ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình sinx = m có nghiệm nếu |m| ≤ 1 và vô nghiệm nếu |m| > 1

Đáp án A: |m| = |−3| = 3 > 1 => Loại

Đáp án B: |m| = |−2| = 2 > 1 => Loại

Đáp án C: |m| = |0| = 0 ≤ 1 => Nhận

Đáp án D: |m| = |3| = 3 > 1 => Loại

Đáp án cần chọn là: C

sinx=sinα⇔x=α+k2πx=π−α+k2πk∈Z

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

sinx=−1

⇔sinx=sin−π2

⇔x=−π2+k2πk∈Z

Đáp án cần chọn là: C

Bước 1:

Ta có: sinx=12⇔sinx=sinπ6

Bước 2:

 x=π6+k2πx=5π6+k2πk∈Z

Bước 3:

+ Xét x=π6+k2π

Ta có: −π2≤x≤π2

⇔−π2≤π6+k2π≤π2

⇔−2π3≤k2π≤π3

⇔−2π3.2π≤k≤π3.2π

⇔−13≤k≤16

Mà k∈Z⇒k=0. Thay vào x ta được: x=π6

+ Xét x=5π6+k2π

Ta có: −π2≤x≤π2

⇔−π2≤5π6+k2π≤π2

⇔−4π3≤k2π≤−π3

⇔−4π3.2π≤k≤−π3.2π

⇔−23≤k≤−16

 

Mà k∈Z nên không có giá trị k thỏa mãn

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là x=π6

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

2sinx+π4−2=0

⇔sinx+π4=1

⇔x+π4=π2+k2π

⇔x=π4+k2πk∈Z

Mà π≤x≤5π

⇔π≤π4+k2π≤5π

⇔3π4≤k2π≤19π4

⇔38≤k≤198

⇒k∈1;2

Vậy phương trình có hai nghiệm trong đoạn [π; 5π].

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:

cos2x = 1

⇔ cos2x = cos0

⇔ 2x = k2π

⇔ x = kπ(k∈Z)

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án A: sinx=−1⇔x=−π2+k2πk∈Z nên A đúng

Đáp án B: sinx=0⇔x=kπk∈Z nên B đúng, C sai

Đáp án D: sinx=1⇔x=π2+k2πk∈Z nên D đúng

Đáp án cần chọn là: C

Bước 1:

sinx.cosx=0⇔12sin2x=0

Bước 2:

sin2x=0⇔2x=kπ⇔x=kπ2k∈Z

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

+) cosx≠1⇔x≠k2πk∈Z nên A sai

+) cosx≠0⇔x≠π2+kπk∈Z nên B đúng, D sai.

+) cosx≠−1⇔x≠π+k2πk∈Z nên C sai

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

2cosx−1=0

⇔cosx=12

⇔cosx=cosπ3

⇔x=±π3+k2πk∈Z

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: 2cosx+π3=1

⇔cosx+π3=12=cosπ4

⇔x+π3=π4+k2πx+π3=−π4+k2π

⇔x=−π12+k2πx=−7π12+k2πk∈Z

Vì 0≤x≤2π nên 0≤−π12+k2π≤2π

⇔π12≤k2π≤25π12

⇔124≤k≤2524

⇒k=1

Và 0≤−7π12+k2π≤2π

⇔7π12≤k2π≤31π12

⇔724≤k≤3124

⇒k=1

Vậy có hai nghiệm của phương trình trong khoảng [0; 2π].

Đáp án cần chọn là: B

Bước 1:

Ta có:

cos3x = cosx

⇔3x=x+k2π3x=−x+k2π

⇔2x=k2π4x=k2π

⇔x=k2πx=kπ2

Bước 2:

+) Với họ nghiệm x = kπ ta có:

Khi k = 0 thì x = 0, điểm biểu diễn là điểm A (Vẫn là điểm đó khi k chẵn)

Khi k = 1 thì x = π, điểm biểu diễn là A' (Vẫn là điểm đó khi k lẻ).

Như thế họ nghiệm x = kπ có 2 điểm biểu diễn là A, A′.

+) Với họ nghiệm x=kπ2ta có:

Như thế họ nghiệm x = kπ có 2 điểm biểu diễn là A, A′.

+) Với họ nghiệm x=kπ2ta có:

Khi k = 0 thì x = 0, điểm biểu diễn là điểm A (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m, tức là k chia hết cho 4)

Khi k = 1 thì x=π2, điểm biểu diễn là B (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+1).

Khi k = 2 thì x = π, điểm biểu diễn là A' (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+2).

