Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 THCS Hà Đông (Hà Nội) lần 3 có đáp án
9 câu hỏi
Sau khi tiến hành đo chiều cao (đơn vị là cm) của học sinh lớp 9A, người ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây:
Tìm tần số ghép nhóm của nhóm [158; 161) và lập bảng tần số tương đối ghép nhóm.
Tần số ghép nhóm của nhóm [158; 161) là 12.
Tổng số học sinh (tổng tần số): \(5 + 12 + 15 + 8 = 40\).
Bảng tần số:
Nhóm chiều cao | Tần số | Tần số tương đối |
[155; 158) | 5 | 12,5% |
[158; 161) | 12 | 30% |
[161; 164) | 15 | 37,5% |
[164; 167) | 8 | 20% |
Cho các biểu thức: \[A = \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 1}}\] và \[B = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}} - \frac{x}{{x - 16}}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}} \right)\] với \[x \ge 0\], \[x \ne 16\].
a) Tính giá trị của biểu thức A khi \[x = \frac{9}{{16}}\].
b) Chứng minh \[B = \frac{2}{{\sqrt x + 4}}\].
c) Đặt \(P = A.B\), với \(x > 0\), \[x \ne 16\] chứng minh \(\frac{{{P^2}}}{4}\) không có giá trị là số nguyên.
a) Thay \[x = \frac{9}{{16}}\] (thỏa mãn) vào \(A\) ta có:
\(A = \frac{{\sqrt {\frac{9}{{16}}} + 4}}{{\sqrt {\frac{9}{{16}}} + 1}} = \frac{{\frac{3}{4} + 4}}{{\frac{3}{4} + 1}} = \frac{{19}}{4}:\frac{7}{4} = \frac{{19}}{7}\)
Vậy \[x = \frac{9}{{16}}\] thì \(A = \frac{{19}}{7}\).
b) \[B = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}} - \frac{x}{{x - 16}}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}} \right)\]
\[ = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}} - \frac{x}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}}} \right]\left( {\frac{{\sqrt x + 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}} \right)\]
\[ = \frac{{x + 4\sqrt x - 2\sqrt x - 8 + x - 4\sqrt x - x}}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x + 2}}\]
\[ = \frac{{x - 2\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x + 2}}\]
\[ = \frac{{x - 4\sqrt x + 2\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x + 2}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 4} \right) + 2\left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x + 2}}\]
\[ = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x + 2}} = \frac{2}{{\sqrt x + 4}}\].
c) \(P = \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 1}}.\frac{2}{{\sqrt x + 4}} = \frac{2}{{\sqrt x + 1}}\)
Khi đó \(\frac{{{p^2}}}{4} = \frac{1}{4}.{\left( {\frac{2}{{\sqrt x + 1}}} \right)^2} = \frac{1}{4}.\frac{4}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\)
Vì \(x > 0\) nên \(\sqrt x + 1 > 1\) Suy ra \({\left( {\sqrt x + 1} \right)^2} > 1\)
Do đó \(0 < \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} < 1\)
Vậy \(\frac{{{P^2}}}{4}\) không có giá trị là số nguyên.
(2,5 điểm)
Quảng đường AB dài \[80{\rm{ }}km\]. Hai xe khởi hành cùng một lúc từ A để đi đến B. Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là \[10{\rm{ }}km\,/\,h\] nên xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai là 24 phút. Tính vận tốc của xe thứ hai.
Đổi \(24\) phút \( = 0,4\) giờ.
Gọi vận tốc xe thứ hai là \(x\) (km/h), với \(x > 0\).
Vận tốc xe thứ nhất là: \(x + 10\) (km/h).
Vì quãng đường là như nhau và xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai là 24 phút nên ta có pt:
\(\frac{{80}}{x} - \frac{{80}}{{x + 10}} = 0,4\)
\(\frac{{200}}{x} - \frac{{200}}{{x + 10}} = 1\)
\(200\left( {x + 10} \right) - 200x = x\left( {x + 10} \right)\)
\(2000 = {x^2} + 10x\)
\({x^2} + 10x - 2000 = 0\)
\(\left( {x - 40} \right)\left( {x + 50} \right) = 0\).
\(x = 40\,\,{\rm{(TM)}}\) hoặc \(x = - 50\) (loại).
Vậy vận tốc của xe thứ hai là 40 km/h.
Gọi thời gian dự định là \(x\) (ngày), với \(x > 1\).
