ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Tích phân (đổi biến số)

Cho ${\int }_0^{4}f\left(x\right)dx=-1, tính I={\int }_0^{1}f\left(4x\right)dx:$

Cho tích phân $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin x\sqrt{8+\cos x}dx$. Đặt u=8+cosx thì kết quả nào sau đây là đúng?

Đổi biến x=4sint của tích phân $I=\underset{0}{\overset{\sqrt{8}}{\int }}\sqrt{16-x^2}$ ta được:

Cho y=f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên [-a;a]. Chọn kết luận đúng:

Tính tích phân $I=\underset{\ln 2}{\overset{\ln 5}{\int }}\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x-1}}dx$ bằng phương pháp đổi biến số $u=\sqrt{e^x-1}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Đổi biến u=ln x thì tích phân $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1-\ln x}{x^2}dx$ thành:

Biết hàm số y=f(x) liên tục và có đạo hàm trên $\left[0;2\right],f\left(0\right)=\sqrt{5},f\left(2\right)=\sqrt{11}.$ Tích phân $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right).f^{\text{'}}\left(x\right)dx$bằng:

Biết rằng $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x}{x^2+1}dx=\ln a$ với $a\in R$. Khi đó giá trị của a bằng:

Cho $2\sqrt{3}m-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{4x^3}{{\left(x^4+2\right)}^2}dx=0$. Khi đó $144m^2-1$bằng:

Cho $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{\sqrt{1+3\ln x}}{x}dx$ và $t=\sqrt{1+3lnx}$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Kết quả tích phân $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{\ln x}{x\left({\ln }^{2}x+1\right)}dx$ có dạng I=aln2+b với $a,b\in Q$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Biến đổi $\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{\ln x}{x{\left(\ln x+2\right)}^2}dx$ thành $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt$ với t = lnx + 2. Khi đó f(t) là hàm nào trong các hàm số sau?

Nếu tích phân $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}{\sin }^{n}x\cos xdx=\frac{1}{64}$ thì n bằng bao nhiêu?

Cho tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}$. Bằng phương pháp đổi biến thích hợp ta đưa được tích phân đã cho về dạng:

Tìm a biết $I=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\frac{e^{x}dx}{2+e^x}=\ln \frac{ae+e^3}{ae+b}$ với a,b là các số nguyên dương.

Cho tích phân $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^{{\sin }^{2}x}\sin x{\cos }^{3}xdx$. Nếu đổi biến số $t=si{n}^{2}x$ thì:

Kết quả của tích phân $I=\underset{1}{\overset{2}{}}\frac{dx}{x\sqrt{1+x^3}}$ có dạng $I=aln2+bln(\sqrt{2}-1)+c$ với $a,b,c\in Q$. Khi đó giá trị của a bằng:

Cho tích phân $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{6\tan x}{{\cos }^{2}x\sqrt{3\tan x+1}}dx$. Giả sử đặt $u=\sqrt{3tanx+1}$thì ta được:

Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\left(1-\cos x\right)}^n\sin xdx$ bằng:

Cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=1.$ Tính $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(2{\sin }^{2}x-1\right)f\left(\sin 2x\right)dx$

Cho hàm số f(x) liên tục trên [-1;2] và thỏa mãn điều kiện $f\left(x\right)=\sqrt{x+2}+xf\left(3-x^2\right)\mathit{.}$ Tính tích phân $I=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và $\underset{1}{\overset{9}{\int }}\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\text{d}x=\mathrm{4,}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(\sin x\right)\cos x\text{d}x=2$. Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=3\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dt=6$. Giá trị của $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(\left|2x-1\right|\right)dx$ bằng:

Cho f(x) liên tục trên R thỏa mãn f(x)=f(2020-x) và $\underset{3}{\overset{2017}{\int }}f\left(x\right)dx=4$. Khi đó $\underset{3}{\overset{2017}{\int }}xf\left(x\right)dx$ bằng:

Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\pi x^3+2^x+\text{e}{x}^3{.2}^x}{\pi +\text{e}{.2}^x}\text{d}x=\frac{1}{m}+\frac{1}{\text{e}\ln n}\ln \left(p+\frac{\text{e}}{\text{e}+\pi }\right)$với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng S=m+n+p.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện $x.f\left(x^3\right)+f(x^2-1)=e^{x^2},\forall x\in ℝ$. Khi đó giá trị của $\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx$là:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(\sin x\right)dx=5$.Tính $I=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}xf\left(\sin x\right)dx$