Khi k = 3 thì x=3π2, điểm biểu diễn là B' (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+3).

Như thế họ nghiệm x=kπ2có 4 điểm biểu diễn là A, A′, B, B′.

+) Kết hợp các điểm này lại ta được tổng cộng vẫn là 4 điểm A, A′, B, B′. Mà 4 điểm này là 4 điểm biểu diễn của chính họ nghiệm x=kπ2 nên nghiệm của phương trình ban đầu là x=kπ2k∈Z

Đáp án cần chọn là: C

Bước 1:

sin2x−sinx=0⇔sinx=0sinx=1

Bước 2:

⇔x=kπx=π2+k2πk∈Z

 

Bước 3:

Xét x = kπ, k∈Z

Vì 0 < x < π nên nghiệm của phương trình thỏa mãn:

0 < kπ < π ⇔ 0 < k < 1

Ta không thể tìm được số nguyên nào thỏa mãn điều trên

=> Không có số kk trong trường hợp này.

Xét x=π2+k2π,k∈Z

Vì 0 < x < π nên nghiệm của phương trình thỏa mãn:
0<π2+k2π<π

⇔−π2<k2π<π2

 

⇔−14<k<14 mà k∈Z ⇒ k = 0. Thay vào x ta được:

x=π2+0=π2

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là x=π2

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

3tanx+3=0

⇔tanx=−3

⇔x=−π3+kπk∈Z

Đáp án cần chọn là: D

Bước 1:

Điều kiện: cosx≠0cosx2≠0⇔x≠π2+kπx2≠π2+kπ⇔x≠π2+kπx≠π+k2π

Bước 2:

Ta có: tanx2=tanx

⇔x2=x+kπ

⇔−x2=kπ

⇔−x=2kπ

⇔x=−k2πk∈Z*

Đặt k = −l nên: 

(*)⇔ x = l2π (l∈Z) (TMĐK)

Đáp án cần chọn là: A

ĐKXĐ: sin5x−π8≠0

⇔5x−π8≠kπ

⇔x≠π40+kπ5k∈Z

Ta có:

3cos5x−π8=0

⇔cot5x−π8=0

⇔5x−π8=π2+kπ

⇔5x=5π8+kπ

⇔x=π8+kπ5k∈Z

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

tan(2x – 15⁰) = 1 = tan45⁰

⇔ 2x – 15⁰ = 45⁰ + k180⁰

⇔ 2x = 60 + k180⁰

⇔ x = 30⁰ + k90⁰

Theo bài ra ta có:

−90⁰ < x < 90⁰

⇔ −90⁰ < 30⁰ + k90⁰ < 90⁰

⇔ −120⁰ < k90⁰ < 60⁰

⇔−43<k<23

Mà k∈Z ⇒ k∈{0;−1}

Với k = 0 ta có nghiệm x = 30⁰.

Với k = −1 ta có nghiệm x = 30⁰ – 90⁰ = −60⁰

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn là x=−60°,x=30°

Đáp án cần chọn là: D

ĐK: sinx≠0sin2x≠0

⇔sin2x≠0

⇔2x≠kπ

⇔x≠kπ2k∈Z

Ta có: cotx=cot2x

⇔2x=x+kπ

⇔x=kπk∈Z (ktm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D

Hàm số y=2sinx−1tan2x+3 xác định khi:

cos2x≠0tan2x≠−3

⇔2x≠π2+kπ2x≠−π3+kπ

⇔x≠π4+kπ22≠−π6+kπ2k∈Z

 

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: cos2x=12

⇔cos2x=cosπ3

⇔2x=π3+k2π2x=−π3+k2π

⇔x=±π6+kπk∈Z

Trên nửa khoảng (0⁰; 360⁰]tức (0; 2π]. Ta sẽ có các nghiệm thỏa mãn như sau:

+) 0<x=π6+kπ≤2π

⇔−16<k≤116

Mà k∈Z ⇒ k∈{0;1}. Có 2 nghiệm.

