Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 Trường THCS Quang Tiến (Nghệ An) có đáp án
9 câu hỏi
(1,5 điểm)
Một siêu thị thống kê hóa đơn mua hàng (đơn vị: nghìn đồng) của những khách hàng đầu tiên trong ngày. Số liệu được ghi lại trong biểu đồ tần số ghép nhóm sau:
a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho bảng thống kê trên?
b) Tính tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [750; 900) ?
a | a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho bảng thống kê trên? b) Tính tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \[\left[ {750\,;\,\,900} \right)\]? | |||||||||||||
a) Bảng tần số ghép nhóm cho bảng thống kê.
b) Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \[\left[ {750\,;\,\,900} \right)\] là \(f = \frac{{30\;.\;100}}{{150}}\% = 20\% \) |
Có hai túi \(A\) và \(B\). Túi \(A\)có ba quả bóng ghi các số \(4\,;\,\,5\,;\,\,6.\)Túi \(B\)có ba quả bóng ghi các số \(1\,;\,\,2\,;\,\,3.\) Từ mỗi túi \(A\) và \(B\) lấy ngẫu nhiên hai quả bóng. Viết không gian mẫu của phép thử và tính xác suất của biến cố C: “Hai số ghi trên 2 quả bóng chênh nhau \({\rm{3}}\)đơn vị”.
Ta liệt kê được tất cả các kết quả của phép thử bằng bẳng sau:
Túi \(A\) Túi \(B\) | \({\rm{4}}\) | \({\rm{5}}\) | \({\rm{6}}\) |
\({\rm{1}}\) | \(\left( {{\rm{1 ; 4}}} \right)\) | \(\left( {{\rm{1 ; 5}}} \right)\) | \(\left( {{\rm{1 ; 6}}} \right)\) |
\({\rm{2}}\) | \(\left( {{\rm{2 ; 4}}} \right)\) | \(\left( {{\rm{2 ; 5}}} \right)\) | \(\left( {{\rm{2 ; 6}}} \right)\) |
\({\rm{3}}\) | \(\left( {{\rm{3 ; 4}}} \right)\) | \(\left( {{\rm{3 ; 5}}} \right)\) | \(\left( {{\rm{3 ; 6}}} \right)\) |
Mỗi ô trong bảng trên là một kết quả có thể, chúng là đồng khả năng.
Không gian mẫu có \({\rm{9}}\) phần tử
Các kết quả thuận lợi của biến cố “Hai tấm thẻ chênh nhau \({\rm{3}}\) đơn vị” là:
\(\left( {{\rm{1 ; 4}}} \right)\);\(\left( {{\rm{2 ; 5}}} \right)\); \(\left( {{\rm{3 ; 6}}} \right)\) có \({\rm{3}}\) kết quả.
Vậy xác suất của các biến cố “Hai tấm thẻ chênh nhau \({\rm{3}}\) đơn vị” là: \(\frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).(2,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức: \(A = 2\sqrt {28} + 2\sqrt 9 - 4\sqrt 7 \)
b) Rút gọn biểu thức: \(B = \left( {\frac{{ - 2}}{{x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\) với \(x > 0,x \ne 1\).
c) Cho Parabol \((P):y = (m - 2){x^2}\) có đồ thị như hình vẽ:
Tính giá trị biểu thức \(P = {m^2} + m + 1\).
2 2đ | a) | \(\begin{array}{l}A = 2\sqrt {28} + 2\sqrt 9 - 4\sqrt 7 = 2.2\sqrt 7 + 2.3 - 4\sqrt 7 \;\\ = 4\sqrt 7 + 6 - 4\sqrt 7 \;\\ = \left( {4\sqrt 7 - 4\sqrt 7 } \right) + 6 = 6\end{array}\) |
b | ĐK: \(x > 0,x \ne 1\) \(A = \left( {\frac{{ - 2}}{{x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\) \[A = \left( {\frac{{ - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\] \[A = \frac{{ - 2 + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\frac{2}{{\sqrt x + 1}}\] \[\begin{array}{l}A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 1}}{2}\\A = \frac{1}{2}\end{array}\] Vậy \[A = \frac{1}{2}\] với \(x > 0,x \ne 1\). | |
c |
Vì đồ thị hàm số đi qua \(A\left( { - 2; - 2} \right)\) nên thay \(x = - 2;y = - 2\) vào hàm số ta được: \(\left( {m - 2} \right) \cdot {( - 2)^2} = - 2 \Rightarrow \)\(4\left( {m - 2} \right) = - 2 \Rightarrow \)\(m - 2 = - \frac{1}{2} \Rightarrow \)\(m = \frac{3}{2}\). \(P = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{3}{2} + 1 = \frac{{19}}{4}\). |
(2,5 điểm)
Chị Vân đến một cửa hàng thời trang mua áo và quần. Hôm ấy, cửa hàng này đã tăng giá bán một cái áo lên \(10\% \)và giảm giá bán một cái quần xuống \(20\% \)so với giá niêm yết. Do đó, chị Thơ phải trả số tiền là \[1\,\,875\,\,000\]đồng khi mua \(3\) cái áo và \(2\) cái quần. Biết rằng tổng số tiền phải trả để mua \(3\) cái áo và \(2\) cái quần theo giá niêm yết là \[1\,\,950\,\,000\]đồng. Hỏi giá tiền của một cái áo và một cái quần theo giá niêm yết là bao nhiêu?
Gọi giá tiền của một cái áo và một cái quần theo giá niêm yết lần lượt là \(x\), \(y\)(nghìn đồng) \((0 < x,y < 1950)\)
Vì tổng số tiền phải trả để mua \(3\) cái áo và \(2\) cái quần theo giá niêm yết là \[1\,\,950\,\,000\] đồng nên ta có phương trình: \(3x + 2y = 1950\) \(\left( 1 \right)\)
Giá một chiếc áo sau khi tăng thêm \(10\% \) là: \(x + 10\% x = 1,1x\) (nghìn đồng)
Giá một chiếc quần sau khi giảm đi \(20\% \) là: \(y - 20\% y = 0,8y\) (nghìn đồng)
Vì chị Thơ phải trả số tiền là \[1\,\,875\,\,000\] đồng khi mua \(3\) cái áo và \(2\) cái quần nên ta có:\(3.1,1x + 2.0,8y = 1875\) hay \(3,3x + 1,6y = 1875\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y = 1950}\\{3,3x + 1,6y = 1875}\end{array}} \right.{\rm{ }}\)
Giải hệ pt ta được
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 350}\\{y = 450}\end{array}} \right.\) (tmđk)
Vậy giá tiền niêm yết của một cái áo là \[350\] nghìn đồng,giá niêm yết của một cái quần là \[450\]nghìn đồng.Một cơ sở sản xuất lập kế hoạch làm 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất mỗi ngày tăng thêm 10 sản phẩm. Vì thế không những hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày, mà cơ sở còn sản xuất vượt mức 100 sản phẩm. Biết rằng số sản phẩm mà cơ sở đó làm được trong mỗi ngày là bằng nhau. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày cơ sở sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm?
Gọi x là số sản phẩm mà cơ sở sản xuất phải làm mỗi ngày theo kế hoạch (sản phẩm, \(x \in {N^{\rm{*}}}\)).
Số sản phẩm mà cơ sở sản xuất làm trong một ngày theo thực tế là: \(x + 10\) (sản phẩm).
Thời gian mà cơ sở sản xuất làm xong sản phẩm theo kế hoạch là: \(\frac{{600}}{x}\) (ngày).
phẩm). Thời gian mà cơ sở sản xuất làm xong sản phẩm theo thực tế là: \(\frac{{700}}{{x + 10}}\) (ngày).
Do thực tế cơ sở sản xuất hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày nên ta có phương
trình: \(\frac{{600}}{x} - \frac{{700}}{{x + 10}} = 1\)
\(\frac{{600\left( {x + 10} \right) - 700x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}}\)
Suy ra \(600x + 6000 - 700x = {x^2} + 10x\)
\({x^2} + 110x - 6000 = 0\)
Tính được \(x = - 150\) (loại), \(x = 40\)(tm )
Vậy số sản phẩm mà cơ sở sản xuất phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là 40 sản phẩm
Cho phương trình: \({x^2} - 4x + 1 = 0\) có 2 nghiệm dương \({x_1},\,\,{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức: \[A = \left( {x_1^2 + 4{x_2}} \right).\left| {\sqrt {14{x_1} + 24} - \sqrt {11{x_2}^2 - 2{x_2} + 3} } \right|\]
Do phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) nên theo định lí Vietes ta có \({x_1} + {x_2} = 4;\,\,{x_1}{x_2} = 1\).
