Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 Trường THCS Quang Tiến (Nghệ An) có đáp án

a

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho bảng thống kê trên? b) Tính tần số tương đối ghép nhóm của  nhóm \[\left[ {750\,;\,\,900} \right)\]?

a) Bảng tần số ghép nhóm cho bảng thống kê. Tuổi thọ \(\left( x \right)\) \[\left[ {150;\,\,300} \right)\] \[\left[ {300\,;\,\,450} \right)\]   \[\left[ {450\,;\,\,600} \right)\] \[\left[ {600\,;\,\,750} \right)\] \[\left[ {750\,;\,\,900} \right)\] Cộng Tần số \(\left( n \right)\) 15 27 38 40 30 150  b) Tần số tương đối ghép nhóm của  nhóm \[\left[ {750\,;\,\,900} \right)\] là \(f = \frac{{30\;.\;100}}{{150}}\%  = 20\% \)

Ta liệt kê được tất cả các kết quả của phép thử bằng bẳng sau:

Mỗi ô trong bảng trên là một kết quả có thể, chúng là đồng khả năng.

Không gian mẫu có \({\rm{9}}\) phần tử

Các kết quả thuận lợi của biến cố “Hai tấm thẻ chênh nhau \({\rm{3}}\) đơn vị” là:

\(\left( {{\rm{1 ; 4}}} \right)\);\(\left( {{\rm{2 ; 5}}} \right)\); \(\left( {{\rm{3 ; 6}}} \right)\) có \({\rm{3}}\) kết quả.

Vậy xác suất của các biến cố “Hai tấm thẻ chênh nhau \({\rm{3}}\) đơn vị” là: \(\frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).

2 2đ	a)	\(\begin{array}{l}A = 2\sqrt {28}  + 2\sqrt 9  - 4\sqrt 7  = 2.2\sqrt 7  + 2.3 - 4\sqrt 7 \;\\ = 4\sqrt 7  + 6 - 4\sqrt 7 \;\\ = \left( {4\sqrt 7  - 4\sqrt 7 } \right) + 6 = 6\end{array}\)
	b	ĐK: \(x > 0,x \ne 1\) \(A = \left( {\frac{{ - 2}}{{x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\) \[A = \left( {\frac{{ - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right):\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\] \[A = \frac{{ - 2 + \sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}:\frac{2}{{\sqrt x  + 1}}\] \[\begin{array}{l}A = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 1}}{2}\\A = \frac{1}{2}\end{array}\] Vậy \[A = \frac{1}{2}\] với \(x > 0,x \ne 1\).
	c	Vì đồ thị hàm số đi qua \(A\left( { - 2; - 2} \right)\) nên thay \(x =  - 2;y =  - 2\) vào hàm số ta được: \(\left( {m - 2} \right) \cdot {( - 2)^2} =  - 2 \Rightarrow \)\(4\left( {m - 2} \right) =  - 2 \Rightarrow \)\(m - 2 =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \)\(m = \frac{3}{2}\). \(P = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{3}{2} + 1 = \frac{{19}}{4}\).

Gọi giá tiền của một cái áo và một cái quần theo giá niêm yết lần lượt là \(x\), \(y\)(nghìn đồng) \((0 < x,y < 1950)\)

Vì tổng số tiền phải trả để mua \(3\) cái áo và \(2\) cái quần theo giá niêm yết là \[1\,\,950\,\,000\] đồng nên ta có phương trình: \(3x + 2y = 1950\) \(\left( 1 \right)\)

Giá một chiếc áo sau khi tăng thêm \(10\% \) là: \(x + 10\% x = 1,1x\) (nghìn đồng)

Giá một chiếc quần sau khi giảm đi \(20\% \) là: \(y - 20\% y = 0,8y\) (nghìn đồng)

Vì chị Thơ phải trả số tiền là \[1\,\,875\,\,000\] đồng khi mua \(3\) cái áo và \(2\) cái quần nên ta có:\(3.1,1x + 2.0,8y = 1875\) hay \(3,3x + 1,6y = 1875\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y = 1950}\\{3,3x + 1,6y = 1875}\end{array}} \right.{\rm{ }}\)

Giải hệ pt ta được

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 350}\\{y = 450}\end{array}} \right.\) (tmđk)

Vậy giá tiền niêm yết của một cái áo là \[350\] nghìn đồng,giá niêm yết của một cái quần là \[450\]nghìn đồng.

