ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Phương trình lượng giác thường gặp

Bước 1:

$\left\{\begin{array}{c}x-y=\frac{\pi }{3}\\ \cos x-\cos y=-1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x=y+\frac{\pi }{3}\\ \cos \left(y+\frac{\pi }{3}\right)-\cos y=-1\left(*\right)\end{array}\right.$

 

Bước 2:

$\left(*\right)\iff -2\sin \left(y+\frac{\pi }{6}\right).\sin \frac{\pi }{6}=-1$

$\iff -2\sin \left(y+\frac{\pi }{6}\right).\frac{1}{2}=-1$

$\iff \sin \left(y+\frac{\pi }{6}\right)=1$

Bước 3:

$\iff y+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k2\pi$

$\iff y=\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in Z\right)$
$\Rightarrow x=y+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

$\left(x;y\right)=\left(\frac{2\pi }{3}+k2\pi ;\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)\left(k\in Z\right)$

Đáp án cần chọn là: C

Khi m = 1 phương trình có dạng:

${\sin }^{2}3x-2\sin 3x+-3=0$

Đặt $\sin 3x=t\left(-1\le t\le 1\right)$ khi đó phương trình có dạng:

$t^2-2t-3=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}t=-1\left(tm\right)\\ t=3\left(ktm\right)\end{array}\right.$

$t=-1\iff \sin 3x=-1$

$\iff 3x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$

$\iff x=-\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in Z\right)$

Đáp án cần chọn là: C

$2\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)\cos x=3+\cos 2x$

$\iff 2\sqrt{2}\sin x\cos x+2\sqrt{2}{\cos }^{2}x=3+\cos 2x$

$\iff \sqrt{2}\sin x+\sqrt{2}\left(1+\cos 2x\right)=3+\cos 2x$

$\iff \sqrt{2}\sin x+\left(\sqrt{2}-1\right)\cos 2x=3-\sqrt{2}$

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}a=\sqrt{2}\\ b=\sqrt{2}-1\\ c=3-\sqrt{2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow a^2+b^2-c^2=2+{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2-{\left(3-\sqrt{2}\right)}^2$

$\Rightarrow a^2+b^2-c^2=2+3-2\sqrt{2}-11+6\sqrt{2}$

$\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-6+4\sqrt{2}$

$\Rightarrow a^2+b^2-c^2<0$

$\Rightarrow a^2+b^2<c^2$

Vậy phương trình vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: C

Bước 1:

Với $a=1;b=\sqrt{3}-2;c=1$ ta có:

$\sin x+\left(\sqrt{3}-2\right)\cos x=1$

$\iff \frac{1}{\sqrt{8-4\sqrt{3}}}\sin x+\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{8-4\sqrt{3}}}\cos x=\frac{1}{\sqrt{8-4\sqrt{3}}}$

Đặt $\frac{1}{\sqrt{8-4\sqrt{3}}}=\cos \alpha$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{8-4\sqrt{3}}}=\sin \alpha$

Khi đó phương trình tương đương:

$\sin x\cos \alpha +\cos x\sin \alpha =\cos \alpha$

Bước 2:

$\iff \sin \left(x+\alpha \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$

$\iff \left[\begin{array}{c}x+\alpha =\frac{\pi }{2}-\alpha +k2\pi \\ x+\alpha =\frac{\pi }{2}+\alpha +k2\pi \end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{2}-2\alpha +k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.$

Vì $\alpha \ne 0\Rightarrow$có 2 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình.

Đáp án cần chọn là: C

$2\sqrt{3}{\cos }^2\frac{5x}{2}+\sin 5x=1+\sqrt{3}$

$\iff \sqrt{3}\left(1+\cos 5x\right)+\sin 5x=1+\sqrt{3}$

$\iff \sin 5x+\sqrt{3}\cos 5x=1$

$\iff \frac{1}{2}\sin 5x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 5x=\frac{1}{2}$

$\iff \sin 5x\cos \frac{\pi }{3}+\cos 5x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$

$\iff \sin \left(5x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{6}$

$\iff \left[\begin{array}{c}5x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 5x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{30}+\frac{k2\pi }{5}\\ x=\frac{\pi }{10}+\frac{k2\pi }{5}\end{array}\right.\left(k\in Z\right)$

 

