ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Tích phân (tích phân từng phần)

Cho f(x),g(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn điều kiện $\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right).f\text{'}\left(x\right)dx=\mathrm{1,}\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\text{'}\left(x\right).f\left(x\right)dx=2$. Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right).g\left(x\right)\right]\text{'}dx$

Cho tích phân $I=\underset{0}{\overset{\pi }{}}{x}^2\cos xdx\mathit{ }và\mathit{ }u=x^{\mathit{2}};dv=\cos x\text{dx}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x+1\right).f\text{'}\left(x\right)dx=10 \mathrm{và} 2f\left(1\right)-f\left(0\right)=2. \mathrm{Tính} 2f\left(1\right)-f\left(0\right)=2$

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn hệ thức $\Rightarrow \int f\left(x\right)\sin \text{x}dx=-f\left(x\right).\cos x+\int {\pi }^x.\cos xdx$. Hỏi y=f(x) là hàm số nào trong các hàm số sau: 

Cho $F\left(x\right)=x^2$ là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)e^{2x}$và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện $f\left(0\right)=\mathrm{0,}f\left(1\right)=\frac{2}{e^2}.$Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\text{'}\left(x\right)e^{2x}dx$

Cho tích phân $I=\underset{1}{\overset{2}{}}\frac{x+\ln x}{{\left(x+1\right)}^3}\text{d}x=a+b.\ln 2-c.\ln 3$với $a,b,c\in R$, tỉ số $\frac{c}{a}$ bằng

Tích phân:  $I=\underset{1}{\overset{e}{}}2x(1-\ln x)dx$ bằng

Tính tích phân $I=\underset{1}{\overset{e}{}}x\ln x\text{d}x$

Tính tích phân $I=\left\{\begin{array}{l}{2}^{1000}\\ 1\end{array}\right.\frac{\ln x}{{(x+1)}^2}dx$

Biết rằng$\int e^{2x}\cos 3xdx=e^{2x}\left(a\cos 3x+b\sin 3x\right)+c$, trong đó a,b,c là các hằng số, khi đó tổng a+b có giá trị là:

Biết rằng $\underset{0}{\overset{1}{}}x\cos 2xdx=\frac{1}{4}\left(a\sin 2+b\cos 2+c\right)$ với $a,b,c\in Z$. Mệnh đề nào sau đây là đúng

Giả sử tích phân $I=\underset{0}{\overset{4}{}}x\ln {\left(2x+1\right)}^{2017}dx=a+\frac{b}{c}\ln 3.$ Với phân số $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$ tối giản. Lúc đó :

Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho $n\ln n-\underset{1}{\overset{n}{\int }}\ln xdx$ có giá trị không vượt quá 2017

Biết $\{\begin{array}{l}\frac{\pi }{4}\\ 0\end{array}x.c\text{os}2xdx=a+b\pi$, với a,b là các số hữu tỉ. Tính S=a+2b.     

Biết tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{}}x{e}^{2x}dx=a{e}^2+b$ (a,b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a+b là:

Cho tích phân $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{}}{e}^x\sin x$. Gọi a,ba,b là các số nguyên thỏa mãn $I=\frac{e^{\frac{\pi }{2}}+a}{b}$. Chọn kết luận đúng:

Cho $I=\underset{0}{\overset{1}{}}\left(x+\sqrt{x^2+15}\right)dx=a+b\ln 3+c\ln 5$ với $\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c} \in \mathrm{ℝ}$. Tính tổng a+b+c.

Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên [-1;1] thỏa mãn:${\int }_{\mathit{-}\mathit{1}}^{\mathit{1}}f\left(x\right)dx=\frac{86}{15} \mathrm{và} \mathrm{f}(10=5.$ Khi đó ${\int }_{\mathit{0}}^{\mathit{1}}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$ bằng:

Nếu $\underset{0}{\overset{\pi }{}}f\left(x\right)\sin xdx=\mathrm{20,}\underset{0}{\overset{\pi }{}}xf\left(x\right)\text{'}\sin xdx=5$thì $I=\underset{0}{\overset{{\pi }^2}{}}f\left(\sqrt{x}\right)\cos \left(\sqrt{x}\right)dx$ bằng:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [1;3] thỏa mãn $f(4-x)=f\left(x\right),\forall x\in \left[1;3\right] \mathrm{và} {\int }_1^{3}xf\left(x\right)dx=-2$. Giá trị $2{\int }_1^{3}f\left(x\right)dx$ bằng

Cho hàm số f(x) có $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2 \mathrm{và} f\text{'}\left(x\right)=xsinx$. Giả sử rằng ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos x.f\left(x\right)dx=\frac{a}{b}-\frac{{\pi }^2}{c}$ (với a,b,c là các số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ tối giản). Khi đó a+b+c bằng:

Cho tích phân $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{x^2}{{\left(x\sin x+\cos x\right)}^2}\text{d}x=\frac{m-\pi }{m+\pi }$, giá trị của m bằng:

Cho tích phân $I={\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{\ln \left(3\sin x+\cos x\right)}{{\sin }^{2}x}\text{d}x=m.\ln \sqrt{2}+n.\ln 3-\frac{\pi }{4}$, tổng m+n

Cho hàm số f(x) có f(2)=0 và $f\text{'}\left(x\right)=\frac{x+7}{\sqrt{2x-3}}, \forall x\in (\frac{3}{2};+\infty )$. Biết rằng ${\int }_{\mathit{4}}^{\mathit{7}}f\left(\frac{x}{2}\right)dx=\frac{a}{b}(a,b\in \mathbb{Z},b>\mathrm{0,}\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó a+b bằng:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\left(-\frac{1}{2};2\right)$ thỏa mãn f(0)=2, ${\int }_0^1{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}dx=12-16\ln \mathrm{2,}{\int }_0^1\frac{f\left(x\right)}{{\left(x+1\right)}^2}dx=4\ln 2-2$. Tính ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện $x.f\left(x^3\right)+f(x^2-1)=e^{x^2}, \forall x\in ℝ$. Khi đó giá trị của ${\int }_{\mathit{-}\mathit{1}}^{\mathit{0}}f\left(x\right)dx$ là: