Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 THCS Chu Văn An (Hà Nội) Tháng 4 lần 1 có đáp án

2

(0,5đ)

+ Các kết quả xảy ra là đồng khả năng

+ Không gian mẫu của phép thử là: \[\Omega  = \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\,;\,9\,;\,10\,;\,11\,;\,12\,;\,13\,;\,14\,;\,15\,;\,16\,;\,17\,;\,18\,;\,19\,;\,20} \right\}\]

Tập hợp W có 20 phần tử.

0,25

Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Số ghi trên tấm thẻ là bội của 4” là:

\[4;8;12;16;20.\]

Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{5}{{20}} = \frac{1}{4}\).

0,25

II

(1,5đ)

1

(0,25đ)

Thay \(x = 9\) (TMĐK) vào biểu thức A ta có: \(A = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt 9  - 1}} = \frac{3}{2}\)

Vậy \(A = \frac{3}{2}\) tại \(x = 9.\)

0,25

2

(0,75đ)

\(\begin{array}{l}M = A + B\\M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{6\sqrt x  - 4}}{{x - 1}}\end{array}\)

0,25

\(M = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

0,25

\(M = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)

0,25

3

(0,5đ)

\(M \le \frac{1}{2}\)

\(\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} \le \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{\sqrt x  - 3}}{{2(\sqrt x  + 1)}} \le 0\)

Vì \(2(\sqrt x  + 1) > 0\) với mọi \(x\) tmđk nên \(\sqrt x  - 3 \le 0\) hay \(x \le 9\).

0,25

Kết hợp điều kiện, ta có \(0 \le x \le 9;x \ne 1\) thì \(M < \frac{1}{2}.\)

Mà \(x\) là số nguyên tố nên \[x \in \left\{ {2;\,\,3;5;7} \right\}\]

Vậy \[x \in \left\{ {2;\,\,3;5;7} \right\}\] thỏa mãn đề bài.

0,25

1

(1,0đ)

Gọi tốc độ của anh Bắc và anh Nam lần lượt là \(x\) và \(y\) (km/h; \[x,{\rm{ }}y > 0)\]

0,25

Vì hai người khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm cách nhau 150 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ, nên ta có pt:

\[2x + 2y = 150\] hay  \[x + y = 75\]  (1)

Anh Bắc tăng tốc độ thêm 5 km/h và anh Nam giảm tốc độ 5km/h thì tốc độ của anh Bắc gấp đôi tốc độ của anh Nam nên ta có pt: \[x + 5 = 2\left( {y - 5} \right)\]  (2)    

0,25

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 75}\\{x + 5 = 2\left( {y - 5} \right)}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình trên tìm được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 45}\\{y = 30}\end{array}} \right.\) (TMĐK)

0,25

Vậy tốc độ của anh Bắc là 45 km/h, tốc độ của anh Nam là 30 km/h.

0,25

2

(1,0đ)

Gọi số sản phẩm một ngày tổ phải sản xuất theo dự định là \(x\) (sản phẩm; \(x \in {\mathbb{N}^*};x < 600).\)

0,25

Số ngày dự định hoàn thành 600 sản phẩm là: \(\frac{{600}}{x}\)  (ngày).

Thực tế, thời gian làm hết 400 sản phẩm là: \(\frac{{400}}{x}\)  (ngày).

Những ngày tiếp theo, mỗi ngày làm được \[\left( {x + 10} \right)\] sản phẩm nên thời gian làm hết 200 sản phẩm còn lại là: \(\frac{{200}}{{x + 10}}\)  (ngày).

0,25

Vì tổ hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch 1 ngày, nên ta có phương trình: \(\frac{{600}}{x} - \left( {\frac{{400}}{x} + \frac{{200}}{{x + 10}}} \right) = 1\).

Giải phương trình tìm được \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 40\left( {tm} \right)}\\{x =  - 50\left( {ktm} \right)}\end{array}} \right.\)

0,25

Vậy theo dự định, mỗi ngày tổ phải sản xuất 40 sản phẩm.

0,25

3

(0,5đ)

Xét phương trình \({x^2} - 4x - 7 = 0\) có nghiệm là \({x_1};{x_2}\).

Áp dụng định lý Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} =  - 7\end{array} \right.\)

0,25

\(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = {({x_1} + {x_2})^2} - 4{x_1}{x_2} = 16 - 4( - 7) = 44\)

0,25

1a

(0,5đ)

Thể tích thùng kem là: \[\pi .{\left( {30:2} \right)^2}.70 = 15750\pi  \approx 49455\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\]

0,25

Đổi \[49455\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}) \approx 49,5\](lít).

Vậy thùng đó chứa được khoảng \[49,5\] lít kem.