Với họ nghiệm $x=-\frac{\pi }{30}+\frac{k2\pi }{5}\left(k\in Z\right)$, ta được:

$0\le -\frac{\pi }{30}+\frac{k2\pi }{5}\le \frac{\pi }{2}$

$\iff 0\le -\frac{1}{30}+\frac{2k}{5}\le \frac{1}{2}$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\frac{1}{12}\le k\le \frac{4}{3}\\ k\in Z\end{array}\right.$

 

$\Rightarrow k=1$

$\Rightarrow x=-\frac{\pi }{30}+\frac{2\pi }{5}=\frac{11\pi }{30}$

Với họ nghiệm $x=\frac{\pi }{10}+\frac{k2\pi }{5}\left(k\in Z\right)$, ta được:

$0\le -\frac{\pi }{10}+\frac{k2\pi }{5}\le \frac{\pi }{2}$

$\iff 0\le \frac{1}{10}+\frac{2k}{5}\le \frac{1}{2}$

$\iff \left\{\begin{array}{c}-\frac{1}{4}\le k\le 1\\ k\in Z\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}k=0\\ k=1\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{10}\\ x=\frac{\pi }{10}+\frac{2\pi }{5}=\frac{\pi }{2}\end{array}\right.$

Vậy tổng các nghiệm thuộc đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ là:

$\frac{11\pi }{30}+\frac{\pi }{10}+\frac{\pi }{2}=\frac{29\pi }{30}$

Đáp án cần chọn là: B

Bước 1:

${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x=\sin x-\cos x$

$\iff {\cos }^{3}x+\cos x=\sin x-{\sin }^{3}x$

$\iff \cos x\left({\cos }^{2}x+1\right)=\sin x\left(1-{\sin }^{2}x\right)$

$\iff \cos x\left(\frac{1+\cos 2x}{2}+1\right)=\sin x.{\cos }^{2}x$

$\iff \cos x\left(\frac{1+\cos 2x}{2}+1-\sin x\cos x\right)=0$

$\iff \cos x.\frac{1+\cos 2x+2-\sin 2x}{2}=0$

$\iff \cos x.\left(1+\cos 2x+2-\sin 2x\right)=0$

$\iff \cos x.\left(-\sin 2x+\cos 2x+3\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}\cos x=0\left(1\right)\\ -\sin 2x+\cos 2x+3=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Bước 2:

$\left(1\right)\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Xét (2) ta có: $\left\{\begin{array}{c}a=-1\\ b=1\\ c=-3\end{array}\right.\Rightarrow a^2+b^2<c^2$

⇒ phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình là: $\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Đáp án cần chọn là: B

$6{\sin }^{2}x+7\sqrt{3}\sin 2x-8{\cos }^{2}x=6$

$\iff 6{\sin }^{2}x+14\sqrt{3}\sin x-8{\cos }^{2}x=6\left(*\right)$

Trường hợp 1: $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in Z\right)$.

Khi đó: ${\sin }^{2}x=1$

Thay vào phương trình (*) ta có: 6.1 + 14.0 − 8.0 = 6 ⇔ 6 = 6 (luôn đúng)

Trường hợp 2: $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in Z\right)$. Chia cả 2 vế của phương trình (*) cho cos²x ta được:

$6\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+14\sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x}-8=\frac{6}{{\cos }^{2}x}$

$\iff 6{\tan }^{2}x+14\sqrt{3}\tan x-8=6\left(1+{\tan }^{2}x\right)$

$\iff 14\sqrt{3}\tan x-14=0$

$\iff \sqrt{3}\tan x-1=0$

$\iff \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in Z\right)$

 

Kết hợp 2 trường hợp ta có nghiệm của phương trình là:

$\left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in Z\right)$

 

 

Đáp án cần chọn là: A

Trường hợp 1: $\cos 4x=0$

$\iff 4x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\left(k\in Z\right)$

 

Khi đó, ${\sin }^{2}4x=1$

Thay vào phương trình ta có: 1 + 3.0 – 4.0 = 0 ↔ 1 = 0 (vô lí)

$\iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\left(k\in Z\right)$ không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: $\cos 4x\ne 0$

$\iff x\ne \frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\left(k\in Z\right)$

Chia cả 2 vế của phương trình cho cos²4x ta được:

