ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Phương trình lượng giác thường gặp
33 câu hỏi
Phương trình sin2x+3sin4x=0 có nghiệm là:
x=kπ2x=±12arccos−16+kπk∈Z
x=kπ2x=±52arccos−16+kπk∈Z
x=kπ2x=±12arccos−13+kπk∈Z
x=kπ2x=±13arccos−16+kπk∈Z
sin2x+3sin4x=0
⇔sin2x+6sin2xcos2x=0
⇔sin2x1+6cos2x=0
⇔sin2x=01+6cos2x=0
⇔sin2x=0cos2x=−16
⇔2x=kπ2x=±arccos−16+k2π
⇔x=kπ2x=±12arccos−16+kπk∈Z
Đáp án cần chọn là: A
Phương trình cos2x1−sin2x=0 có nghiệm là:
x=π4+kπk∈Z
x=π4+kπ2k∈Z
x=3π4+2kπk∈Z
x=3π4+kπk∈Z
Bước 1:
Điều kiện:1−sin2x≠0
⇔sin2x≠1
⇔2x≠π2+k2π
⇔x≠π4+kπk∈Z
Bước 2:
cos2x1−sin2x=0
⇔cos2x=0
⇔cos22x=0
⇔1−sin22x=0
⇔sin22x=1
⇔sin2x=−1 do sin2x≠1
⇔2x=−π2+k2π
⇔x=−π4+kπ
Đặt k = l + 1 ta được:
−π4+kπ=−π4+lπ+π=3π4+lπl∈Z
Vậy x=3π4+lπl∈Zx=3π4+kπk∈Z
Đáp án cần chọn là: D
Phương trình 3cot2x−4cotx+3=0 có nghiệm là:
x=π3+kπx=π6+kπk∈Z
x=π3+k2πx=π6+k2πk∈Z
x=−π3+kπx=−π6+kπk∈Z
x=−π3+k2πx=π6+kπk∈Z
ĐK: sinx≠0⇔x≠kπk∈Z
3cot2x−4cotx+3=0
Đặt cos x = t khi đó phương trình có dạng:
3t2−4t+3=0
⇔t=13t=3
⇒cotx=13cotx=3
⇔x=π3+kπx=π6+kπk∈Ztm
Đáp án cần chọn là: A
Nghiệm của phương trình 4sin22x+8cos2x−9=0 là:
x=±π6+kπk∈Z
x=±π6+k2πk∈Z
x=±π3+kπk∈Z
x=π6+kπk∈Zx=π3+kπk∈Z
Bước 1:
4sin22x+8cos2x−9=0
⇔41−cos22x+8.1+cos2x2−9=0
⇔41−cos22x+4.1+cos2x−9=0
⇔41−cos22x+4+4cos2x−9=0
⇔4−4cos22x+4cos2x−5=0
⇔−4cos22x+4cos2x−1=0
Bước 2:
Đặt cos2x=t−1≤t≤1. Khi đó phương trình có dạng:
−4t2+4t−1=0
⇔−4t2−4t+1=0
⇔−2t−12=0
⇔t=12tm
⇔cos2x=12
⇔cos2x=cosπ3
⇔2x=±π3+k2π
⇔x=±π6+kπk∈Z
Đáp án cần chọn là: A
Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 4sin2 x − 4sinx – 3 = 0 trên đường tròn lượng giác là:
0
1
2
4
4sin2 x − 4sinx – 3 = 0
Đặt sinx = t (−1 ≤ t ≤ 1) khi đó phương trình có dạng:
4t2−4t−3=0
⇔t=32ktmt=−12tm
t=−12⇔sinx=−12
⇔x=−π6+k2πx=7π6+k2πk∈Z
Vây số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 4sin2 x − 4sinx – 3 = 0 trên đường tròn lượng giác là 2 điểm như hình trên.
Đáp án cần chọn là: C
Phương trình 3sin2x−cos2x+1=0 có nghiệm là:
x=kπx=π3+kπk∈Z
x=kπx=2π3+k2πk∈Z
x=k2πx=2π3+k2πk∈Z
x=kπx=2π3+kπk∈Z
3sin2x−cos2x+1=0
⇔32sin2x−12cos2x+12=0
⇔sin2x.cosπ6−cos2x.sinπ6+12=−12
⇔sin2x−π6−sin−π6
⇔2x−π6=−π6+k2π2x−π6=7π6+k2π
⇔2x=k2π2x=4π3+k2π
⇔x=kπx=2π3+kπk∈Z
Đáp án cần chọn là: D
Phương trình sinx+3cosx=2 có hai họ nghiệm có dạng x=α+k2π,x=β+k2π,−π2<α<β<π2. Khi đó α, β là:
−5π212
−5π2144
5π2144
π212
Bước 1:
sinx+3cosx=2
⇔12sinx+32cosx=22
⇔sinxcosπ3+cosxsinπ3=22
⇔sinx+π3=sinπ4
Bước 2:
⇔x+π3=π4+k2πx+π3=3π4+k2π
⇔x=−π12+k2πx=5π12+k2πk∈Z
⇒α=−π12β=5π12
( Vì −π12 và 5π12 đều thỏa mãn điều kiện đề bài)
⇒α.β=−5π2144
Đáp án cần chọn là: B
Giải phương trình sin18xcos13x=sin9xcos4x
x=kπ18;x=kπ22k∈Z
x=kπ9;x=π44+kπ22k∈Z
x=π3+kπ18;x=π22+kπ22k∈Z
x=kπ3;x=π44+kπ44k∈Z
sin18xcos13x=sin9xcos4x
⇔12sin31x+sin5x=12sin13x+sin5x
⇔sin31x+sin5x=sin13x+sin5x
⇔sin31x=sin13x
⇔31x=13x+k2π31x=π−13x+k2π
⇔18x=k2π44x=π+k2π
⇔x=kπ9x=π44+kπ22k∈Z
Vậy nghiệm của phương trình là:
x=kπ9;x=π44+kπ22k∈Z
Đáp án cần chọn là: B
Để phương trình a21−tan2x=sin2x+a2−2cos2x có nghiệm, tham số a thỏa mãn điều kiện:
a≥1
a>1
a=1
a≠1
Điều kiện: 1−tan2x≠0cos2x≠0cosx≠0
⇔cos2x−sin2xcos2x≠0cos2x≠0cosx≠0
⇔cos2x≠0cosx≠0
⇔2x≠π2+kπx≠π2+kπ
⇔x≠π4+kπ2x≠π2+kπk∈Z
Ta có: a21−tan2x=sin2x+a2−2cos2x
⇔a2cos2x−sin2xcos2x=sin2x+a2−2cos2x
⇔a2cos2xcos2x=sin2x+a2−2cos2x
⇔a2cos2x=sin2x+a2−2
⇔a2cos2x=1−cos2x+a2−2
⇔a2+1cos2x=a2−1
⇔cos2x=a2−1a2+1<1
Vì: cosx≠0
⇒0<cos2x≤1
⇔cos2x>0
⇔a2−1>0
⇒a>1
Đáp án cần chọn là: B
Giải hệ phương trình x−y=π3cosx−cosy=−1
x=π6+k2πy=−π6+k2πk∈Z
x=2π3+k2πy=π3−k2πk∈Z
x=2π3+k2πy=π3+k2πk∈Z
x=π2+k2πy=π6+k2πk∈Z
Bước 1:
x−y=π3cosx−cosy=−1
⇔x=y+π3cosy+π3−cosy=−1*
Bước 2:
*⇔−2siny+π6.sinπ6=−1
⇔−2siny+π6.12=−1
⇔siny+π6=1
Bước 3:
⇔y+π6=π2+k2π
⇔y=π3+k2πk∈Z
⇒x=y+π3=2π3+k2πk∈Z
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
x;y=2π3+k2π;π3+k2πk∈Z
Đáp án cần chọn là: C
Phương trình sin23x+m2−3sin3x+m2−4=0 khi m = 1 có nghiệm là:
x=−π6+k2πk∈Z
x=π6+k2π3k∈Z
x=−π6+k2π3k∈Z
x=±π6+k2π3k∈Z
Khi m = 1 phương trình có dạng:
sin23x−2sin3x+−3=0
Đặt sin3x=t−1≤t≤1 khi đó phương trình có dạng:
t2−2t−3=0
⇔t=−1tmt=3ktm
t=−1⇔sin3x=−1