Gọi x là số sản phẩm mà cơ sở sản xuất phải làm mỗi ngày theo kế hoạch (sản phẩm, \(x \in {N^{\rm{*}}}\)).
Số sản phẩm mà cơ sở sản xuất làm trong một ngày theo thực tế là: \(x + 10\) (sản phẩm).
Thời gian mà cơ sở sản xuất làm xong sản phẩm theo kế hoạch là: \(\frac{{600}}{x}\) (ngày).

Số sản phẩm mà cơ sở sản xuất làm được trong thực tế là: \(600 + 100 = 700\) (sản
phẩm). Thời gian mà cơ sở sản xuất làm xong sản phẩm theo thực tế là: \(\frac{{700}}{{x + 10}}\) (ngày).
Do thực tế cơ sở sản xuất hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày nên ta có phương
trình: \(\frac{{600}}{x} - \frac{{700}}{{x + 10}} = 1\)
\(\frac{{600\left( {x + 10} \right) - 700x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}}\)
Suy ra \(600x + 6000 - 700x = {x^2} + 10x\)
\({x^2} + 110x - 6000 = 0\)
Tính được \(x = - 150\) (loại), \(x = 40\)(tm )
Vậy số sản phẩm mà cơ sở sản xuất phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là 40 sản phẩm

Do phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) nên theo định lí Vietes ta có \({x_1} + {x_2} = 4;\,\,{x_1}{x_2} = 1\).

Vì \({x_1}\) là ngiệm của phương trình nên ta có: \({x_1}^2 - 4{x_1} + 1 = 0 \to {x_1}^2 = 4{x_1} - 1\)

Ta có \[{x_1}^2 + 4{x_2} = 4{x_1} + 4{x_2} - 1 = 4.\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 1 = 4.4 - 1 = 15\]

Ta có  :

\(14{x_1} + 24 = \left( {{x_1}^2 + 10{x_1} + 25} \right) - \left( {{x_1}^2 - 4{x_1} + 1} \right) = {x_1}^2 + 10{x_1} + 25 = {\left( {{x_1} + 5} \right)^2}\)

Vì \({x_2}\) là ngiệm của phương trình nên ta có: \({x_2}^2 - 4{x_2} + 1 = 0\)

Ta có  : \[11{x_2}^2 - 2{x_2} + 3 = 9{x_2}^2 + 6{x_2} + 1 + 2\left( {{x_2}^2 - 4{x_2} + 1} \right) = {\left( {3{x_2} + 1} \right)^2}\]

Suy ra

\[\begin{array}{l}\left| {\sqrt {14{x_1} + 24}  - \sqrt {11{x_2}^2 - 2{x_2} + 3} } \right| = \left| {{x_1} + 5 - 3{x_2} - 1} \right| = \left| {{x_1} + {x_1} + {x_2} - 3{x_2}} \right|\\ = 2\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = 4\sqrt 3 \end{array}\]

Vậy \[A = 60\sqrt 3 \]

