ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Các hàm số lượng giác

Hàm y = sinx có TXĐ D = R.

Đáp án cần chọn là: D

Hàm số y=sinxcó tập giá trị [−1;1].

Đáp án cần chọn là: B

Hàm số y=cosx nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π)

Đáp án cần chọn là: C

Nếu x = 0 thì y=tan0=0 nên điểm O nằm trên đồ thị hàm số y = tanx

B sai vì khi thay hoành độ của điểm M vào ta  được

 y = tanx = tan0 = 0 ≠ 1

C sai vì với x=π2, không tồn tại tanπ2

D sai vì với x = 1 thì ta được y = tan1 ≠ 0

Đáp án cần chọn là: A

Bước 1:

Theo công thức hạ bậc ta có: 

2sin² x = 1 – cos 2x

=> y = 2sin² x + cos² 2x

= 1 − cos2x + cos² 2x

= (cos2x)² − cos2x + 1

Bước 2:

Đặt t = cos2x; t∈[−1;1]

ta được y = f(t) = t² – t + 1; t∈[−1;1]

Bước 3:

Ta cần tìm GTLN và GTNN của hàm số f(t) = t² – t + 1trên đoạn ∈[−1;1] ⇒f1=1;f12=34;f−1=3

Số lớn nhất là 3, số nhỏ nhất là 34

⇒maxy=3;miny=34

Đáp án cần chọn là: D

Điều kiện:

cos2x−π4≠0

⇔2x−π4≠π2+kπ

⇔2x≠3π4+kπ

⇔x≠3π8+kπ2

Đáp án cần chọn là: B

Điều kiện:

cos3x−1≠0

⇔cos3x≠1

⇔3x≠k2π

⇔x≠k2π3

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

−1≤sin2x−π4≤1

⇒sin2x−π4≤1

⇔3.sin2x−π4≤3.1

⇒y=1+3sin2x−π4≤1+3=4

max y = 4. Dấu “=” xảy ra khi sin2x−π4=1 

Ta có:

sin2x−π4≥−1

⇔3.sin2x−π4≥3.−1

⇒y=1+3sin2x−π4≥1+3.−1=−2

min y = -2. Dấu “=” xảy ra khi sin2x−π4=−1

vậy max y = 4, min y = - 2

Đáp án cần chọn là: D

Hàm số y = sinx và y = cosx có chu kì T = 2π.

Hàm số y = cotx và hàm số y = tanx có chu kì T = π.

Vậy chỉ có đáp án C đúng.

Đáp án cần chọn là: C

+) Tìm GTLN

sin2x≥0⇒2sin2x≥0⇒1+2sin2x≥1

Lấy nghịch đảo 2 vế bất đẳng thức ta được:

11+2sin2x≤11=1

Nhân 2 vế với 4 ta được:

⇒11+2sin2x≤4.1=4

⇒y≤4

Dấu “=” xảy ra khi sin2x=0⇔sinx=0

+) Tìm GTNN

sin2x≤1⇒2sin2x≤2

⇒1+2sin2x≤1+2=3

Lấy nghịch đảo 2 vế bất đẳng thức ta được:

11+2sin2x≥13

Nhân 2 vế với 4 ta được:

⇒41+2sin2x≥43⇒y≥43

Dấu “=” xảy ra khi sin2x=1⇔sinx=±1

Vậy GTLN là 4, GTNN là 43.

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện: 1−cos3x1+sin4x≥0

Nhận thấy:

cos3x≤1,∀x⇒1−cos3x≥0sin4x≥−1,∀x⇒1+sin4x≥0

⇒1−cos3x1+sin4x≥0,∀x

Do đó hàm xố xác định nếu:

1+sin4x≠0

⇔sin4x≠−1

⇔4x≠−π2+k2π

⇔x≠−π8+kπ2

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: −2 ≤ 2sin2x ≤ 2 nên loại đáp án A và B.

Cho x = 0 ⇒ y = 2sin0 = 0, do đó đồ thị hàm số y = f(x) = 2sin2x  đi qua điểm (0;0). Loại đáp án D.

Đáp án cần chọn là: C

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì 2π và kết hợp với các đáp án ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn −π2;3π2

- Hàm số y = sinx đồng biến trên −π2;π2 nên hàm số y = 1 – sinx  nghịch biến trên −π2;π2

- Hàm số y = sinx nghịch biến trên π2;3π2nên hàm số y = 1 − sinx đồng biến trên π2;3π2Do đó chỉ có đáp án D là sai.

Đáp án cần chọn là: D

Xét đáp án A:

TXĐ: D=R⇒∀x∈D⇒−x∈D

y−x=−x.sin−x=x.−sinx

=−x.sinx=−yx

=> Đây là hàm số lẻ nên không nhận Oy làm trục đối xứng.

