ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Phương trình lượng giác cơ bản

$\mathrm{sinx}=sin\alpha \iff \left[\begin{array}{c}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\right.\left(k\in Z\right)$

Bước 1:

Ta có: $\sin x=\frac{1}{2}\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{6}$

Bước 2:

 $\left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in Z\right)$

Bước 3:

Bước 1:

$\sin x.\cos x=0\iff \frac{1}{2}\sin 2x=0$

Bước 2:

$\sin 2x=0\iff 2x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{2}\left(k\in Z\right)$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

$2\cos x-1=0$

$\iff \cos x=\frac{1}{2}$

$\iff \cos x=\cos \frac{\pi }{3}$

$\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

Đáp án cần chọn là: D

Bước 1:

${\sin }^{2}x-\sin x=0\iff \left[\begin{array}{c}\sin x=0\\ \sin x=1\end{array}\right.$

Bước 2:

$\iff \left[\begin{array}{c}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in Z\right)$

Bước 3:

Xét x = kπ, k∈Z

Vì 0 < x < π nên nghiệm của phương trình thỏa mãn:

0 < kπ < π ⇔ 0 < k < 1

Ta không thể tìm được số nguyên nào thỏa mãn điều trên

=> Không có số kk trong trường hợp này.

Xét $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in Z$

Vì 0 < x < π nên nghiệm của phương trình thỏa mãn:
$0<\frac{\pi }{2}+k2\pi <\pi$

$\iff -\frac{\pi }{2}<k2\pi <\frac{\pi }{2}$

$\iff -\frac{1}{4}<k<\frac{1}{4}$ mà k∈Z ⇒ k = 0. Thay vào x ta được:

$x=\frac{\pi }{2}+0=\frac{\pi }{2}$

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là $x=\frac{\pi }{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Bước 1:

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}\cos x\ne 0\\ \cos \frac{x}{2}\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ \frac{x}{2}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \pi +k2\pi \end{array}\right.$

Bước 2:

Ta có: $\tan \frac{x}{2}=\tan x$

$\iff \frac{x}{2}=x+k\pi$

$\iff -\frac{x}{2}=k\pi$

$\iff -x=2k\pi$

$\iff x=-k2\pi \left(k\in Z\right)\left(*\right)$

Đặt k = −l nên: 

(*)⇔ x = l2π (l∈Z) (TMĐK)

Đáp án cần chọn là: A

ĐKXĐ: $\sin \left(5x-\frac{\pi }{8}\right)\ne 0$

$\iff 5x-\frac{\pi }{8}\ne k\pi$

$\iff x\ne \frac{\pi }{40}+\frac{k\pi }{5}\left(k\in Z\right)$

Ta có:

$\sqrt{3}\cos \left(5x-\frac{\pi }{8}\right)=0$

$\iff \cot \left(5x-\frac{\pi }{8}\right)=0$

$\iff 5x-\frac{\pi }{8}=\frac{\pi }{2}+k\pi$

$\iff 5x=\frac{5\pi }{8}+k\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{5}\left(k\in Z\right)$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

tan(2x – 15⁰) = 1 = tan45⁰

⇔ 2x – 15⁰ = 45⁰ + k180⁰

⇔ 2x = 60 + k180⁰

⇔ x = 30⁰ + k90⁰

Theo bài ra ta có:

−90⁰ < x < 90⁰

⇔ −90⁰ < 30⁰ + k90⁰ < 90⁰

⇔ −120⁰ < k90⁰ < 60⁰

$\iff -\frac{4}{3}<k<\frac{2}{3}$

Mà k∈Z ⇒ k∈{0;−1}

Với k = 0 ta có nghiệm x = 30⁰.

Với k = −1 ta có nghiệm x = 30⁰ – 90⁰ = −60⁰

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn là $x=-60°,x=30°$

Đáp án cần chọn là: D

Hàm số $y=\frac{2\sin x-1}{\tan 2x+\sqrt{3}}$ xác định khi:

$\left\{\begin{array}{c}\cos 2x\ne 0\\ \tan 2x\ne -\sqrt{3}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ 2x\ne \frac{-\pi }{3}+k\pi \end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\\ 2\ne \frac{-\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}\end{array}\right.\left(k\in Z\right)$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $\cos 2x=\frac{1}{2}$

$\iff \cos 2x=\cos \frac{\pi }{3}$

$\iff \left[\begin{array}{c}2x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right.$

$\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Trên nửa khoảng (0⁰; 360⁰]tức (0; 2π]. Ta sẽ có các nghiệm thỏa mãn như sau:

+) $0<x=\frac{\pi }{6}+k\pi \le 2\pi$

$\iff -\frac{1}{6}<k\le \frac{11}{6}$

Mà k∈Z ⇒ k∈{0;1}. Có 2 nghiệm.

+) +) $0<x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \le 2\pi$

$\iff \frac{1}{6}<k\le \frac{13}{6}$

Mà k∈Z ⇒ k∈{1;2}. Có 2 nghiệm

Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

$\sin \left(\frac{\pi }{3}-3x\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

$\iff \left[\begin{array}{c}\frac{\pi }{3}-3x=x+\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \frac{\pi }{3}-3x=\pi -x-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}-4x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ -2x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi \end{array}\right.$ 

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{48}+\frac{k\mathrm{\pi }}{2}\\ x=-\frac{5\pi }{24}+k\pi \end{array}\right.$ $\left(K\in Z\right)$

Ta có:$\sin 3x=\cos x$

$\iff \sin 3x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

$\iff \left[\begin{array}{c}3x=\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+k2\pi \\ 3x=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+k2\pi \end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}4x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in Z\right)$

