Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 THCS Thành Công (Hà Nội) Tháng 1 có đáp án
7 câu hỏi
|
1) \({x^2} - 4 + \left( {x - 2} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\) \(\begin{array}{l}{x^2} - 4 + 2{x^2} - 3x - 2 = 0\\3{x^2} - 3x - 6 = 0\end{array}\) \({x^2} - x - 2 = 0\) \(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\) \(x = 2\) hoặc \(x = - 1\). Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 2\); \(x = - 1\).
|
2) \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{1}{x} = \frac{2}{{{x^2} - 2x}}{\rm{\;}}\) \(\frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{x - 2}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{2}{{{x^2} - 2x}}{\rm{\;}}\) \(\frac{{{x^2} + x + 2}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{2}{{{x^2} - 2x}}{\rm{\;}}\) \(\frac{{{x^2} + x + 2}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}}\) \({x^2} + x + 2 = 2\) \({x^2} + x = 0\) \(x\left( {x + 1} \right) = 0\) \(x = 0\) (loại) hoặc \(x = - 1\) (TMĐK) Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - 1.\) |
|
3) \(4{x^2} - 6x - 1 = 0\) \[{\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.\frac{3}{2} + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} - 1 = 0\] \[{\left( {2x - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{13}}{4}\] TH1: \[2x - \frac{3}{2} = \frac{{\sqrt {13} }}{2}\] nên \[x = \frac{{\sqrt {13} + 3}}{4}\] TH2: \[2x - \frac{3}{2} = \frac{{ - \sqrt {13} }}{2}\] nên \[x = \frac{{ - \sqrt {13} + 3}}{4}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x = \frac{{ - \sqrt {13} + 3}}{4}\,;\,\,x = \frac{{\sqrt {13} + 3}}{4}.\] |
4) \({x^2} - \sqrt 5 x + \sqrt 5 - 1 = 0\) \(\begin{array}{l}{x^2} - \sqrt 5 x + \sqrt 5 - 1 = 0\\\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \sqrt 5 \left( {x - 1} \right) = 0\\\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1 - \sqrt 5 } \right) = 0\end{array}\) \(x = 1\) hoặc \(x = \sqrt 5 - 1\) Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \sqrt 5 - 1\,;\,\,x = 1.\) |
1) Với \(x = 36\) (TMĐK), thay \(x = 36\) vào biểu thức \(A\), ta được: \(A = \frac{{2\sqrt {36} + 5}}{{\sqrt {36} }} = \frac{{2 \cdot 6 + 5}}{6} = \frac{{17}}{6}.\)
Vậy khi \(x = 36\) thì \(A = \frac{{17}}{6}.\)
2) Với \(x > 0,\,\,x \ne 1,\) ta có:
\(B = \frac{{x - 4\sqrt x + 1}}{{x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{1 - \sqrt x }}\)\( = \frac{{x - 4\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\)
\( = \frac{{x - 4\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)
\( = \frac{{x - 4\sqrt x + 1 + 2\left( {\sqrt x - 1} \right) + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)
\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}.\]
Vậy với \(x > 0,\,\,x \ne 1\) thì \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}.\)
3) Ta có \[M = A \cdot B = \frac{{2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\sqrt x + 2 + 3}}{{\sqrt x + 1}} = 2 + \frac{3}{{\sqrt x + 1}}.\]
Vì \[x > 0\] nên \[\sqrt x > 0\] suy ra \[\sqrt x + 1 > 1\].