⇔3x=−π2+k2π
⇔x=−π6+k2π3k∈Z
Đáp án cần chọn là: C
Khẳng định nào đúng về phương trình 22sinx+cosxcosx=3+cos2x
Có 1 họ nghiệm
Có 2 họ nghiệm
Vô nghiệm
Có 1 nghiệm duy nhất
22sinx+cosxcosx=3+cos2x
⇔22sinxcosx+22cos2x=3+cos2x
⇔2sinx+21+cos2x=3+cos2x
⇔2sinx+2−1cos2x=3−2
Ta có: a=2b=2−1c=3−2
⇒a2+b2−c2=2+2−12−3−22
⇒a2+b2−c2=2+3−22−11+62
⇒a2+b2−c2=−6+42
⇒a2+b2−c2<0
⇒a2+b2<c2
Vậy phương trình vô nghiệm
Đáp án cần chọn là: C
Số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình sinx+3−2cosx=1 trên đường tròn lượng giác là:
0
1
2
3
Bước 1:
Với a=1;b=3−2;c=1 ta có:
sinx+3−2cosx=1
⇔18−43sinx+3−28−43cosx=18−43
Đặt 18−43=cosα
⇒3−28−43=sinα
Khi đó phương trình tương đương:
sinxcosα+cosxsinα=cosα
Bước 2:
⇔sinx+α=sinπ2−α
⇔x+α=π2−α+k2πx+α=π2+α+k2π
⇔x=π2−2α+k2πx=π2+k2π
Vì α≠0⇒có 2 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình.
Đáp án cần chọn là: C
Tổng các nghiệm thuộc đoạn 0;π2 của phương trình 23cos25x2+sin5x=1+3 là:
3π5
29π30
5π6
23π30
23cos25x2+sin5x=1+3
⇔31+cos5x+sin5x=1+3
⇔sin5x+3cos5x=1
⇔12sin5x+32cos5x=12
⇔sin5xcosπ3+cos5xsinπ3=12
⇔sin5x+π3=sinπ6
⇔5x+π3=π6+k2π5x+π3=5π6+k2π
⇔x=−π30+k2π5x=π10+k2π5k∈Z
Với họ nghiệm x=−π30+k2π5k∈Z, ta được:
0≤−π30+k2π5≤π2
⇔0≤−130+2k5≤12
⇔112≤k≤43k∈Z
⇒k=1
⇒x=−π30+2π5=11π30
Với họ nghiệm x=π10+k2π5k∈Z, ta được:
0≤−π10+k2π5≤π2
⇔0≤110+2k5≤12
⇔−14≤k≤1k∈Z
⇒k=0k=1
⇒x=π10x=π10+2π5=π2
Vậy tổng các nghiệm thuộc đoạn 0;π2 là:
11π30+π10+π2=29π30
Đáp án cần chọn là: B
Phương trình sin3x+cos3x=sinx−cosx có nghiệm là:
x=kπk∈Z
x=π2+kπk∈Z
x=π6+k2πk∈Z
Tất cả đều đúng
Bước 1:
sin3x+cos3x=sinx−cosx
⇔cos3x+cosx=sinx−sin3x
⇔cosxcos2x+1=sinx1−sin2x
⇔cosx1+cos2x2+1=sinx.cos2x
⇔cosx1+cos2x2+1−sinxcosx=0
⇔cosx.1+cos2x+2−sin2x2=0
⇔cosx.1+cos2x+2−sin2x=0
⇔cosx.−sin2x+cos2x+3=0
⇔cosx=01−sin2x+cos2x+3=02
Bước 2:
1⇔x=π2+kπk∈Z
Xét (2) ta có: a=−1b=1c=−3⇒a2+b2<c2
⇒ phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là: ⇒x=π2+kπk∈Z
Đáp án cần chọn là: B
Phương trình 6sin2x+73sin2x−8cos2x=6 có nghiệm là:
⇔x=π2+kπx=π6+kπk∈Z
x=π4+kπx=π3+kπk∈Z
x=π8+k2πx=π12+k2πk∈Z
x=π8+kπx=π12+kπk∈Z
6sin2x+73sin2x−8cos2x=6
⇔6sin2x+143sinx−8cos2x=6*
Trường hợp 1: cosx=0⇔x=π2+kπk∈Z.