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện xác định:$\left\{\begin{array}{c}\cos x\ne 0\\ \sin x\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne k\pi \end{array}\right.$

$\iff x\ne \frac{k\pi }{2}$

→D = R\$\left\{\frac{k\pi }{2},k\in Z\right\}$

Do $\tan x.\cot x=1,\forall x\in D$ nên tập nghiệm của phương trình là R\$\left\{\frac{k\pi }{2},k\in Z\right\}$

Đáp án cần chọn là: A

Bước 1:

$\cos 11x\cos 3x=\cos 17x\cos 9x$

$\iff \frac{1}{2}.\left[\cos \left(11x+3x\right)+\cos \left(17x-3x\right)\right]=\frac{1}{2}.\left[\cos \left(17x+9x\right)+\cos \left(17x-9x\right)\right]$

$\iff \frac{1}{2}.\left[\cos 14x+\cos 8x\right]=\frac{1}{2}.\left[\cos 26x+\cos 8x\right]$

$\iff \cos 14x+\cos 8x=\cos 26x+\cos 8x$

Bước 2:

$\iff \left[\begin{array}{c}26x=14x+k2\pi \\ 26x=-14x+k2\pi \end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}12x=k2\pi \\ 40x=k2\pi \end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{k\pi }{6}\\ x=\frac{k\pi }{20}\end{array}\right.\left(k\in Z\right)$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=\frac{k\pi }{6},x=\frac{k\pi }{20}$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $\cot 20x=1$

$\iff 20x=\frac{\pi }{4}+k\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{80}+\frac{k\pi }{20}\left(k\in Z\right)$

Theo bài ra ta có:

$x\in \left[-50\pi ;0\right]$

$\iff -50\pi \le \frac{\pi }{80}+\frac{k\pi }{20}\le 0$

$\iff -50\le \frac{1}{80}+\frac{k}{20}\le 0$

$\iff -\frac{4001}{4}\le k\le -\frac{1}{4}$

⇔ −1000,25 ≤ k ≤ −0,25

Mà kϵZ ⇒ −1000 ≤ k ≤ −1

⇒ kϵ{−1000; −999; ....; −2; −1}

Tập trên có – 1 − (−1000) + 1 = 1000 phần tử suy ra có 1000 giá trị nguyên của k thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1000 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Thay $x=\frac{11\pi }{60}$ vào phương trình ta có:

$\sin \left(2.\frac{11\pi }{60}-\frac{\pi }{5}\right)=3m^2+\frac{m}{2}$

$\iff \sin \frac{\pi }{6}=3m^2+\frac{m}{2}$

$\iff \frac{1}{2}=3m^2+\frac{m}{2}$

$\iff 6m^2+m=1$

$\iff \left[\begin{array}{c}m=\frac{1}{3}\\ m=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

ĐKXĐ: $\sin x-\frac{1}{2}\ne 0\Rightarrow \sin x\ne \frac{1}{2}$

$\iff \left[\begin{array}{c}x\ne \frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x\ne \frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in Z\right)$

Ta có: $\frac{\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin x-\frac{1}{2}}=0$

$\iff \cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$

$\iff \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in Z\right)$

Đối chiếu ĐKXĐ ta thấy chỉ có nghiệm $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \left(k\in Z\right)$ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

Đáp án cần chọn là: C

ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{c}\cos 4x\ne 0\\ \sin 2x\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}4x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ 2x\ne k\pi \end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x\ne \frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\\ x\ne \frac{k\pi }{2}\end{array}\right.$

Khi đó, dễ thấy cot 2x ≠ 0 (Nếu cot 2x = 0 thì phương trình thành 0 = 1 => Vô nghiệm) nên phương trình tương đương:

$\tan 4x.\cot 2x=1$

$\iff \tan 4x=\frac{1}{\cot 2x}$

$\iff \tan 4x=\tan 2x$

$\iff 4x=2x+k\pi$

$\iff x=\frac{k\pi }{2}$

Kết hợp với điều kiện ta được phương trình vô nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D

Bước 1:

Ta có: $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+2\tan \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=1$

$\iff \cot x-2\cot 2x=1$

ĐK: $\left\{\begin{array}{c}\sin x\ne 0\\ \sin 2x\ne 0\end{array}\right.\iff \sin 2x\ne 0\iff x\ne \frac{k\pi }{2}$

Bước 2:

Khi đó phương trình tương đương:

$\iff \cot x-2\cot 2x=1$

$\iff \cot x-2\frac{1-{\tan }^{2}x}{2\tan x}=1$

$\iff \cot x-\frac{\tan x.\cot x-{\tan }^{2}x}{\tan x}=1$

$\iff \cot x-\left(\cot x-\tan x\right)=1$

$\iff \tan x=1$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in Z\right)$ (TMĐK)

Đáp án cần chọn là: B

Bước 1:

Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{6}\right]\Rightarrow 3x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right]$

Hàm số y = cos x nghịch biến trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên ta có:

$0<3x\le \frac{\pi }{2}$

$\iff \cos \frac{\pi }{2}\le \cos 3x\le cos0$

$\iff 0\le \cos 3x\le 1$

Bước 2:

Do đó phương trình cos3x = 2m² − 3m + 1 có nghiệm khi và chỉ khi:

0 ≤ 2m² − 3m + 1 < 1

$\iff \left\{\begin{array}{c}2m^2-3m+1\ge 0\\ 2m^2-3m+1<1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}m\ge 1\\ m\le \frac{1}{2}\end{array}\right.\\ 0<m<\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Kết hợp nghiệm:

$m\in \left(0;\frac{1}{2}\right]\cup \left[1;\frac{3}{2}\right)$