Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 Trường THCS Cầu Giấy (Hà Nội) có đáp án
9 câu hỏi
Thống kê điểm thi học kỳ I môn Toán 9 của một trường THCS theo nhóm được cho bởi bảng sau (không có học sinh bỏ thi):
Điểm | ≤ 7 | (7; 8] | (8; 9] | (9; 10] |
Số lượng | 33 | 60 | 189 | 168 |
a) Hỏi khối 9 của trường đó có bao nhiêu học sinh?
b) Nhóm điểm nào (trong bảng) có nhiều học sinh nhất và chiếm bao nhiêu phần trăm số học sinh của khối 9?
a) Tổng số học sinh là \[33 + 60 + 189 + 168 = 450\] (học sinh).
b) Nhóm điểm có nhiều học sinh nhất là nhóm \((8;9]\).
Tỉ lệ phần trăm là \(\frac{{189}}{{450}} \cdot 100\% = 42\% \).
Vậy nhóm điểm \((8;9]\) có nhiều học sinh nhất, chiếm 42% số học sinh của khối 9.
Tổng số bóng trong hộp là \[13 + 10 + 80 = 103\] (quả) nên có 103 kết quả có thể
Ta có số bóng không phải màu trắng là \[13 + 10 = 23\] (quả)
Suy ra có 23 kết quả thuận lợi cho biến cố A.
Do đó \(P(A) = \frac{{23}}{{103}} \approx 0,22\)
(1,5 điểm)
Cho hai biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x }}\] và \[B = \left( {\frac{{8 - \sqrt x }}{{x - 9}} + \frac{2}{{\sqrt x + 3}}} \right) \cdot \frac{{x - 3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\] với \[x > 0;x \ne 9\].
1. Tính giá trị biểu thức \[A\] tại \[x = 4\].
2. Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\].
3. Cho \[P = A \cdot B\]. Tìm các giá trị của \[x\] để \[P\] nhận giá trị là số nguyên.
1. Thay \[x = 4\] (TMĐK) vào biểu thức \[A\] ta được:
\[A = \frac{{\sqrt 4 + 5}}{{\sqrt 4 }} = \frac{{2 + 5}}{2} = \frac{7}{2}\].
Vậy \[A = \frac{7}{2}\] tại \[x = 4\].
2. Ta có:
\[B = \left( {\frac{{8 - \sqrt x }}{{x - 9}} + \frac{2}{{\sqrt x + 3}}} \right) \cdot \frac{{x - 3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\]
\[B = \left( {\frac{{8 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x + 2}}\]
\[B = \frac{{8 - \sqrt x + 2\sqrt x - 6}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x + 2}}\]
\[B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x + 2}}\]
\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\]
3. Ta có \[P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 3}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x + 3}}\]
Để \[P\] nhận giá trị là số nguyên thì \[1 + \frac{2}{{\sqrt x + 3}} \in \mathbb{Z}\] hay \[\frac{2}{{\sqrt x + 3}} \in \mathbb{Z}\].
Với \[x > 0;x \ne 9\] ta có \[\sqrt x > 0\].
Suy ra \[\sqrt x + 3 > 3\], do đó \[0 < \frac{2}{{\sqrt x + 3}} < \frac{2}{3}\].
Vậy không có giá trị nào của \[x\] thoả mãn \[P\] nhận giá trị là số nguyên.
(2,5 điểm)
Gọi số quả bóng vào rổ là \[x\] (quả) \[(x \in \mathbb{N};x \le 15)\]
Số quả bóng ném ra ngoài là: \[15 - x\] (quả)
Tổng số điểm của bạn học sinh là: \[2x - (15 - x)\] (điểm)
Vì nếu bạn có số điểm từ \[15\] điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển nên để được chọn vào đội tuyển thì:
\[2x - (15 - x) \ge 15\]
\[2x - 15 + x \ge 15\]
\[3x \ge 30\]
\[x \ge 10\]
Vậy học sinh cần ném ít nhất \[10\] quả vào rổ.