Khi đó: sin2x=1
Thay vào phương trình (*) ta có: 6.1 + 14.0 − 8.0 = 6 ⇔ 6 = 6 (luôn đúng)
Trường hợp 2: cosx≠0⇔x≠π2+kπk∈Z. Chia cả 2 vế của phương trình (*) cho cos2x ta được:
6sin2xcos2x+143sinxcosx−8=6cos2x
⇔6tan2x+143tanx−8=61+tan2x
⇔143tanx−14=0
⇔3tanx−1=0
⇔tanx=13
⇔x=π6+kπk∈Z
Kết hợp 2 trường hợp ta có nghiệm của phương trình là:
x=π2+kπx=π6+kπk∈Z
Đáp án cần chọn là: A
Trong khoảng 0;π2 phương trình sin24x+3sin4xcos4x−4cos24x=0 có:
Ba nghiệm
Một nghiệm
Hai nghiệm
Bốn nghiệm
Trường hợp 1: cos4x=0
⇔4x=π2+kπ
⇔x=π8+kπ4k∈Z
Khi đó, sin24x=1
Thay vào phương trình ta có: 1 + 3.0 – 4.0 = 0 ↔ 1 = 0 (vô lí)
⇔x=π8+kπ4k∈Z không là nghiệm của phương trình.
Trường hợp 2: cos4x≠0
⇔x≠π8+kπ4k∈Z
Chia cả 2 vế của phương trình cho cos24x ta được:
sin24xcos24x+3sin4xcos4x−4=0
⇔tan24x+3tan4x−4=0
Đặt tan 4x = t. Khi đó phương trình trở thành:
t2+3t−4=0
⇔t=1t=−4
⇔tan4x=1tan4x=−4
⇔4x=π4+kπ4x=arctan−4+kπ
⇔x=π16+kπ4x=14arctan−4+kπ4k∈Z
Xét nghiệm x=π16+kπ4k∈Z,x∈0;π2
⇔0<π16+kπ4<π2k∈Z
⇔0<116+k4<12k∈Z
⇔−14<k<74k∈Z
⇔k=0k=1
⇔x=π16x=5π16
Xét nghiệm x=14arctan−4+kπ4k∈Z,x∈0;π2
⇔0<14arctan−4+kπ4<π2k∈Z
⇔−14arctan−4<kπ4<π2−14arctan−4k∈Z
⇔0,42<k<2,42k∈Z
⇔k=1k=2
⇔x=14arctan−4+π4x=14arctan−4+π2
Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0;π2
Đáp án cần chọn là: D
Giải phương trình 3cos5x−2sin3xcos2x−sinx=0 ta được nghiệm:
x=π9+k2π3;k∈Z
x=π18+kπ6;k∈Z
x=±π6+kπ2;k∈Z
x=π18+kπ3;x=−π6+kπ2;k∈Z
3cos5x−2sin3xcos2x−sinx=0
⇔3cos5x−sin5x+sinx−sinx=0
⇔3cos5x−sin5x=2sinx
⇔32cos5x−12sin5x=sinx
⇔sinπ3cos5x−cosπ3sin5x=sinx
⇔sinπ3−5x=sinx
⇔π3−5x=x+k2ππ3−5x=π−x+k2π
⇔x=π18+kπ3x=−π6+kπ2k∈Z
Vậy nghiệm của phương trình là:
x=π18+kπ3;x=−π6+kπ2k∈Z
Đáp án cần chọn là: D
Giải phương trình cosxcosx2cos3x2−sinxsinx2sin3x2=12
x=−π4+kπ;x=π6+k2π;x=5π6+k2π;x=−π2+k2πk∈Z
x=π4+k2π;x=−π6+k2π;x=5π6+kπ;x=−π2+kπk∈Z
x=±π6+k2π;x=5π6+k2π;x=−π2+k2πk∈Z
