {{A_2}} \]
Có: \[P\left( A \right) = P\left( {\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right).P\left( {\overline {{A_2}} |\overline {{A_1}} } \right) = 0,3.0,8 = 0,24\].
Vậy: \[P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,24 = 0,76\]
Suy ra Sai.
d) Xác suất để bạn An làm đúng bài thứ nhất biết rằng bạn An làm đúng bài thứ hai là\[\frac{{28}}{{31}}\].
d) Gọi \[D\] là biến cố: “Bạn An làm đúng bài thứ nhất biết rằng bạn An làm đúng bài thứ hai” \[ \Rightarrow D = {A_1}|{A_2}\]
Có: \[{A_2}\] là biến cố: “Bạn An làm đúng bài thứ hai”. Khi đó, xảy ra 2 khả năng:
Khả năng 1: Bạn An làm đúng bài tập 1 và đúng bài tập 2
Khả năng 2: Bạn An làm sai bài tập 1 và làm đúng bài tập 2
Khi đó: \[{A_2} = {A_1}{A_2} \cup {A_2}\overline {{A_1}} \Rightarrow P\left( {{A_2}} \right) = P\left( {{A_1}{A_2} \cup {A_2}\overline {{A_1}} } \right) = P\left( {{A_1}{A_2}} \right) + P\left( {{A_2}\overline {{A_1}} } \right)\] vì \[{A_1}{A_2}\] và \[{A_2}\overline {{A_1}} \] là các biến cố xung khắc.
Có: \[P\left( {{A_2}\overline {{A_1}} } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right).P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = 0,3.0,2 = 0.06\]
và \[P\left( {{A_1}{A_2}} \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}|{A_1}} \right) = 0,7.0,8 = 0,56\]
\[ \Rightarrow P\left( {{A_2}} \right) = 0,56 + 0,06 = 0,62\]
Khi đó: \[P\left( D \right) = P\left( {{A_1}|{A_2}} \right) = \frac{{P\left( {{A_1}{A_2}} \right)}}{{P\left( {{A_2}} \right)}} = \frac{{0,56}}{{0,62}} = \frac{{28}}{{31}}\]
Suy ra Đúng.
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Khi đó:
a) Biến cố A|B là biến cố: “Học sinh học tốt Văn biết học sinh đó học tốt Toán”
a) Đúng
b) \[P\left( {AB} \right) = 0,35\]
b) Sai
Có: \[AB\] là biến cố: “Học sinh học tốt cả Văn và Toán” \[ \Rightarrow P\left( {AB} \right) = 0,35\]
c) Biến cố \[B|A\] là biến cố: “Học sinh học tốt Toán và học sinh học tốt Văn”
c) Sai
Biến cố \[B|A\] là biến cố: “Học sinh học tốt Toán biết học sinh đó học tốt Văn”
d) \[P\left( {A|B} \right) = \frac{7}{{13}}\]
d) Đúng
\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,35}}{{0,65}} = \frac{7}{{13}}\]
Cho hai biến cố \[A\] và \[B\] là hai biến cố độc lập. Khi đó:
a) PA|B=PABPA
a) Sai
Có PA|B=PABPB
b) PAB=PA.PB
b) Đúng
c) \[P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)\]
c) Đúng
d)\[P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {A|B} \right)\]
d) Sai
\[P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)\] hoặc \[P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\]
Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Biết \[P\left( F \right) = 0,4\] và \[P\left( {E|F} \right) = 0,3\]. Khi đó \[P\left( {EF} \right) = 0,12\].
a) Đúng. Có: \[P\left( {EF} \right) = P\left( F \right).P\left( {E|F} \right) = 0,4.0,3 = 0,12\]
b) Biết \[P\left( E \right) = 0,6\] và \[P\left( {EF} \right) = 0,24\]. Khi đó: \[P\left( {F|E} \right) = 0,4\]
b) Đúng. \[P\left( {F|E} \right) = \frac{{P\left( {FE} \right)}}{{P\left( E \right)}} = 0,4\]
c) Biết \[E,F\] là các biến cố độc lập thỏa mãn : \[P\left( E \right) = 0,3\] và \[P\left( {EF} \right) = 0,15\]. Khi đó: \[P\left( {F|E} \right) = 0,15\].
c) Đúng.
Có: \[E,F\] là các biến cố độc lập \[ \Rightarrow P\left( F \right) = \frac{{P\left( {EF} \right)}}{{P\left( E \right)}} = 0,5\]
Khi đó: \[P\left( {F|E} \right) = P\left( F \right) = 0,5\]
d) Biết \[P\left( {EF} \right) = 0,04\] và \[P\left( {E|F} \right) = 0,1\]. Khi đó: \[P\left( F \right) = 0,25\]
d) Sai
\[P\left( F \right) = \frac{{P\left( {EF} \right)}}{{P\left( {E|F} \right)}} = \frac{{0,04}}{{0,1}} = 0,4\]
Trong một túi có chứa 3 quả cầu đỏ và 7 quả cầu đen. Lấy lần lượt 2 quả cầu ra khỏi túi và không trả lại túi ban đầu.
