ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Các hàm số lượng giác

+) Tìm GTLN

${\sin }^{2}x\ge 0\Rightarrow 2{\sin }^{2}x\ge 0\Rightarrow 1+2{\sin }^{2}x\ge 1$

Ta có: −2 ≤ 2sin2x ≤ 2 nên loại đáp án A và B.

Cho x = 0 ⇒ y = 2sin0 = 0, do đó đồ thị hàm số y = f(x) = 2sin2x  đi qua điểm (0;0). Loại đáp án D.

Đáp án cần chọn là: C

Xét đáp án A:

TXĐ: $D=R\Rightarrow \forall x\in D\Rightarrow -x\in D$

$y\left(-x\right)=\left|-x\right|.\sin \left(-x\right)=x.\left(-\sin x\right)$

$=-x.\sin x=-y\left(x\right)$

 (I): Hàm số y = sinx có chu kỳ là 2π nên I sai.

(II): Hàm số y = tanx có tập giá trị là R nên II sai.

Tập hợp bài đưa ra là tập xác định của hàm số.

(III): Ta có hàm số y = cosx có

y(−x) = cos(−x) = cosx = y(x)

=>  y(x) = y(−x) nên đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục tung nên III đúng.

Dấu “=” xảy ra khi lần lượt sinx = −1 và sinx = 1

Bước 1:

Ta có: y = 3sinx + 4cosx − 1

 ⇔ y + 1 = 3sinx + 4cosx

⇒(y+1)² = (3sinx + 4cosx)²

Bước 2:

Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki:

(ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²)

. Với a = 3,c = sinx, b = 4, d = cosx

Khi đó

(3.sinx + 4.cosx)² ≤ (3² + 4²)(sin² x + cos² x)

= (3² + 4²).1 = 25 

⇒ −5 ≤ y + 1 ≤ 5
⇔ −6 ≤ y ≤ 4

Trả lời:

Ta có: y = cos 2x + cos x = 2cos²x + cosx – 1

Đặt cosx = t, t∈[−1;1].

Hàm số trở thành y = 2t² + t − 1. Đây là 1 parabol có bề lõm hướng lên, có hoành độ đỉnh $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{4}$

Ta vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên đoạn [0;5π].

Ta có đồ thị hàm số y = |tanx| như sau:

Ta có: $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ nên tập giá trị của hàm số là $\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$ do đó loại đáp án C.

Bước 1:

Ta có: $y=2{\cos }^{2}x+\sin 2x$

$y=2.\frac{1+\cos 2x}{2}+\sin 2x$

$y=1+2\cos 2x+\sin 2x$

Bước 1:

Ta có: $y=\sqrt{8\cos x-6\sin x-{\left(3\sin x-4\cos x\right)}^2-2m}$

Bước 1:

Ta có:

$y=\frac{\sin 2x+2\cos 2x+3}{2\sin 2x-\cos 2x+4}$

$\iff 2y.\sin 2x-y.\cos 2x+4y=\sin 2x+2\cos 2x+3$

$\iff \left(2y-1\right).\sin 2x-\left(y+2\right).\cos 2x=3-4y$

$\Rightarrow {\left[\left(2y-1\right).\sin 2x-\left(y+2\right).\cos 2x\right]}^2={\left(3-4y\right)}^2$(*)

Đặt t = 3.sinx + 4.cosx, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

$\left[\left(y-3\right).\sin 2x+\left(2y-1\right).\cos 2x\right]\le {\left(y-3\right)}^2+{\left(2y-1\right)}^2$

Điều kiện xác định  $\left\{\begin{array}{c}\cos x\ne 0\\ \sin x\ne 0\end{array}\right.\iff x\ne k\frac{\pi }{2}$

Bước 1: Chứng tỏ ∀x∈D ⇒ −x∈D

Ta thấy ∀x∈D ⇒ −x∈D.

Bước 2: Tính f(−x) và kết luận