+) +) 0<x=−π6+kπ≤2π

⇔16<k≤136

Mà k∈Z ⇒ k∈{1;2}. Có 2 nghiệm

Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình sin2x+π7=m2−3m+3 vô nghiệm khi và chỉ khi:

m2−3m+3>1m2−3m+3<−1

⇔m2−3m+2>0m2−3m+4<0vo  nghiem

⇔m>2m<1

Đáp án cần chọn là: C

sinπ3−3x=sinx+π4

⇔π3−3x=x+π4+k2ππ3−3x=π−x−π4+k2π

⇔−4x=−π12+k2π−2x=5π12+k2π 

⇔x=π48+kπ2x=-5π24+kπ K∈Z

Đáp án cần chọn là: A

 

 

Ta có:sin3x=cosx

⇔sin3x=sinπ2−x

⇔3x=π2−x+k2π3x=π−π2−x+k2π

⇔4x=π2+k2π2x=π2+k2π

⇔x=π8+kπ2x=π4+kπk∈Z

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện xác định:cosx≠0sinx≠0

⇔x≠π2+kπx≠kπ

⇔x≠kπ2

→D = R\kπ2,k∈Z

Do tanx.cotx=1,∀x∈D nên tập nghiệm của phương trình là R\kπ2,k∈Z

Đáp án cần chọn là: A

Bước 1:

cos11xcos3x=cos17xcos9x

⇔12.cos11x+3x+cos17x−3x=12.cos17x+9x+cos17x−9x

⇔12.cos14x+cos8x=12.cos26x+cos8x

⇔cos14x+cos8x=cos26x+cos8x

Bước 2:

⇔26x=14x+k2π26x=−14x+k2π

⇔12x=k2π40x=k2π

⇔x=kπ6x=kπ20k∈Z

 

Vậy nghiệm của phương trình là: x=kπ6,x=kπ20

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: cot20x=1

⇔20x=π4+kπ

⇔x=π80+kπ20k∈Z

Theo bài ra ta có:

x∈−50π;0

⇔−50π≤π80+kπ20≤0

⇔−50≤180+k20≤0

⇔−40014≤k≤−14

 

⇔ −1000,25 ≤ k ≤ −0,25

Mà kϵZ ⇒ −1000 ≤ k ≤ −1

⇒ kϵ{−1000; −999; ....; −2; −1}

Tập trên có – 1 − (−1000) + 1 = 1000 phần tử suy ra có 1000 giá trị nguyên của k thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1000 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Thay x=11π60 vào phương trình ta có:

sin2.11π60−π5=3m2+m2

⇔sinπ6=3m2+m2

⇔12=3m2+m2

⇔6m2+m=1

⇔m=13m=−12

 

Đáp án cần chọn là: D

ĐKXĐ: sinx−12≠0⇒sinx≠12

⇔x≠π6+k2πx≠5π6+k2πk∈Z

 

Ta có: cosx−32sinx−12=0

⇔cosx−32=0

⇔cosx=32

⇔x=π6+k2πx=−π6+k2πk∈Z

 

Đối chiếu ĐKXĐ ta thấy chỉ có nghiệm x=−π6+k2πk∈Z thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là x=−π6+k2πk∈Z

Đáp án cần chọn là: C

ĐKXĐ: cos4x≠0sin2x≠0

⇔4x≠π2+kπ2x≠kπ

⇔x≠π8+kπ4x≠kπ2

 

Khi đó, dễ thấy cot 2x ≠ 0 (Nếu cot 2x = 0 thì phương trình thành 0 = 1 => Vô nghiệm) nên phương trình tương đương:

tan4x.cot2x=1

⇔tan4x=1cot2x

⇔tan4x=tan2x

⇔4x=2x+kπ

⇔x=kπ2

 

Kết hợp với điều kiện ta được phương trình vô nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D

Bước 1:

Ta có: tanπ2−x+2tan2x+π2=1

⇔cotx−2cot2x=1

ĐK: sinx≠0sin2x≠0⇔sin2x≠0⇔x≠kπ2

Bước 2:

Khi đó phương trình tương đương:

⇔cotx−2cot2x=1

⇔cotx−21−tan2x2tanx=1

⇔cotx−tanx.cotx−tan2xtanx=1

⇔cotx−cotx−tanx=1

⇔tanx=1

⇔x=π4+kπk∈Z (TMĐK)

Đáp án cần chọn là: B

Bước 1:

Với x∈0;π6⇒3x∈0;π2

Hàm số y = cos x nghịch biến trên 0;π2 nên ta có:

0<3x≤π2

⇔cosπ2≤cos3x≤cos0

⇔0≤cos3x≤1

Bước 2:

Do đó phương trình cos3x = 2m² − 3m + 1 có nghiệm khi và chỉ khi:

0 ≤ 2m² − 3m + 1 < 1

⇔2m2−3m+1≥02m2−3m+1<1

⇔m≥1m≤120<m<32

 

Kết hợp nghiệm:

m∈0;12∪1;32

Đáp án cần chọn là: C