Vì \({x_1}\) là ngiệm của phương trình nên ta có: \({x_1}^2 - 4{x_1} + 1 = 0 \to {x_1}^2 = 4{x_1} - 1\)
Ta có \[{x_1}^2 + 4{x_2} = 4{x_1} + 4{x_2} - 1 = 4.\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 1 = 4.4 - 1 = 15\]
Ta có :
\(14{x_1} + 24 = \left( {{x_1}^2 + 10{x_1} + 25} \right) - \left( {{x_1}^2 - 4{x_1} + 1} \right) = {x_1}^2 + 10{x_1} + 25 = {\left( {{x_1} + 5} \right)^2}\)
Vì \({x_2}\) là ngiệm của phương trình nên ta có: \({x_2}^2 - 4{x_2} + 1 = 0\)
Ta có : \[11{x_2}^2 - 2{x_2} + 3 = 9{x_2}^2 + 6{x_2} + 1 + 2\left( {{x_2}^2 - 4{x_2} + 1} \right) = {\left( {3{x_2} + 1} \right)^2}\]
Suy ra
\[\begin{array}{l}\left| {\sqrt {14{x_1} + 24} - \sqrt {11{x_2}^2 - 2{x_2} + 3} } \right| = \left| {{x_1} + 5 - 3{x_2} - 1} \right| = \left| {{x_1} + {x_1} + {x_2} - 3{x_2}} \right|\\ = 2\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = 4\sqrt 3 \end{array}\]
Vậy \[A = 60\sqrt 3 \](3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O), có các đường cao BE,CF.
a) Chứng minh tứ giác \[BCEF\] nội tiếp.
b) Gọi M, K lần lượt là trung điểm của BC và EF, I là giao điểm của AK và (O). Chứng minh: \(\widehat {AFE} = \widehat {AIB}\)và .
c) Gọi N là giao điểm của \[AM\] và EF. Kẻ ND vuông góc với BC tại D. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt \[BC\] tại Q. Chứng minh \(QB.DC = QC.DB\).
| Vẽ hình đến câu a) |
a | Ta có \(\widehat {BFC} = 90^\circ \)(vì CF là đường cao), nên điểm F thuộc đường tròn đường kính BC (1) Ta có \(\widehat {BEC} = 90^\circ \)(vì BE là đường cao), nên điểm E thuộc đường tròn đường kính BC (2) Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn đường kính BC Vậy tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC |
| b) Gọi M, K lần lượt là trung điểm của BC và EF, I là giao điểm của AK và (O). Chứng minh: \(\widehat {AFE} = \widehat {AIB}\)và . |
b | Vì tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC suy ra \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\)( cùng bù với góc BFE ) Mà \(\widehat {AIB} = \widehat {ACB}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của (O)) Vậy \(\widehat {AFE} = \widehat {AIB}\) Chứng minh được hai tam giác AEF và ABC đồng dạng, Mà K, M là trung điểm của EF và BC. Chứng minh được hai tam giác AKF và AMC đồng dạng , suy ra \(\widehat {FAK} = \widehat {CAM}\) Từ đó chứng minh được (gg) |
| c) Gọi N là giao điểm của \[AM\] và EF. Kẻ ND vuông góc với BC tại D. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt \[BC\] tại Q. Chứng minh \(QB.DC = QC.DB\). |
c | Tứ giác \(BFEC\)nội tiếp đường tròn tâm M nên \(ME = MF\), dẫn đến \(MK \bot EF\). Do đó tứ giác \(NKDM\)nội tiếp, suy ra \(\widehat {DKN} = 180^\circ - \widehat {DMN} = 180^\circ - \widehat {AMB} = 180^\circ - \widehat {AKE}\) Vậy \(A,K,D\)thẳng hàng Ta có do đó : \(\frac{{BI}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AM}};\,\frac{{CI}}{{MB}} = \frac{{AC}}{{AM}}\), Từ đây ta suy ra \(\frac{{BI}}{{CI}} = \frac{{AB}}{{AC}}\left( 3 \right)\) Lại có nên \(\frac{{DB}}{{BI}} = \frac{{AD}}{{AC}}\,\,\& \frac{{DC}}{{CI}} = \frac{{AD}}{{AB}}\) Kết hợp với (3) ta suy ra \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\frac{{BI}}{{CI}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}(4)\) Mặt khác ta có hai tam giác \(QAB\)và \(QCA\)đồng dạng nên \(\frac{{QA}}{{QC}} = \frac{{QB}}{{QA}} = \frac{{AB}}{{AC}}\). Từ đó suy ra \(\frac{{QB}}{{QC}} = \frac{{QA}}{{QC}}.\frac{{QB}}{{QA}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}\left( 5 \right)\) Từ (4) và (5) ta thu được \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{QB}}{{QC}}\,hay\,\,QB.DC = QC.DB\) |
Từ một khúc gỗ hình trụ cao \(15\,{\rm{cm}}\), người ta tiện thành một hình nón có thể tích lớn nhất có chiều cao và bán kính đáy bằng chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là \(640\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
a) Tính thể tích khúc gỗ hình trụ.
