Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 THCS Đống Đa (Hà Nội) Tháng 1 có đáp án

a) Bảng thống kê:

b) Tổng số công nhân xếp loại Tốt trong quý III là: \(50 + 48 + 12 + 18 = 128\) (người)

Tổng số công nhân xếp loại Tốt trong quý IV là: \(30 + 18 + 25 + 52 = 125\) (người)

Số công nhân xếp loại Tốt bị giảm trong quý IV so với quý III là: \(128 - 125 = 3\) (người)

Số công nhân xếp loại tốt bị giảm trong quý IV so với quý III chiếm: \(\frac{3}{{128}}.100\%  \approx 2,34\% \)

Xét phép thử: “Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có 1 chữ số” có \(10\) kết quả có thể xảy ra là: \(0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\). Các kết quả xảy ra là đồng khả năng.

Xét biến cố: “ Số tự nhiên được viết ra là số chia hết cho  3 ” có \(4\) kết quả thuận lợi là \(0;3;6;9\)

Xác xuất của biến cố trên là: \(\frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\)

1) Thay \(x = 16\) vào biểu thức \(A\), ta được:

\(A = \frac{{16 + 3\sqrt {16} }}{{\sqrt {16} }} = 7\)

Vậy \(A = 7\) khi \(x = 16\).

2) Với \(x > 0\); \(x \ne 4\), ta có:

\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{4\sqrt x }}{{4 - x}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{x - 2\sqrt x  + 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}.\]

Vậy với \(x > 0\); \(x \ne 4\) thì \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\].

3) Ta có: \(P = A.B = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\)

Để \[P \le 3\] thì \(\frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} \le 3\)

\(\frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} - 3 \le 0\)

\(\frac{{x + 3\sqrt x  - 3\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 2}} \le 0\)

\(\frac{{x + 6}}{{\sqrt x  - 2}} \le 0\)

TH1: \(\frac{{x + 6}}{{\sqrt x  - 2}} = 0\) thì \(x + 6 = 0\) nên \(x =  - 6\) (không thỏa mãn)

TH2: \(\frac{{x + 6}}{{\sqrt x  - 2}} < 0\)

Mà \(x > 0\);\(x \ne 4\) nên \(x + 6 > 0\) suy ra \(\sqrt x  - 2 < 0\)

Do đó \(\sqrt x  < 2\) nên \(x < 4\)

Kết hợp ĐK: \(x > 0\);\(x \ne 4\) suy ra \(0 < x < 4\).

Vậy để \[P \le 3\] thì \(0 < x < 4\).

1) Gọi giá tiền của mỗi chiếc áo bạn Bình đã mua là \(x\) (nghìn đồng, \(x > 0\))

Số áo bạn Bình đã mua được là: \(\frac{{600}}{x}\) (chiếc)

Giá tiền của mỗi chiếc áo dự định bạn Bình mua là \(x + 30\) (đồng)

Số áo bạn Bình dự định mua là: \(\frac{{600}}{{x + 30}}\) (chiếc)

Theo bài ra, bạn Bình đã mua được số lượng áo gấp \(1,25\) lần so với số lượng dự định nên ta có phương trình: \(\frac{{600}}{x} = 1,25.\frac{{600}}{{x + 30}}\)

\(\frac{{600}}{x} = \frac{{750}}{{x + 30}}\)

\(750x = 600\left( {x + 30} \right)\)

\(750x = 600x + 18000\)

\(150x = 18000\)

\(x = 120\) (TMĐK)

Vậy giá tiền của mỗi chiếc áo bạn Bình đã mua là \(120\) nghìn đồng.

\(h = 62,5.\sqrt[3]{t} + 75,8\) (1)

 a) Thay \(t = 8\) vào (1), ta được: \(h = 62,5.\sqrt[3]{8} + 75,8 = 200,8{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Vậy một con voi đực \(8\) tuổi ở châu Phi sẽ có chiều cao ngang vai là \(200,8{\rm{ cm}}\).

b) Thay \(h = 230\) vào (1), ta được:

\(230 = 62,5.\sqrt[3]{t} + 75,8\)

\(62,5.\sqrt[3]{t} = 154,2\)

\(\sqrt[3]{t} = 2,4672\)

\(t \approx 15\) (tuổi)

Vậy nếu một con voi đực ở châu Phi có chiều ngang vai là \(230{\rm{ cm}}\) thì con voi đó khoảng \(15\) tuổi.

Xác định \(a\) và \(b\) để đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {2;8} \right)\) và \(B\left( { - 4;5} \right)\).

Để đồ thị hàm số điểm \(A\left( {2;8} \right)\) thì \(8 = 2a + b\) hay \(2a + b = 8{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Để đồ thị hàm số điểm \(B\left( { - 4;5} \right)\) thì \(5 =  - 4a + b\) hay \( - 4a + b = 5{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 8\\ - 4a + b = 5\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}6a = 3\\2a + b = 8\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\2.\frac{1}{2} + b = 8\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 7\end{array} \right.\)

Vậy để đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {2;8} \right)\) và \(B\left( { - 4;5} \right)\) thì \(a = \frac{1}{2};b = 7\) .