0,25

1b

(0,5đ)

Thể tích của một viên kem hình cầu với đường kính \[{\rm{6 cm}}\] là:

\[\frac{4}{3}.\pi .{\left( {6:2} \right)^3} = 36\pi  \approx 113,04\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\].

Thể tích của 3 viên kem hình cầu là: \(113,04.3 = 339,12\) (\({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)).

0,25

Vì \[49\,\,455:339,12 \approx 145,8\;\]

Số ly kem (gồm 3 viên kem) nhiều nhất có thể bán được là \[145\] ly.

0,25

2a

(1,0đ)

a) Tứ giác \(CMHN\) nội tiếp đường tròn

HS vẽ hình đúng hết câu a.

0,25

\[\Delta CMH\] vuông tại \[M\] nên \[C,M,H\] thuộc đường tròn đường kính \[CH.\]

0,25

\[\Delta CNH\] vuông tại \[N\] nên \[C,N,H\] thuộc đường tròn đường kính \[CH.\]

0,25

Suy ra bốn điểm \(C,\;M,\;H,\;N\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[CH.\]

Vậy tứ giác \(CMHN\) nội tiếp đường tròn.

0,25

2b

(1,5đ)

b) Chứng minh  và \(HP \bot MN\)

Chứng minh

Chứng minh được \(\widehat {CMN} = \widehat {CBA}\,\,( = \widehat {CHN})\)

0,5

Từ đó suy ra

0,25

Chứng minh \(HP \bot MN\)

Chứng minh \(MI = IA\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)

\( \Rightarrow \widehat {MAI} = \widehat {AMI}.\) Mà \(\widehat {CMN} = \widehat {CBA},\widehat {\,CBA} + \widehat {MAI} = {90^{\rm{o}}}\)

\( \Rightarrow \widehat {IMN} = {90^{\rm{o}}}\) hay \(IM \bot MN.\) Tương tự, \(NK \bot MN.\) Do đó\(MI\,{\rm{// }}NK.\)

0,25

Vì \(MI\,{\rm{//}}\,NK \Rightarrow \frac{{MI}}{{NK}} = \frac{{MP}}{{PK}},\) mà \(MI = IH,NK = KH\)\( \Rightarrow \frac{{MP}}{{PK}} = \frac{{IH}}{{HK}} \Rightarrow HP\,{\rm{//}}\,MI\) (Thalès đảo)

0,25

Ta có \(MI \bot MN,MI\,{\rm{//}}\,HP \Rightarrow HP \bot MN\)

0,25

2c

(0,5đ)

c) Xác định vị trí điểm \(C\) để \(M{K^2} + N{I^2}\) đạt giá trị lớn nhất.

Chỉ ra \(M{K^2} + N{I^2} = M{N^2} + N{K^2} + M{N^2} + M{I^2} = 2M{N^2} + M{I^2} + N{K^2}\)

\(\begin{array}{l} = 2C{H^2} + \frac{{A{H^2}}}{4} + \frac{{H{B^2}}}{4} = 2AH.BH + \frac{{A{H^2} + B{H^2}}}{4}\\ = {\left( {\frac{{AH}}{2} + \frac{{BH}}{2}} \right)^2} + \frac{3}{2}AH.BH = \frac{{A{B^2}}}{4} + \frac{3}{2}AH.BH\end{array}\)

0,25

Chứng minh \(AH.BH \le \frac{{{{(AH + BH)}^2}}}{4} = {R^2}\)\( \Rightarrow M{K^2} + N{I^2} \le \frac{{5{R^2}}}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(AH = BH.\) Khi đó \(C\)là điểm chính giữa cung

0,25

Gọi chiều dài của hàng rào vuông góc với sông là x (m) và chiều dài của hàng rào song song với sông là y (m) (x,y >0)

Do người nông dân dùng \(15\,\,000\,\,000\) đồng để chi trả cho nguyên vật liệu làm hàng rào nên ta có phương trình: \[3x \cdot 50\,\,000 + y \cdot 60\,\,000 = 15\,\,000\,\,000\,\,\]

\({\rm{hay}}\,\,15x + 6y = 1\,500\,\,{\rm{suy ra }}\,y = \frac{{500 - 5x}}{2}\)

Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằng công thức:

\[S = x.y = x.\frac{{500 - 5x}}{2} = \frac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right)\]\[S = \frac{5}{2}\left( { - {x^2} + 100x} \right) = \frac{5}{2}\left( { - {x^2} + 100x - 2500 + 2500} \right)\]\[S = \frac{5}{2}\left[ {2500 - {{\left( {x - 50} \right)}^2}} \right] \le 6250\] (m2)

0,25

Dấu “=” xảy ra khi \[x = 50\](tm).

Vậy diện tích lớn nhất của khu đất có thể rào được là 6250 m2.

0,25