	Vẽ hình đến câu a)
a	Ta có \(\widehat {BFC} = 90^\circ \) (vì CF là đường cao), nên điểm F thuộc đường tròn đường kính BC (1) Ta có \(\widehat {BEC} = 90^\circ \) (vì BE là đường cao), nên điểm E thuộc đường tròn đường kính BC (2) Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn đường kính BC Vậy tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC
	b) Gọi M, K lần lượt là trung điểm của BC và EF, I là giao điểm của AK và (O). Chứng minh: \(\widehat {AFE} = \widehat {AIB}\) và .
b	Vì tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC suy ra \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\)( cùng bù với góc BFE ) Mà \(\widehat {AIB} = \widehat {ACB}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của (O)) Vậy \(\widehat {AFE} = \widehat {AIB}\) Chứng minh được hai tam giác AEF và ABC đồng dạng, Mà K, M là trung điểm của EF và BC. Chứng minh được hai tam giác AKF và AMC đồng dạng , suy ra \(\widehat {FAK} = \widehat {CAM}\) Từ đó chứng minh được  (gg)
	c) Gọi N là giao điểm của \[AM\] và EF. Kẻ ND vuông góc với BC tại D. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt \[BC\] tại Q. Chứng minh \(QB.DC = QC.DB\).
c	Tứ giác \(BFEC\)nội tiếp đường tròn tâm M nên \(ME = MF\), dẫn đến \(MK \bot EF\). Do đó tứ giác \(NKDM\)nội tiếp, suy ra \(\widehat {DKN} = 180^\circ - \widehat {DMN} = 180^\circ - \widehat {AMB} = 180^\circ - \widehat {AKE}\) Vậy \(A,K,D\)thẳng hàng Ta có do đó : \(\frac{{BI}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AM}};\,\frac{{CI}}{{MB}} = \frac{{AC}}{{AM}}\), Từ đây ta suy ra \(\frac{{BI}}{{CI}} = \frac{{AB}}{{AC}}\left( 3 \right)\) Lại có nên \(\frac{{DB}}{{BI}} = \frac{{AD}}{{AC}}\,\,\& \frac{{DC}}{{CI}} = \frac{{AD}}{{AB}}\) Kết hợp với (3) ta suy ra \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\frac{{BI}}{{CI}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}(4)\) Mặt khác ta có hai tam giác \(QAB\)và \(QCA\)đồng dạng nên \(\frac{{QA}}{{QC}} = \frac{{QB}}{{QA}} = \frac{{AB}}{{AC}}\). Từ đó suy ra \(\frac{{QB}}{{QC}} = \frac{{QA}}{{QC}}.\frac{{QB}}{{QA}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}\left( 5 \right)\) Từ (4) và (5) ta thu được \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{QB}}{{QC}}\,hay\,\,QB.DC = QC.DB\)

a) Gọi bán kính của khúc gỗ hình trụ ban đầu là: \(R\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) (\(R > 0\))

Thể tích hình trụ ban đầu là: \({V_1} = \pi {R^2}\,\, \cdot \,\,h = 15\pi \,\, \cdot \,\,{R^2}\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)

Hình nón có thể tích lớn nhất nên hình nón có \(1\) đáy là đáy của hình trụ ban đầu và chiều cao là chiều cao hình trụ.

Thể tích hình nón là:

\({V_2} = \frac{1}{3}\pi \,\, \cdot \,\,{R^2}\,\, \cdot \,\,h = \frac{1}{3}\pi \,\, \cdot \,\,{R^2}\,\, \cdot \,\,15 = 5\pi {R^2}\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)

Vì phần gỗ bỏ đi có thể tích là \(640\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nên:

\({V_1} - {V_2} = 640\pi \)

\(10\pi {R^2} = 640\pi \)

\({R^2} = 64\)

\(R = 8\;({\rm{cm}})\)

\({V_1} = 15\pi {R^2} = 960\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)

Vậy thể tích khúc gỗ hình trụ là \(960\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)

b) Gọi đường sinh của hình nón là \(l{\rm{ }}({\rm{cm}})\)

Ta có \({l^2} = {R^2} + {h^2} = {8^2} + {15^2} = 289\)

\(l = 17\;({\rm{cm}})\)

\({S_{xq}} = \pi Rl = \pi \,\, \cdot \,\,8\,\, \cdot \,\,17 = 136\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^2})\)

Diện tích xung quanh hình nón là: \(136\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^2})\).

Gọi \(r\)là bán kính đáy, \(h\) là chiều cao của thùng sơn đã cho.

Theo giả thiết, thùng sơn có dung tích \(1000\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nên ta có \(V = 1000 \Leftrightarrow \pi \,.\,\,{R^2}\,.\,h = 1000\)

Diện tích toàn phần của thùng sơn có nắp đậy là \({S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\({S_{tp}} = \pi (2{{\rm{r}}^2} + rh + rh) \ge \pi .\,\,3.\,\,\sqrt[3]{{2{{\rm{r}}^2}.\,\,rh\,.\,\,rh}} = 3\pi \sqrt[3]{{2{{\rm{r}}^4}.\,\,{h^2}}} = 3\pi \,.\,\,\sqrt[3]{{2\,.\,\,{{\left( {\frac{{1000}}{\pi }} \right)}^2}}}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(2{{\rm{r}}^2} = rh \Rightarrow h = 2{\rm{r}}\)

Mà \({r^2}h = \frac{{1000}}{\pi }\)

\(2{r^3} = \frac{{1000}}{\pi }\)

\(r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}}\)

Vậy để diện tích toàn phần của thùng sơn nhỏ nhất thì  $r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}$