Khi đó \[0 < \frac{1}{{\sqrt x + 1}} < 1\] hay \[0 < \frac{3}{{\sqrt x + 1}} < 3\] nên \[2 < M < 5.\]
Để \(M\) nhận giá trị nguyên thì \(M \in \left\{ {3\,;\,\,4} \right\}.\)
|
• Với \(M = 3\) thì \[2 + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 3\] \[\frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 1\] \[\sqrt x + 1 = 3\] \[\sqrt x = 2\] \[x = 4\] (thỏa mãn). |
• Với \(M = 4\) thì \[2 + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 4\] \[\frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 2\] \[2\left( {\sqrt x + 1} \right) = 3\] \[\sqrt x + 1 = \frac{3}{2}\] \[\sqrt x = \frac{1}{2}\] \[x = \frac{1}{4}\] (thỏa mãn). |
Vậy các giá trị của \(x\) để \(M\) nhận giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ {\frac{1}{4};\,\,4} \right\}.\)
Gọi \(x\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) là vận tốc của ô tô thứ nhất \(\left( {x > 15\,,\,\,x \in \mathbb{N}*} \right).\)
Khi đó vận tốc của ô tô thứ hai là \(x - 15\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).
Đổi 30 phút \( = \frac{1}{2}\) giờ.
Thời gian ô tô thứ nhất đi từ A đến B là \(\frac{{150}}{x}\) (giờ).
Thời gian ô tô thứ hai đi từ A đến B là \(\frac{{150}}{{x - 15}}\) (giờ).
Theo đề bài, ô tô thứ nhất đến trước ô tô thứ hai 30 phút nên ta có phương trình
\(\frac{{150}}{{x - 15}} - \frac{{150}}{x} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{{2 \cdot 150x}}{{2x\left( {x - 15} \right)}} - \frac{{2 \cdot 150\left( {x - 15} \right)}}{{2x\left( {x - 15} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 15} \right)}}{{2x\left( {x - 15} \right)}}\)
\(300x - 300\left( {x - 15} \right) = x\left( {x - 15} \right)\)
\[300x - 300x + 4500 = {x^2} - 15x\]
\[{x^2} - 15x - 4500 = 0\]
\[\left( {x - 75} \right)\left( {x + 60} \right) = 0\]
\[x - 75 = 0\] hoặc \[x + 60 = 0\]
\[x = 75\] (TMĐK) hoặc \[x = - 60\] (loại).
Khi đó, vận tốc của ô tô thứ hai là \[75 - 15 = 60\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right).\]
Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là \[75\,\,{\rm{km/h}}\,{\rm{;}}\] vận tốc của ô tô thứ hai là \[60\,\,{\rm{km/h}}\,.\]
Gọi số xe lúc đầu của đội là \(x\) (xe) \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right).\)
Dự định số hàng mỗi xe phải chở là: \(\frac{{120}}{x}\) (tấn).
Thực tế số xe mỗi đội là: \(x + 5\) (xe).
Thực tế số hàng mỗi xe phải chở là: \(\frac{{120}}{{x + 5}}\) (tấn).
Vì so với ban đầu, mỗi xe phải chở ít hơn 2 tấn nên ta có phương trình:
\(\frac{{120}}{x} - 2 = \frac{{120}}{{x + 5}}\)
\(\frac{{120\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{2x\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{120x}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\)
\[120\left( {x + 5} \right) - 2x\left( {x + 5} \right) = 120x\]
\[120x + 600 - 2{x^2} - 10x = 120x\]
\[110x + 600 - 2{x^2} = 120x\]
\[2{x^2} + 10x - 600 = 0\]
\[{x^2} + 5x - 300 = 0\]
\[\left( {x - 15} \right)\left( {x + 20} \right) = 0\]
\[x - 15 = 0\] hoặc \[x + 20 = 0\]
\[x = 15\] (TMĐK) hoặc \[x = - 20\] (loại).
Vậy lúc đầu đội đó có 15 xe.
a) Chủ nhà làm hàng rào xung quanh phần trồng hoa (cung tròn \[AB\], 2 bán kính \[OA,OB\]), tính chiều dài hàng rào.
b) Tính diện tích phần lát gạch. (Biết \(\pi \approx 3,14\)).
a) Độ dài cung tròn là: \[\frac{{2 \cdot 3,14 \cdot 15}}{{360}} \cdot 120 = 31,4\left( m \right)\]
Độ dài hàng rào là: \(31,4 + 15.2 = 61,4\left( m \right)\)
b) Diện tích phần lát gạch là: \(\frac{{{{3,14.15}^2}}}{{360}}\left( {360 - 120} \right) = 471\left( {{m^2}} \right)\)
a) Chứng minh bốn điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,F\) cùng thuộc một đường tròn.