x=−π8+kπ;x=π6+kπ;x=−5π6+kπ6;x=−π2+kπ6k∈Z
cosxcosx2cos3x2−sinxsinx2sin3x2=12
⇔12cosxcos2x+cosx+12sinxcos2x−cosx=12
⇔cosxcos2x+cos2x+sinxcos2x−sinxcosx=1
⇔cos2xsinx+cosx−sinxcosx+cos2x−1=0
⇔cos2xsinx+cosx−sinxcosx−sin2x=0
⇔cos2xsinx+cosx−sinxsinx+cosx=0
⇔sinx+cosxcos2x−sinx=0
⇔sinx+cosx=0cos2x−sinx=0
⇔sinx=−cosx1−2sin2x−sinx=0
⇔tanx=−1sinx=12sinx=−1
⇔x=−π4+kπx=π6+k2πx=5π6+k2πx=−π2+k2πk∈Z
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
x=−π4+kπ;x=π6+k2π;x=5π6+k2π;x=−π2+k2πk∈Z
Đáp án cần chọn là: A
Giải phương trình 8sinx=3cosx+1sinx
x=−π6+kπ2;x=π12+kπ2k∈Z
x=π12+kπ4k∈Z
x=±π6+kπ;x=−π12+kπ2k∈Z
x=π6+kπ;x=−π12+kπ2k∈Z
ĐKXĐ: sinx≠0cosx≠0⇔sin2x≠0⇔x≠kπ2
8sinx=3cosx+1sinx
⇔8sin2xcosx=3sinx+cosx
⇔4sin2xcosx=3sinx+cosx
⇔−2cos3x−cosx=3sinx+cosx
⇔−2cos3x+2cosx=3sinx+cosx
⇔cosx−3sinx=2cos3x
⇔12cosx−32sinx=cos3x
⇔cosxcosπ3−sinxsinπ3=cos3x
⇔cosx+π3=cos3x
⇔x+π3=3x+k2πx+π3=−3x+k2π
⇔x=π6+kπx=−π12+kπ2k∈Ztm
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
x=π6+kπ;x=−π12+kπ2k∈Z
Đáp án cần chọn là: D
Giải phương trình sin3x−23sin2x=2sinxcos2x
x=±π3+k2π;x=2π3+k2πk∈Z
x=π4+kπ;x=π6+kπk∈Z
x=kπ;x=π3+k2π;x=2π3+k2πk∈Z
x=π2+kπ;x=π6+kπ3k∈Z
sin3x−23sin2x=2sinxcos2x
⇔3sin3x−2sin2x=3sin3x−sinx
⇔3sin3x−2sin2x=3sin3x−3sinx
⇔2sin2x−3sinx=0
⇔sinx2sinx−3
⇔sinx=0sinx=32
⇔x=kπx=π3+k2πx=2π3+k2πk∈Z
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
x=kπ;x=π3+k2π;x=2π3+k2πk∈Z
Đáp án cần chọn là: C
Giải phương trình sinx+3cosx.sin3x=2
x=π6+kπ,k∈Z
x=−π12+kπ2,k∈Z
x=2π3+kπ,k∈Z
x=kπ12;x=2π3+kπ,k∈Z
sinx+3cosx.sin3x=2
⇔12sinx+32cosx.sin3x=1
⇔sinxcosπ3+cosxsinπ3.sin3x=1
⇔sinx+π3.sin3x=1
⇔−12cos4x+π3−cos2x−π3=1
⇔cos4x+π3−cos2x−π3=−2
Do −1≤cos4x+π3,cos2x−π3≤1 nên:
cos4x+π3=−1cos2x−π3=1
⇔4x+π3=π+k2π2x−π3=k2π
⇔4x=2π3+k2π2x=π3+k2π
⇔x=π6+kπ2x=π6+kπk∈Z
⇒x=π6+kπ
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là x=π6+kπ