Gọi A là biến cố: “Lấy ra quả thứ nhất màu đỏ”
Gọi B là biến cố: “Lấy ra quả thứ hai màu đen”.
Khi đó:
Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 0,4 và khả năng thắng thầu của dự án 2 là 0,5. Khả năng thắng thầu cả 2 dự án là 0,3.
Gọi A là biến cố: “Thắng thầu dự án 1”
Gọi B là biến cố: “Thắng thầu dự án 2”.
Khi đó:
Một công ty kinh doanh 2 mặt hàng là A và B. Xác suất có lãi của mặt hàng A là 0,6 và xác suất có lãi của mặt hàng B là 0.7. Xác suất chỉ có mặt hàng A có lãi 0,2.
Gọi A là biến cố: “Mặt hàng A có lãi”
Gọi B là biến cố: “Mặt hàng B có lãi”.
Khi đó:
Bạn An cần làm 2 bài tập liên tiếp trong một đề thi (cùng dạng bài). Xác suất làm đúng bài thứ nhất là 0,7. Nếu làm đúng bài tập thứ nhất thì xác suất làm đúng bài tập thứ hai là 0,8. Nếu bài thứ nhất làm sai thì sác suất làm đúng bài thứ 2 là 0,2.
Gọi là biến cố: “Bạn An làm đúng bài thứ nhất”
Gọi là biến cố: “Bạn An làm đúng bài thứ hai”.
Khi đó:
Cho hai biến cố \[A\] và \[B\] là hai biến cố độc lập, với \[P\left( A \right) = 0,7\], \[P\left( {\bar B} \right) = 0,6\].
Cho hai biến cố Avà B, với
a) \[P\left( {A|B} \right) = 0,6\]
a) \[P\left( A \right) = 0,7 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0,7 = 0,3\]
\[P\left( {\bar B} \right) = 0,6 \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - 0,6 = 0,4\].
Do \[A\] và \[B\] độc lập nên \[A\] và \[\overline B \] độc lập, \[B\] và \[\overline A \] độc lập, \[\overline B \] và \[\overline A \] độc lập.
\[A\] và \[B\] là hai biến cố độc lập nên: \[P\left( {A|B} \right) = P\left( A \right) = 0,7 \ne 0,6\]. Suy ra Sai
b) \[P\left( {B|\bar A} \right) = 0,4\]
b) \[P\left( A \right) = 0,7 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0,7 = 0,3\]
\[P\left( {\bar B} \right) = 0,6 \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - 0,6 = 0,4\].
Do \[A\] và \[B\] độc lập nên \[A\] và \[\overline B \] độc lập, \[B\] và \[\overline A \] độc lập, \[\overline B \] và \[\overline A \] độc lập.
\[\bar A\] và \[B\] là hai biến cố độc lập nên: \[P\left( {B|\bar A} \right) = P\left( B \right) = 0,4\]. Suy ra Đúng.
c) \[P\left( {B|\bar A} \right) = 0,4\]
c) \[P\left( A \right) = 0,7 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0,7 = 0,3\]
\[P\left( {\bar B} \right) = 0,6 \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - 0,6 = 0,4\].
Do \[A\] và \[B\] độc lập nên \[A\] và \[\overline B \] độc lập, \[B\] và \[\overline A \] độc lập, \[\overline B \] và \[\overline A \] độc lập.
\[\bar A\] và \[B\] là hai biến cố độc lập nên: \[P\left( {\bar A|B} \right) = P\left( {\bar A} \right) = 0,3\]. Suy ra Đúng
d) \[P\left( {\bar B|\bar A} \right) = 0,6\]
d) \[P\left( A \right) = 0,7 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0,7 = 0,3\]
\[P\left( {\bar B} \right) = 0,6 \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - 0,6 = 0,4\].
Do \[A\] và \[B\] độc lập nên \[A\] và \[\overline B \] độc lập, \[B\] và \[\overline A \] độc lập, \[\overline B \] và \[\overline A \] độc lập.
\[\bar A\] và \[\bar B\] là hai biến cố độc lập nên: \[P\left( {\bar B|\bar A} \right) = P\left( {\bar B} \right) = 0,6\]. Suy ra Đúng.
Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 0,5 và dự án 2 là 0,6. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi A, B lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.
Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Hiền, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng.