Giải toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Theo kế hoạch hai tổ sản xuất được giao làm \[600\] sản phẩm. Nhờ tăng năng suất lao động tổ 1 làm vượt mức \[10\% \] và tổ hai làm vượt mức \[20\% \] so với kế hoạch của mỗi tổ, nên cả hai tổ làm được \[685\] sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ làm theo kế hoạch.
Gọi số sản phẩm tổ một và tổ hai làm theo kế hoạch lần lượt là \[x\] và \[y\] (sản phẩm) \[(x,y \in \mathbb{N}*)\]
Vì theo kế hoạch hai tổ sản xuất được giao làm \[600\] sản phẩm nên ta có phương trình:
\[x + y = 600\] \[(1)\]
Số sản phẩm tổ một làm được thực tế là: \[x + 10\% x = 1,1x\] (sản phẩm)
Số sản phẩm tổ hai làm được thực tế là: \[y + 20\% y = 1,2y\] (sản phẩm)
Mà thực tế cả hai tổ làm được \[685\] sản phẩm nên ta có phương trình: \[1,1x + 1,2y = 685\] \[(2)\]
Từ \[(1)\] và \[(2)\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\\1,1x + 1,2y = 685\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 600 - y\\1,1(600 - y) + 1,2y = 685\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 600 - y\\660 - 1,1y + 1,2y = 685\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 600 - y\\0,1y = 25\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 600 - 250 = 350\\y = 250\end{array} \right.\](TMĐK)
Vậy số sản phẩm tổ một và tổ hai làm theo kế hoạch lần lượt là \[350\] và \[250\] sản phẩm.
Ta có: \[2{x^2} - 4x + 1 = 0\]
Vì \[\Delta = {( - 4)^2} - 4.2.1 = 8 > 0\] nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1}\] và \[{x_2}\].
Mà \[{2.0^2} - 4.0 + 1 = 1 \ne 0\] nên \[{x_1},{x_2}\] khác \[0\].
Theo định lí Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]
Tổng nghịch đảo hai nghiệm là: \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}} = \frac{2}{{\frac{1}{2}}} = 4\].
(4,0 điểm)
Để kiểm tra hệ thống cân bằng điện tử (tên Tiếng Anh viết tắt: ESP) của một chiếc ô tô, người ta tạo ra đường chạy thử dạng hình tròn \(\left( {O;\,\,500\,\,{\rm{m}}} \right)\). Cho \(\pi \approx 3,14\).
a) Tính số ki-lô-mét mà ô tô đi được qua mỗi vòng chạy thử.
b) Ô tô xuất phát tại vị trí \(A\) và chạy theo chiều mũi tên được \(10\,\,{\rm{km}}\) rồi dừng lại tại vị trí \(B\). Tính số đo góc \(\widehat {AOB}\) (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).
a) Tính số ki-lô-mét mà ô tô đi được qua mỗi vòng chạy thử.
\[C = 2\pi R \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 500 = 3140{\rm{ (m) = 3}}{\rm{,14 (km)}}\]
b)Độ dài cung\[AB\] (theo hướng mũi tên) là:
\[10 - 3,14.3 = 0,58{\rm{ (km) < }}\frac{1}{2}C\]
Số đo cung \[AB\]tương ứng là: \[\frac{{0,58.360^\circ }}{{3,14}} \approx 66^\circ \].
a. Chứng minh \(O,A,K,D\) thuộc một đường tròn.
b. Kẻ đường kính \(DE\) của \((O)\). \(KE\) cắt \((O)\) tại \(F\) (\(F \ne E\)). Gọi \(G\) là giao điểm của \(AF\) với \(BK\). Chứng minh \(AE{\rm{ // }}BC\) và \(GF \cdot GA = G{H^2}\).
c) Kẻ \(AM \bot BD\) tại \(M\). Gọi \(I\)là trung điểm của đoạn thẳng\(AM\). Chứng minh B, I, F thẳng hàng.
a. Chứng minh \(O,A,K,D\) thuộc một đường tròn.
![\[ \Rightarrow B,I,F\]thẳng hàng. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/18-1778297153.png)
Chỉ ra \[\widehat {OAK} = \widehat {ODK} = 90^\circ \].