Đáp án cần chọn là: A
Giải phương trình 1+sinx+cos3x=cosx+sin2x+cos2x
x=kπ;x=π6+kπ3,x=π12+kπ,x=5π7+kπ
x=k2π;x=π3+k2π3,x=−π6+k2π,x=7π6+k2π
x=kπ;x=π3+k2π3,x=−π12+kπ,x=5π12+kπ
x=k2π;x=π6+k2π3,x=π12+kπ,x=7π12+kπ
1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
⇔ (1 − cos2x) + (sinx − sin2x) + (cos3x − cosx) = 0
⇔2sin 2x + (sinx − sin2x) − 2sin2xsinx = 0
⇔ 2sinx(sinx − sin2x) + (sinx − sin2x) = 0
⇔ (sinx − sin2x)(2sinx + 1) = 0
⇔sin2x=sinxsinx=−12
⇔2x=x+k2π2x=π−x+k2πx=−π6+k2πx=7π6+k2π
⇔x=k2πx=π3+k2π3x=−π6+k2πx=7π6+k2π
Vậy nghiệm của phương trình là:
x=k2π;x=π3+k2π3,x=−π6+k2π,x=7π6+k2π
Đáp án cần chọn là: B
Giải phương trình cosx+cos3x+2cos5x=0
x=π2+kπ,x=±15arccos1+178+kπ,x=±15arccos1−178+kπ
x=±π6+kπ
x=±12arccos1+157+kπ,x=±12arccos1−157+kπ
x=π2+kπ,x=±12arccos1+178+kπ,x=±12arccos1−178+kπ
cosx + cos3x + 2cos5x = 0
⇔ cosx + cos3x + cos5x + cos5x = 0
⇔ (cosx + cos5x) + (cos3x + cos5x) = 0
⇔ 2cos3xcos2x + 2cos4xcosx = 0
⇔ 2(4cos3 x − 3cosx)cos2x + 2cos4xcosx = 0
⇔2cosx(4cos2 x − 3)cos2x + 2cos4xcosx = 0
⇔ 2cosx[(4cos2 x − 3)cos2x + cos4x] = 0
⇔ 2cosx[[2(1 + cos2x) − 3]cos2x + 2cos2 2x − 1] = 0
⇔ 2cosx[(2cos2x − 1)cos2x + 2cos2 2x − 1] = 0
⇔ 2cosx[4cos2 2x − cos2x − 1] = 0
⇔cosx=0cos2x=1+178cos2x=1−178
⇔x=π2+kπ2x=±arccos1+178+k2π2x=±arccos1−178+k2π
⇔x=π2+kπx=±12arccos1+178+kπx=±12arccos1−178+kπ
Vậy nghiệm của phương trình là: x=π2+kπ,x=±12arccos1+178+kπ,x=±12arccos1−178+kπ
Đáp án cần chọn là: D
Giải phương trình sin3x−sinx+sin2x=0
x=kπ,x=π3+k2π3
x=±π3+k2π3
x=π2+kπ,x=−π3+k2π3
x=2kπ,x=π2+kπ3
sin3x−sinx+sin2x=0
⇔2cos2xsinx+2sinxcosx=0
⇔2sinxcos2x+cosx=0
⇔sinx=0cos2x=−cosx=cosπ−x
⇔x=kπ2x=π−x+k2π2x=x−π+k2π
⇔x=kπx=π3+k2π3x=−π+k2π
⇔x=kπx=π3+k2π3k∈Z
Vậy nghiệm của phương trình là: x=π3+k2π3
Đáp án cần chọn là: A
Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình:sin2x−msinxcosx−3cos2x=2m có nghiệm?