Xét \(\Delta BEC\) và \(\Delta BFC\) có \(\widehat {BEC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \) (\(BE,CF\) là đường cao) nên nội tiếp trong đường tròn đường kính \(BC\).
b) Kẻ đường kính \(AM\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh \(AB.AC = AD.AM\) và \(AH = 2OK\).
* Chứng minh \(AB.AC = AD.AM\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AMC\) có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {ACM}\)(\(AD \bot BC,\widehat {ACM}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do đó (g.g)
Suy ra \[\frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{AD}}{{AC}}\] do đó \[AB \cdot AC = AD \cdot AM\].
* Chứng minh \(AH = 2OK\)
Xét \(\Delta OBC\) có \(OB = OC = R\) nên cân tại \(O\) \( \Rightarrow OK \bot BC\) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân)
\( \Rightarrow OK//AH\) (cùng vuông góc với \(BC\))
Xét \(\Delta AHM:OK//AH,OA = OM \Rightarrow OK\) là đường trung bình của \(\Delta AHM\)
\( \Rightarrow AH = 2OK\)
c) Chứng minh rằng khi \(A\) di động trên cung lớn \(BC\) thì đoạn \(EF\) có độ dài không đổi.
Vì \(BCEF\) nội tiếp đường tròn nên \(\widehat B + \widehat {FEC} = 180^\circ \)
Mặt khác \(\widehat {AEF} + \widehat {FEC} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat B = \widehat {AEF}\)
Ta có (g.g) \(\left( {\widehat {EAF}\,\,{\rm{chung}},\,\,\widehat B = \widehat {AEF}} \right)\)
Xét \[\Delta AEH\] và \[\Delta ABM\] có:
\[\widehat {AEH} = \widehat {ABM} = 90^\circ \]
Suy ra (g.g) nên
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{AH}}{{AM}}\)
Khi \(BC\) cố định trong \(\left( O \right)\) thì \(K\)cố định \( \Rightarrow 2OK = AH,AM = 2R\) cố định.
\( \Rightarrow EF = \frac{{AH}}{{AM}}.BC\) có độ dài không đổi.
Gọi số tiền lớp 6D ủng hộ là \(x\)(triệu đồng), điều kiện \((x \ge 2).\)
Số tiền ủng hộ lớp 6C là: \(1,1x\).(triệu đồng)
Số tiền ủng hộ lớp 6B là: \(1,25 \cdot 1,1x = 1,375x\)(triệu đồng)
Số tiền ủng hộ lớp 6A là: \(1,8 \cdot 1,375x = 2,475x\)(triệu đồng)
Số tiền ủng hộ lớp 6E bằng nghịch đảo số tiền lớp 6D nên số tiền ủng hộ lớp 6E là \(\frac{1}{x}\)(triệu đồng)
Tổng số tiền khối 6 là: \(2,475x + 1,375x + 1,1x + x + \frac{1}{x} = 5,95x + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} + 4,95x\)
Với mọi \(x \ge 2\) ta có:\(\left( {\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \right) \ge 2\sqrt {\frac{x}{4}.\frac{1}{x}} ;\frac{{3x}}{4} \ge \frac{3}{4}.2\)
Suy ra \(\left( {\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \right) + \frac{{3x}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{x}{4}.\frac{1}{x}} + \frac{3}{4}.2\) hay \(x + \frac{1}{x} \ge \frac{5}{2}\).
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 2\).
Vậy \(x + \frac{1}{x} + 4,95x \ge 4,95.2 + \frac{5}{2} = 12,4\).
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 2\).
Kết luận vậy khối 6 ủng hộ được ít nhất là \(12,4\) triệu đồng.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