Xét đáp án B:

tanx=sinxcosx

→ ĐKXĐ:  cosx≠0⇔x≠π2+kπ,k∈Z

→ TXĐ: D = R\π2+kπ,k∈Z⇒∀x∈D⇒−x∈D

y−x=sin−xcos2−x+tan−x

=−sinxcos−x2+−tanx

=−sinx.cosx2+tanx

=−sinx.cos2x−tanx

=−sinx.cos2x+tanx

= - y(x)

=> Đây là hàm số lẻ nên không nhận Oy làm trục đối xứng.

Xét đáp án C:

→ TXĐ: D = R\π2+kπ,k∈Z⇒∀x∈D⇒−x∈D

y−x=sin2020−x+2019cos−x

=sin2020x+2019cosx=y−x

Do đó hàm số  y=sin2020x+2019cosx là hàm số chẵn và nhận trục Oy làm trục đối xứng.

 

Xét đáp án D:

Theo lý thuyết về hàm số y = tanx thì đây là hàm số lẻ nên không nhận Oy làm trục đối xứng.

Đáp án cần chọn là: C

 (I): Hàm số y = sinx có chu kỳ là 2π nên I sai.

(II): Hàm số y = tanx có tập giá trị là R nên II sai.

Tập hợp bài đưa ra là tập xác định của hàm số.

(III): Ta có hàm số y = cosx có

y(−x) = cos(−x) = cosx = y(x)

=>  y(x) = y(−x) nên đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục tung nên III đúng.

(IV): Hàm số y = cotx luôn nghịch biến trên (kπ; π + kπ)

Với k = −1 thì hàm số nghịch biến trên (−π; 0) nên IV đúng.

Đáp án cần chọn là: A

Do −1≤sinx≤1

⇒−2≤2sinx≤2

⇒−2+3≤2sinx+3≤2+3

⇒1≤2sinx+3≤5

Dấu “=” xảy ra khi lần lượt sinx = −1 và sinx = 1

Đáp án cần chọn là: A

Bước 1:

Ta có: y = 3sinx + 4cosx − 1

 ⇔ y + 1 = 3sinx + 4cosx

⇒(y+1)² = (3sinx + 4cosx)²

Bước 2:

Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki:

(ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²)

. Với a = 3,c = sinx, b = 4, d = cosx

Khi đó

(3.sinx + 4.cosx)² ≤ (3² + 4²)(sin² x + cos² x)

= (3² + 4²).1 = 25 

⇒ −5 ≤ y + 1 ≤ 5
⇔ −6 ≤ y ≤ 4

Bước 3:

Dấu “=” xảy ra ⇔sinx3=cosx4

⇔tanx=34

⇔x=arctan34+kπ

Đáp án cần chọn là: A

Trả lời:

Ta có: y = cos 2x + cos x = 2cos²x + cosx – 1

Đặt cosx = t, t∈[−1;1].

Hàm số trở thành y = 2t² + t − 1. Đây là 1 parabol có bề lõm hướng lên, có hoành độ đỉnh x=−b2a=−14

BBT:

Dựa vào BBT ta có: M=2,m=−98

Vậy M+m=2−98=78

Đáp án cần chọn là: D

Ta vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên đoạn [0;5π].

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy trên đoạn [0;5π], đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 6 điểm phân biệt (điểm màu đỏ), do đó có 6 giá trị xϵ[0;5π] để hàm số y = tanx nhận giá trị bằng 0.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có đồ thị hàm số y = |tanx| như sau:

TXĐ: D = R\π2+kπk∈Z

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

- Hàm số y = |tanx| nghịch biến trên −π2;0và đồng biến trên 0;π2,do đó đáp án A và D sai.

- Đặt f(x) = |tanx|, ∀x∈D ⇒ −x∈D

 f(−x) = |tan(−x)| = |−tanx| = |tanx| = f(x), do đó hàm số đã cho là hàm chẵn trên tập xác định. Do đó đáp án B đúng.

- Do là hàm chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy chứ không đối xứng qua tâm O, do đó đáp án C sai.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: sinx−cosx=2sinx−π4nên tập giá trị của hàm số là −2;2do đó loại đáp án C.

- Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì 2π, ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn −π4;7π4

- Hàm số y = sinx đồng biến trên −π2;π2nên hàm số y=2sinx−π4nghịch biến trên −π4;3π4

- Hàm số y = sinx nghịch biến trên π2;3π2nên hàm số y=2sinx−π4nghịch biến trên 3π4;7π4

Đáp án cần chọn là: A

Bước 1:

Ta có: y=2cos2x+sin2x

y=2.1+cos2x2+sin2x

y=1+2cos2x+sin2x

Bước 2:

⇒y2=12+12cos2x+12sin2x

=12+cos2xcosπ4+sin2x.sinπ4

=12+cos2x−π4

Bước 3:

Ta có:

cos2x−π4≥−1

⇔12+cos2x−π4≥−1+12

Hay y2≥−1+12⇔y≥1−2

Bước 4:

Dấu = xảy ra khi

cos2x−π4=−1

2x−π4=−π+k2π

⇔x=−3π8+kπk∈Z

Bước 5:

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là 1−2

Đáp án cần chọn là: B

Bước 1:

Ta có: y=8cosx−6sinx−3sinx−4cosx2−2m

Hàm số trên có tập xác định R khi:

8cosx−6sinx−3sinx−4cosx2−2m≥0

⇔24cosx−3sinx−3sinx−4cosx2−2m≥0

Bước 2:

Đặt t = 4cosx − 3sinx

Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

t2=4cosx−3sinx2≤42+32sin2x+cos2x=25

⇔−5≤t≤5

Bước 3:

Ta có bất phương trình 2t−t2−2m≥0,∀t∈−5;5

⇔−2m≥t2−2t,∀t∈−5;5

Bước 4:

Xét hàm số f(t) = t² − 2t  trên [−5; 5]

Ta có −b2a=1∈−5;5

Vì a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên (−∞;1) và đồng biến trên (1;+∞)

Mà (−5;1)⊂(−∞;1) và (1;5)⊂(1;+∞) nên hàm số nghịch biến trên (−5;1) và đồng biến trên (1;5).

Bảng biến thiên:

Bước 5:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất đẳng thức (1) xảy ra khi 

−2m≥35⇔m≤−352

Đáp án cần chọn là: A

Bước 1:

Ta có:

y=sin2x+2cos2x+32sin2x−cos2x+4

⇔2y.sin2x−y.cos2x+4y=sin2x+2cos2x+3

⇔2y−1.sin2x−y+2.cos2x=3−4y

⇒2y−1.sin2x−y+2.cos2x2=3−4y2(*)

Bước 2:

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

2y−1.sin2x−y+2.cos2x2≤2y−12+y+22sin22x+cos22x

2y−1.sin2x−y+2.cos2x2≤2y−12+y+22

Bước 3:

Kết hợp với (*) ta được:

3−4y2≤2y−12+y+22

⇔9−24y+16y2≤4y2−4y+11+y2+4y+4

⇔16y2−24y+9≤5y2+5

⇔11y2−24y+4≤0

⇔211≤y≤2

⇒miny=211;maxy=2

Đáp án cần chọn là: D

Đặt t = 3.sinx + 4.cosx, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

t² = (3sinx + 4cosx)²  ≤ (3² + 4²)(sin2x + cos2x)

t²  ≤ 25.1 = 25

⇒ t² ≤ 25

⇒ −5 ≤ t ≤ 5

Xét hàm số y = 3t² + 4t + 1 trên [−5;5]

Hàm số y = 3t² + 4t + 1 là hàm bậc hai có:

−b2a=−23∈−5;5

y−23=−13

y(−5) = 56

y(5) = 96

Ta có bảng biến thiên:

⇒miny=−13 khi t=−13

max y = 96 khi t = 5

Đáp án cần chọn là: C

Đặt y=3sin2x+cos2xsin2x+4cos2x+1

⇒y=3sin2x+cos2xsin2x+21+cos2x+1

⇒y=3sin2x+cos2xsin2x+2cos2x+3

⇔y.sin2x+2y.cos2x+3y=3.sin2x+cos2x

⇔y−3.sin2x+2y−1.cos2x=−3y*

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

y−3.sin2x+2y−1.cos2x≤y−32+2y−12

Kết hợp với (*) ta được:

9y2≤y−32+2y−12

⇔y≤−5+654

⇒maxy=−5+654

Để bất phương trình y≤m+1;x∈R

⇔m+1≥maxy=−5+654

⇔m≥65−94

Đáp án cần chọn là: D

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số fx=tanx−1sinx

Điều kiện xác định cosx≠0sinx≠0⇔x≠kπ2

→D = R\kπ2

Bước 2: Chu kì của hàm số y = tan x và gx=1sinx

Xét hàm số y = tan x là hàm tuần hoàn có chu kì T₁ = π

Xét hàm số gx=1sinx

Ta có

gx+T2=gx

⇔1sinx+T2=1sinx

⇔sinx+T2=sinx

Chọn x=π2⇒sinx=1

⇒sinπ2+T2=1

⇔π2+T2=π2+k2πk∈Z

⇔T2=k2πk∈Z

Giá trị nhỏ nhất của T₂ là 2π.

Ta thấy ∀x∈D; x + k2π∈D thì g(x + k2π) = g(x)

Vậy hàm số gx=1sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì T₂ = 2π.

Bước 3: Chu kì của hàm số fx=tanx−1sinx

Khi đó, hàm số y=tanx−1sinxlà hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π.

Đáp án cần chọn là: A

Bước 1: Chứng tỏ ∀x∈D ⇒ −x∈D

Ta thấy ∀x∈D ⇒ −x∈D.

Bước 2: Tính f(−x) và kết luận

Mặt khác, f−x=tan−x−1sin−x=−tanx+1sinx=−fx

⇒ Hàm số fx=tanx−1sinxlà hàm lẻ. 

Đáp án cần chọn là: C