Diện tích mảnh vải đó

\(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{\pi R_1^2n}}{{360}} - \frac{{\pi R_2^2n}}{{360}} \approx \frac{{3,14.\left( {{{5,2}^2} - {{3,5}^2}} \right).90}}{{360}} = 11,56 \approx 11,6d{m^2}\)

a) Chứng minh: \(IA = IB\) và \(OK{\rm{//}}AC\).

Xét \(\Delta OIB\) và \(\Delta OIA\) có: \(OI\) chung; \[OB = OA = R\]; \[\widehat {OIB} = \widehat {OIA} = 90^\circ \].

\(\Delta OIB = \Delta OIA\) (c.g.c)

\( \Rightarrow IB = IA\) (hai cạnh tương ứng); \(\widehat {BOI} = \widehat {AOI}\) (hai góc tương ứng)

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)( góc nội tiếp)

Hay \(AC \bot AB\)  mà \(OK \bot AB\)( gt)  suy ra \(OK{\rm{//}}AC\)( đpcm) 

b) Chứng minh: \(KA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

Xét \(\Delta OKB\) và \(\Delta OKA\) có: \(OK\) chung; \[OB = OA = R\]; \[\widehat {BOK} = \widehat {AOK}\left( {cmt} \right)\]

Do đó \(\Delta OKB = \Delta OKA\) (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {OBK} = \widehat {OAK} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng) nên \(OA \bot AK\) tại \(A\).

Vậy \(KA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) (đpcm)

c) Đoạn thẳng \(KC\) cắt  đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\), trên tia đối của tia \(MB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(BN\). Từ \(N\) vẽ đường thẳng vuông với \(Bx\) tại \(P\). Chứng minh: \(NK = KB\) và  \(AC\) đi qua trung điểm của \(NP\).

Xét \(\Delta KMB\) và \(\Delta KMN\) có: \(KM\) chung; \[\widehat {KMB} = \widehat {KMN} = 90^\circ \]; \[MB = MN\]

Do đó \(\Delta KMB = \Delta KMN\) (c.g.c)

Suy ra \(NK = KB\) (hai cạnh tương ứng)

Gọi  \(AC \cap PN = \left\{ G \right\};\,BG \cap KO = \left\{ H \right\};\,MH \cap BP = E\)

Xét \(\Delta BCG\) có \(OH{\rm{//}}GC\) ( cmt) và \(OB = OC = R\) suy ra \(BH = HG\) ( tc)

Xét \(\Delta BNG\) có \(BH = HG\) ( cmt) và \(BM = MN\)

suy ra \(HM\)là đường trung bình của \(\Delta BNG\)  

suy ra \(MH{\rm{//}}GN\left( {tc} \right)\) mà \(NP{\rm{//}}BP\) suy ra \(ME{\rm{//}}BC\left( {tc} \right)\)

Xét \(\Delta BKO\) có \(EH{\rm{//}}BO\) (cmt) suy ra $\frac{EH}{BO}=\frac{KH}{KO}\left(1\right)$

Xét \(\Delta CKO\) có \(MH{\rm{//}}CO\) (cmt) suy ra $\frac{MH}{CO}=\frac{KH}{KO}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{EH}}{{BO}} = \frac{{MH}}{{CO}}\left( {bc} \right)\) mà  \(BO = CO\) suy ra \(EH = HM\).

Xét \(\Delta BGP\) có \(EH{\rm{//}}PG\) (cmt) suy ra  $\frac{EH}{PG}=\frac{BH}{BG}\left(3\right)$

Xét \(\Delta BGN\) có \(MH{\rm{//}}GN\) (cmt) suy ra  $\frac{MH}{GN}=\frac{BH}{BG}\left(4\right)$

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{EH}}{{PG}} = \frac{{MH}}{{GN}}\left( {bc} \right)\) mà \(EH = HM\) suy ra \(PG = GN\).

Hay \(AC\) đi qua trung điểm của \(NP\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(x\) và \(3y\) ta có: \(x + 3y \ge 2\sqrt {x.3y}  = 2\sqrt 3 .\sqrt {xy} \)

Suy ra: \(2\sqrt 3 .\sqrt {xy}  \le 6\) nên \(\sqrt {xy}  \le \sqrt 3 \) suy ra \(xy \le 3\).

Ta có: \(A = \frac{{{x^2}{y^2} + 2025}}{{xy}} = xy + \frac{{2025}}{{xy}} = xy + \frac{9}{{xy}} + \frac{{2016}}{{xy}}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(xy\) và \(\frac{9}{{xy}}\) ta có:

\(xy + \frac{9}{{xy}} \ge 2\sqrt {xy.\frac{9}{{xy}}}  = 6\). Dấu “=” xảy ra khi \(xy = \frac{9}{{xy}} \Rightarrow xy = 3\).

Ta có: \(xy \le 3\) nên \(\frac{{2016}}{{xy}} \ge 672\). Dấu “=” xảy ra khi \(xy = 3\).

Từ đó suy ra: \(xy + \frac{9}{{xy}} + \frac{{2016}}{{xy}} \ge 3 + 672 = 675\) hay \(A \ge 675\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 3\\{\rm{x}} + 3y = 6\end{array} \right.\). Giải tìm được \(x = 3;y = 1\) (TMĐK).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) là \(675\) đạt được khi \(x = 3;y = 1\).