b) Tính diện tích xung quanh hình nón.
a) Gọi bán kính của khúc gỗ hình trụ ban đầu là: \(R\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) (\(R > 0\))
Thể tích hình trụ ban đầu là: \({V_1} = \pi {R^2}\,\, \cdot \,\,h = 15\pi \,\, \cdot \,\,{R^2}\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)
Hình nón có thể tích lớn nhất nên hình nón có \(1\) đáy là đáy của hình trụ ban đầu và chiều cao là chiều cao hình trụ.
Thể tích hình nón là:
\({V_2} = \frac{1}{3}\pi \,\, \cdot \,\,{R^2}\,\, \cdot \,\,h = \frac{1}{3}\pi \,\, \cdot \,\,{R^2}\,\, \cdot \,\,15 = 5\pi {R^2}\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)
Vì phần gỗ bỏ đi có thể tích là \(640\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nên:
\({V_1} - {V_2} = 640\pi \)
\(10\pi {R^2} = 640\pi \)
\({R^2} = 64\)
\(R = 8\;({\rm{cm}})\)
\({V_1} = 15\pi {R^2} = 960\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)
Vậy thể tích khúc gỗ hình trụ là \(960\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)
b) Gọi đường sinh của hình nón là \(l{\rm{ }}({\rm{cm}})\)
Ta có \({l^2} = {R^2} + {h^2} = {8^2} + {15^2} = 289\)
\(l = 17\;({\rm{cm}})\)
\({S_{xq}} = \pi Rl = \pi \,\, \cdot \,\,8\,\, \cdot \,\,17 = 136\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^2})\)
Diện tích xung quanh hình nón là: \(136\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^2})\).Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích \(1000\,c{m^3}\).Muốn chi phí nguyên liệu làm vỏ thùng ít nhất tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất thì bán kính nắp đậy là bao nhiêu?
Gọi \(r\)là bán kính đáy, \(h\) là chiều cao của thùng sơn đã cho.
Theo giả thiết, thùng sơn có dungtích \(1000\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nên ta có \(V = 1000 \Leftrightarrow \pi \,.\,\,{R^2}\,.\,h = 1000\)
Diện tích toàn phần của thùng sơn có nắp đậy là \({S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\({S_{tp}} = \pi (2{{\rm{r}}^2} + rh + rh) \ge \pi .\,\,3.\,\,\sqrt[3]{{2{{\rm{r}}^2}.\,\,rh\,.\,\,rh}} = 3\pi \sqrt[3]{{2{{\rm{r}}^4}.\,\,{h^2}}} = 3\pi \,.\,\,\sqrt[3]{{2\,.\,\,{{\left( {\frac{{1000}}{\pi }} \right)}^2}}}\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(2{{\rm{r}}^2} = rh \Rightarrow h = 2{\rm{r}}\)
Mà \({r^2}h = \frac{{1000}}{\pi }\)
\(2{r^3} = \frac{{1000}}{\pi }\)
\(r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}}\)
Vậy để diện tích toàn phần của thùng sơn nhỏ nhất thì