Năng suất dự định: \(\frac{{5000}}{x}\) (chiếc/ngày).
Thời gian thực tế: \(x - 1\) (ngày).
Năng suất thực tế: \(\frac{{5000}}{x} + 50\) (chiếc/ngày).
Sản phẩm thực tế: \(5000 + 20{\rm{\% }} \cdot 5000 = 6000\) (chiếc).
Ta có: \(\left( {\frac{{5000}}{x} + 50} \right)\left( {x - 1} \right) = 6000\)
\(\left( {\frac{{100}}{x} + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 120\)
\(\frac{{100\left( {x - 1} \right)}}{x} + x - 1 = 120\)
\(100\left( {x - 1} \right) + x\left( {x - 1} \right) = 120x\)
\(100x - 100 + {x^2} - x = 120x\)
\({x^2} + 99x - 100 = 120x\)
\({x^2} - 21x - 100 = 0\)
\(\left( {x - 25} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\).
Vì \(x > 1\) suy ra \(x = 25\).
Vậy công nhân may phải hoàn thành theo dự định là 25 ngày.
\({x^2} - mx + 2 = 0\)
\(\Delta = {\left( { - m} \right)^2} - 4 \cdot 2 = {m^2} - 8\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\) suy ra \({m^2} - 8 > 0\) nên \({m^2} > 8\)
\(m > 2\sqrt 2 \) hoặc \(m < - 2\sqrt 2 \)
Áp dụng hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = 2\end{array} \right.\)
\(\frac{{x_1^2}}{{{x_2}}} - 6{x_1} + {x_2} = 0\)
\(x_1^2 - 6{x_1}{x_2} + x_2^2 = 0\) (*)
Thay \({x_1}{x_2} = 2\)vào phương trình (*) ta được:
\(x_1^2 + x_2^2 = 12\)
\({({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = 12\)
\({m^2} - 4 = 12\)
\({m^2} = 16\)
\(m = 4\) (TM) hoặc \(m = - 4\) (loại)
Khi đó, ta có \(P = x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)\( = {m^3} - 3 \cdot 2 \cdot m\)\( = {m^3} - 6m\).
Thay \(m = 4\)vào biểu thức \(P\) ta có: \(P = {4^3} - 6 \cdot 4 = 64 - 24 = 40\).
Vậy \(P = 40\).
Một chiếc quạt giấy có hình dạng là một hình quạt tròn bán kính \(20\,\,{\rm{cm}}\) gồm hai phần. Phần thứ nhất là phần lấy gió được dán giấy, phần còn lại là phần để cầm tay (không dán) có bán kính \(5\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{.}}\) Góc mở lớn nhất khi quạt mở hết cỡ là \(150^\circ \).
a) Tính diện tích bề mặt cả chiếc quạt khi mở hết cỡ.b) Tính diện tích giấy dán để làm 10 chiếc quạt như trên biết rằng mỗi chiếc quạt được dán giấy cả hai mặt. Bỏ qua mép dán. (Lấy \(\pi \approx 3,14\), làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
a) Diện tích bề mặt cả chiếc quạt khi mở hết cỡ là:
\[S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} \approx \frac{{3,14 \cdot {{20}^2} \cdot 150}}{{360}} \approx 522,33\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]
b) Diện tích phần quạt không được dán giấy là:
\(S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} \approx \frac{{3,14 \cdot {5^2} \cdot 150}}{{360}} \approx 32,71\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
Diện tích giấy dán để làm được 10 chiếc quạt là: \(\left( {522,33 - 32,71} \right) \cdot 2 \cdot 10 = 9792,4\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) và điểm \(C\)thuộc đường tròn \(\left( O \right)\)(C khác A, B) sao cho \(AC > CB\). Qua \(O\) vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung \(AC\)tại \(H\). Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt tia \(OH\)tại \(D\). Đoạn thẳng \(DB\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\).
a) Chứng minh tứ giác \(ADCO\) nội tiếp.
b) Chứng minh: \(DH.DO = DE.DB\) và \(\widehat {DHE} = \widehat {OBE}\)
c) Vẽ dây \(CM\) vuông góc với \(AB\) tại \(K\). Từ \(M\)kẻ \(MI \bot BH\) tại \(I\), từ \(K\) kẻ \(KF \bot BC\) tại \(F.\) Chứng minh \(F,M,I\) thẳng hàng.
a) \(\Delta OAC\) cân tại O có OH là đường cao nên cũng là phân giác nên \(\widehat {AOH} = \widehat {COH}.\)
Do đó \(\Delta AOD = \Delta COD\) (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {DOA} = \widehat {COA} = 90^\circ .\)
\(\Delta AOD\) vuông tại A nên nội tiếp đường tròn đường kính \(OD\)
\(\Delta COD\)vuông tại C nên nội tiếp đường tròn đường kính OD
Do đó bốn điểm \(O,A,C,D\)cùng thuộc đường tròn đường kính OD nên tứ giác \(ADCO\)nội tiếp.b) Ta có (g.g).
Suy ra \(\frac{{DH}}{{DA}} = \frac{{DA}}{{DO}}\) nên \(DH.DO = D{A^2}\).
\(\widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do đó (g.g).
Suy ra \[\frac{{DE}}{{DA}} = \frac{{DA}}{{DB}}\] nên \[DE \cdot DB = D{A^2}\].
Do đó \(DH.DO = DE.DB\) suy ra \(\frac{{DH}}{{DB}} = \frac{{DE}}{{DO}}\)
Suy ra .
Do đó \(\widehat {DHE} = \widehat {OBE}\) (hai góc tương ứng).
c) Vì \(\Delta MIB\) vuông tại I, \(\Delta MKB\) vuông tại K nên cùng nội tiếp đường tròn đường kính \(MB.\)
Do đó tứ giác \(MKIB\) nội tiếp.
Suy ra \(\widehat {KMI} = \widehat {KBI}\) hay \(\widehat {KMI} = \widehat {ABH}\) (1)
Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta CKF\)có: \(\widehat {CAB} = \widehat {KCF}\) (cùng phụ \(\widehat {ACK}\)); \(\widehat {ACB} = \widehat {CFK} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{CK}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) nên \(\frac{{2CK}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{\frac{{AC}}{2}}}\) suy ra \(\frac{{CM}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{AH}}\).
Lại có \(\widehat {CAB} = \widehat {KCF}\)(cmt).
Nên suy ra \(\widehat {CMF} = \widehat {ABH}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {CMF} = \widehat {KMI}\) nên MI trùng MF.
Do đó \(F,M,I\) thẳng hàng.
(0,5 điểm)
Một vòng dây không giãn có độ dài là \[426\,\,cm\]. Người ta nắn vòng dây đó thành hình chữ nhật để xếp khít các mảnh ghép hình vuông \[1{\rm{ }}cm\] vào trong lồng. Hỏi khi đó xếp được nhiều nhất bao nhiêu mảnh ghép hình vuông?![Một vòng dây không giãn có độ dài là \[426\,\,cm\]. Người ta nắn vòng dây đó thành hình chữ nhật để xếp khít các mảnh ghép hình vuông \[1{\rm{ }}cm\] vào trong lồng. Hỏi khi đó xếp được nhiều nhất bao nhiêu mảnh ghép hình vuông? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/04/picture24-1776659742.png)
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là \(a\) và \(b\) (cm), với \(a\) và \(b\) là số nguyên dương.
Chu vi hình chữ nhật: suy ra \(a + b = 213\,\,\,cm\).
Diện tích (số mảnh vuông \[1{\rm{ }}cm\] xếp được): \(S = a \cdot b\,\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Muốn \(S\) lớn nhất với \(a + b = 213\), ta tìm \(a,b\) sao cho tích \(ab\) lớn nhất.
Vì \(a,b\) là số nguyên, nghiệm gần nhất của \(a = b = \frac{{213}}{2} = 106,5\,cm\).
Hai số nguyên gần nhất là \(106\) và \(107\).
Tính diện tích lớn nhất: \({S_{{\rm{max}}}} = 106 \cdot 107 = 11342\,\,c{m^2}\)
Vậy số mảnh vuông xếp được nhiều nhất là \(11342\).
Xét phép thử: “Lấy một chiếc thẻ từ trong hộp” và biến cố A: “Số trên thẻ được lấy ra là số chính phương”. Tính xác suất của biến cố A.
Trong hộp có 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10, mỗi số xuất hiện đúng 1 lần.
Bước 1: Xác định không gian mẫu
Số phần tử của không gian mẫu:
Bước 2: Xác định biến cố A
Các số chính phương không vượt quá 10 là:
Vậy biến cố A có 3 kết quả thuận lợi:
Bước 3: Tính xác suất
Kết luận:
Xác suất của biến cố A là