Tam giác \[OAK\]vuông tại \[A\] nên \[O,A,K\] thuộc đường tròn đường kính \[OK\].
Tam giác \[\Delta ODK\]vuông tại \[D\] nên \[O,D,K\] thuộc đường tròn đường kính \[OK\].
Vậy bốn điểm \[O,A,D,K\] cùng thuộc một đường tròn đường kính \[OK\].
b)
![\[ \Rightarrow B,I,F\]thẳng hàng. (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/19-1778297185.png)
Chỉ ra \[OK \bot AD\] tại \[H\]là trung điểm\[AD\].
Chỉ ra \(\widehat {DAE} = 90^\circ \Rightarrow AE \bot AD \Rightarrow AE\,{\rm{//}}\,BC\).
Chỉ ra \(HFKD\)nội tiếp đường tròn đường kính\(KD \Rightarrow \widehat {KHF} = \widehat {KDF}\).
Chỉ ra \(\widehat {KDF} = \widehat {DEF}\) (cùng phụ với \(\widehat {EDF}\)) = \(\widehat {DAF}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(DF\) của \((O)\)Từ đó suy ra \(\widehat {KHF} = \widehat {DAF}\) hay \(\widehat {GHF} = \widehat {GAH}\).
Từ đó suy ra (g.g) \( \Rightarrow G{H^2} = GF \cdot GA\).
c)
Kẻ đường kính \(AN\) của \((O) \Rightarrow \widehat {AFN} = 90^\circ \).
Từ (câu b) \( \Rightarrow \widehat {GFH} = \widehat {AHG} = 90^\circ \).
Suy ra \(N,H,F\)thẳng hàng.
Có (g.g).
Mà có \(I\)là trung điểm\(AM\),\(H\)là trung điểm\(AD\).
Từ do suy ra
\[ \Rightarrow \widehat {ABI} = \widehat {ANH} = \widehat {{\rm{ANF}}} = \widehat {ABF}\]
\[ \Rightarrow B,I,F\]thẳng hàng.
(0,5 điểm) Một tấm kim loại hình chữ nhật có chiều dài 64 cm và chiều rộng 40 cm. Đan cắt ở bốn góc của tấm kim loại bốn hình vuông có cạnh bằng nhau để gập thành một chiếc hộp không nắp. Giá kim loại đó là 2 500 đồng/\[c{m^2}.\] Đan chỉ có \[4{\rm{ }}440\,\,000\] đồng để mua. Hỏi kích thước cạnh hình vuông phải chọn để thể tích hộp lớn nhất trong điều kiện chi phí không vượt quá số tiền cho phép. Thể tích lớn nhất đó là bao nhiêu?
Gọi \(x\) là độ dài cạnh hình vuông bị cắt (đơn vị: cm, điều kiện \(0 < x < 20\)).
Diện tích tấm kim loại cần mua là: \(S(x) = 64 \cdot 40 - 4{x^2} = 2560 - 4{x^2}\)
Theo đề bài, chi phí không vượt quá \[4{\rm{ }}440\,\,000\] đồng, ta có hệ bất phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2500\left( {2560 - 4{x^2}} \right) \le 4{\rm{ }}440\,\,000}\\{2x < 40}\\{2x < 64}\end{array}} \right. \Rightarrow 14 \le x < 20\)
Thể tích hộp không nắp là:
\(V = x(64 - 2x)(40 - 2x) = 4x(32 - x)(20 - x)\;(c{m^3})\)
Ta có \(V - 6048 = 4({x^3} - 52{x^2} + 640x - 1512)\)
\( = 4(x - 14)({x^2} - 38x + 108)\)
\( = 4(x - 14)[(x - 14)(x - 20) - 4x - 172]\)
Với \(14 \le x < 20\), ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 14 \ge 0}\\{(x - 14)(x - 20) \le 0}\\{ - 4x - 172 < 0}\end{array}} \right.\)
Từ đó suy ra \(V - 6048 \le 0 \Rightarrow V \le 6048\).
Vậy thể tích lớn nhất của hộp là \({V_{max}} = 6048\;(c{m^3})\) khi \(x = 14\;(cm)\).