0
1
2
3
Trường hợp 1: cosx=0⇔x=π2+kπk∈Z
Khi đó sin2x=1
Thay vào phương trình ta có:
1 − m.0 − 3.0 = 2m
⇔ 2m = 1
⇔m=12∉Z
⇒ loại
Trường hợp 2: cosx≠0
⇔x≠π2+kπk∈Z
Chia cả 2 vế của phương trình cho cos2x ta được:
sin2xcos2x−msinxcosx−3=2mcos2x
⇔tan2x−mtanx−3=2m1+tan2x
⇔2m−1tan2x+mtanx+2m+3=0
Đặt tanx = t khi đó phương trình có dạng:
2m−1t2+mt+2m+3=0
m=12∉Z⇒Loại
m≠12 ta có:
Δ=m2−42m−12m+3
=m2−16m2−16m+12
=−15m2−16m+12
Để phương trình có nghiệm thì:Δ≥0
⇔−8−26115≤m≤−8+26115
Mà m∈Z⇒m=−1m=0
Đáp án cần chọn là: C
Các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 5 của m để phương trình tanx+cotx=m có nghiệm x∈0;π2 có tổng là:
9
3
6
7
Với x∈0;π2ta có:
sinx>0cosx>0⇒tanx>0cotx>0
Ta có:
tanx+cotx=tanx+1tanx≥2tanx.1tanx=2 (BĐT Cauchy)
Phương trình có nghiệm ⇔ m ≥ 2
Kết hợp điều kiện ta có: 2≤m<5m∈Z+⇒m∈2;3;4
Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn là 2 + 3 + 4 = 9
Đáp án cần chọn là: A
Với giá trị nào của m thì phương trình 1−mtan2x−2cosx+1+3m=0 có nhiều hơn 1 nghiệm trên 0;π2?
m≠12
m=12
13<m<1m≠12
13<m<1
1−mtan2x−2cosx+1+3m=0
⇔1−msin2xcos2x−2cosx+1+3m=0
⇔1−msin2x−2cosx+1+3mcos2x=0
⇔1−m1−cos2x−2cosx+1+3mcos2x=0
⇔4mcos2x−2cosx+1−m=0
Đặt t = cos x
Vì 0;π2⇒t∈0;1 khi đó phương trình trở thành:
4mt2−2t+1−m=0 (1)
⇔m4t2−1−2t−1=0
⇔m2t+12t−1−2t−1=0
⇔2t−12mt+m−1=0
⇔t=12∈0;12mt=1−m (2)
Để phương trình ban đầu có nhiều hơn 1 nghiệm thuộc0;π2 thì phương trình (1) có nhiều hơn 1 nghiệm thuộc (0; 1). Khi đó phương trình (2) có nghiệm thuộc 0;1\12
Khi m = 0 ta có 0t = 1 (vô nghiệm)
Khi m≠0 thì 2⇔t=1−m2m
Để phương trình (2) có nghiệm thuộc 0;1\12 thì:
m≠00<1−m2m<11−m2m≠12⇔m≠01−m2m>01−m2m<121−m≠2m
⇔m≠01−m2m>01−3m2m<04m≠2⇔⇔m≠00<m<1m<0m>13m≠12
⇔13<m<1m≠12
Đáp án cần chọn là: C
Giải phương trình cos2x+cos4x+cos6x=cosxcos2xcos3x+2
x=kπk∈Z
x=2π3+2kπk∈Z
x=π3+2kπk∈Z
x=kπ3k∈Z
cos2x+cos4x+cos6x=cosxcos2xcos3x+2
⇔2cos4xcos2x+cos4x=12cos2xcos4x+cos2x+2
⇔2cos4xcos2x+cos4x=12cos2xcos4x+12cos22x+2
⇔32cos4xcos2x+cos4x=12cos22x+2
⇔3cos4xcos2x+2cos4x=cos22x+4
⇔32cos22x−1cos2x+22cos22x−1=cos22x+4
⇔6cos32x−3cos2x+4cos22x−2=cos22x+4
⇔6cos32x+3cos22x−3cos2x−6=0
⇔2cos32x+cos22x−cos2x−2=0
⇔2cos32x−1+cos2xcos2x−1=0
⇔2cos2x−1cos22x+cos2x+1+cos2xcos2x−1=0
⇔cos2x−12cos22x+2cos2x+2+cos2x=0
⇔cos2x−12cos22x+3cos2x+2=0
⇔cos2x=1
⇔2x=k2π
⇔x=kπk∈z
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = kπ (k ∈ Z).