$\frac{{\sin }^{2}4x}{{\cos }^{2}4x}+3\frac{\sin 4x}{\cos 4x}-4=0$

 

$\iff {\tan }^{2}4x+3\tan 4x-4=0$

Đặt tan 4x = t. Khi đó phương trình trở thành:

$t^2+3t-4=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}t=1\\ t=-4\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}\tan 4x=1\\ \tan 4x=-4\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}4x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ 4x=\arctan \left(-4\right)+k\pi \end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}\\ x=\frac{1}{4}\arctan \left(-4\right)+\frac{k\pi }{4}\end{array}\right.\left(k\in Z\right)$

 

 

Xét nghiệm $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}\left(k\in Z\right),x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{c}0<\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}<\frac{\pi }{2}\\ k\in Z\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}0<\frac{1}{16}+\frac{k}{4}<\frac{1}{2}\\ k\in Z\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}-\frac{1}{4}<k<\frac{7}{4}\\ k\in Z\end{array}\right.$

 

$\iff \left\{\begin{array}{c}k=0\\ k=1\end{array}\right.$

 

$\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{16}\\ x=\frac{5\pi }{16}\end{array}\right.$

Xét nghiệm $x=\frac{1}{4}\arctan \left(-4\right)+\frac{k\pi }{4}\left(k\in Z\right),x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{c}0<\frac{1}{4}\arctan \left(-4\right)+\frac{k\pi }{4}<\frac{\pi }{2}\\ k\in Z\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}-\frac{1}{4}\arctan \left(-4\right)<\frac{k\pi }{4}<\frac{\pi }{2}-\frac{1}{4}\arctan \left(-4\right)\\ k\in Z\end{array}\right.$

 

$\iff \left\{\begin{array}{c}0,42<k<2,42\\ k\in Z\end{array}\right.$

 

$\iff \left\{\begin{array}{c}k=1\\ k=2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{4}\arctan \left(-4\right)+\frac{\pi }{4}\\ x=\frac{1}{4}\arctan \left(-4\right)+\frac{\pi }{2}\end{array}\right.$

 

 

Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Đáp án cần chọn là: D

$\sqrt{3}\cos 5x-2\sin 3x\cos 2x-\sin x=0$

$\iff \sqrt{3}\cos 5x-\left(\sin 5x+\sin x\right)-\sin x=0$

$\iff \sqrt{3}\cos 5x-\sin 5x=2\sin x$

$\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 5x-\frac{1}{2}\sin 5x=\sin x$

$\iff \sin \frac{\pi }{3}\cos 5x-\cos \frac{\pi }{3}\sin 5x=\sin x$

$\iff \sin \left(\frac{\pi }{3}-5x\right)=\sin x$

$\iff \left[\begin{array}{c}\frac{\pi }{3}-5x=x+k2\pi \\ \frac{\pi }{3}-5x=\pi -x+k2\pi \end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}\\ x=-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\right.\left(k\in Z\right)$

 

 

Vậy nghiệm của phương trình là:

$x=\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3};x=-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}\left(k\in Z\right)$

 

Đáp án cần chọn là: D

$\cos x\cos \frac{x}{2}\cos \frac{3x}{2}-\sin x\sin \frac{x}{2}\sin \frac{3x}{2}=\frac{1}{2}$

$\iff \frac{1}{2}\cos x\left(\cos 2x+\cos x\right)+\frac{1}{2}\sin x\left(\cos 2x-\cos x\right)=\frac{1}{2}$

$\iff \cos x\cos 2x+{\cos }^{2}x+\sin x\cos 2x-\sin x\cos x=1$

$\iff \cos 2x\left(\sin x+\cos x\right)-\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-1=0$

$\iff \cos 2x\left(\sin x+\cos x\right)-\sin x\cos x-si{n}^{2}x=0$

$\iff \cos 2x\left(\sin x+\cos x\right)-\sin x\left(\sin x+\cos x\right)=0$

$\iff \left(\sin x+\cos x\right)\left(\cos 2x-\sin x\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}\sin x+\cos x=0\\ \cos 2x-\sin x=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}\sin x=-\cos x\\ 1-2{\sin }^{2}x-\sin x=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}\tan x=-1\\ \sin x=\frac{1}{2}\\ \sin x=-1\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in Z\right)$