Đáp án cần chọn là: A
Giải phương trình 4sinxsinx+π3sinx+2π3+cos3x=1
Vô nghiệm
x=π6+k2π3k∈Z hoặc x=k2π3k∈Z
x=π6+k2πk∈Z
x=π6+kπ3k∈Z
4sinxsinx+π3sinx+2π3+cos3x=1
⇔4sinx.−12cos2x+π−cos−π3+cos3x=1
⇔−2sinx−cos2x−12+cos3x=1
⇔ 2sinxcos2x + sinx + cos3x = 1
⇔ sin3x – sinx + sinx + cos3x = 1
⇔ sin3x + cos3x = 1
⇔12sin3x+12cos3x=12
⇔sin3x+π4=sinπ4
⇔3x+π4=π4+k2π3x+π4=3π4+k2π
⇔x=k2π3x=π6+k2π3k∈Z
Vậy phương trình có nghiệm là:
⇔x=k2π3x=π6+k2π3k∈Z
Đáp án cần chọn là: B
Giải phương trình cos3xtan5x=sin7x
x=nπ2;x=π20+kπ13k,n∈Z
x=nπ;x=π20+kπ10k,n∈Z
x=nπ;x=3π5+2kπ7k,n∈Z
x=nπ;x=3π5+7kπ13k,n∈Z
ĐKXĐ: cos5x≠0
⇔5x≠π2+mπ
⇔x≠π10+mπ5m∈Z
cos3xtan5x=sin7x
⇔cos3xsin5x=sin7xcos5x
⇔12sin8x+sin2x=12sin12x+sin2x
⇔sin8x+sin2x=sin12x+sin2x
⇔sin12x=sin8x
⇔12x=8x+k2π12x=π−8x+k2π
⇔x=kπ2x=π20+kπ10k∈Z
Đối chiếu điều kiện ta có:
kπ2≠π10+mπ5k,m∈Z
⇔5k≠1+2m
⇔k≠1+2m5
Do kϵZ nên: k=1+2m5⇔1+2m5 là số nguyên.
Mà 1 + 2m luôn lẻ nên 1+2m5không chia hết cho 2 với mọi m.
Do đó, nếu k≠1+2m5thì k phải là số nguyên chẵn.
⇒k chẵn, đặt k = 2n, khi đó ta có x=2nπ2=nπn∈Z
π20+kπ10≠π10+mπ5k,m∈Z
⇔1+2k≠2+4m
Vì 1 + 2k lẻ, 2 + 4m chẵn nên 1 + 2k ≠ 2 + 4m luôn đúng với mọi k, m ∈ Z.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
x=nπ;x=π20+kπ10k,n∈Z
Đáp án cần chọn là: B
Số nghiệm của phương trình sin5x+3cos5x=2sin7xtrên khoảng 0;π2 là:
2
3
1
4
Phương trình:
⇔12sin5x+32cos5x=sin7x
⇔sin5x+π3=sin7x
⇔sin7x=sin5x+π3
⇔7x=5x+π3+k2π7x=π−5x+π3+k2π
⇔x=π6+kπx=π18+kπ6k∈Z
Xét khoảng 0;π2:
+) 0<π6+kπ<π2
⇔−16<k<13
→k∈Zk=0⇒x=π6
+) 0<π18+kπ6<π2
⇔−13<k<83
→k∈Zk=0⇒x=π18k=1⇒x=2π9k=2⇒x=7π18
Vậy phương trình có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán
Đáp án cần chọn là: D
Gọi m, M lần lượt là GTNN và GTLN của hàm số y=sinx+3sinx+cosx+2. Khi đó giá trị của biểu thức m + M bằng
245
285
5
258
Ta có: y=sinx+3sinx+cosx+2
⇔ y(sinx + cosx + 2) = sinx + 3
⇔y.cosx + (y − 1).sinx = 3 − 2y
Phương trình trên có nghiệm
⇔ y2 + (y − 1)2 ≥ (3 − 2y)2
⇔ 2y2 − 2y + 1 ≥ 9 − 12y + 4y2
⇔ 2y2 − 10y + 8 ≤ 0
⇔ 1 ≤ y ≤ 4
=> Min y = 1, Max y = 4
Đáp án cần chọn là: C
