Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 Cụm Chuyên môn số 10 (Ninh Bình) có đáp án

Bài 1

(1,5điểm)

a) Chứng minh đẳng thức: \(\left( {1 + \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } } \right) \cdot \left( {\sqrt[3]{8} - \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3  - 1}}} \right) = 1\).

b) Rút gọn biểu thức:  \(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{1}{{4 - x}}} \right) \cdot \left( {\frac{{x + 2}}{{\sqrt x  + 1}} - \sqrt x } \right)\) với \(x \ge 0;x \ne 4\).

a) Biến đổi \(1 + \sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  = 1 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}  = 1 + \left| {\sqrt 3  + 1} \right| = 2 + \sqrt 3 \)

0,25

Biến đổi \(\sqrt[3]{8} - \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3  - 1}} = 2 - \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{\sqrt 3  - 1}} = 2 - \sqrt 3 \)

0,25

Khi đó\(\left( {1 + \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } } \right) \cdot \left( {\sqrt[3]{8} - \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3  - 1}}} \right) = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 4 - 3 = 1\)

Vậy \(\left( {1 + \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } } \right) \cdot \left( {\sqrt[3]{8} - \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3  - 1}}} \right) = 1\)

0,25

b) Với \(x \ge 0;x \ne 4\) ta có

\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{1}{{4 - x}}} \right) \cdot \left( {\frac{{x + 2}}{{\sqrt x  + 1}} - \sqrt x } \right)\) \( = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{1}{{x - 4}}} \right) \cdot \left[ {\frac{{x + 2}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x  + 1}}} \right]\)

\( = \frac{{\sqrt x  + 2 - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}.\frac{{x + 2 - \sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x  + 1}}\)

0,25

\( = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}.\frac{{x + 2 - x - \sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{2 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

0,25

\( = \frac{{ - \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt x  + 2}}\)

Vậy \(A = \frac{{ - 1}}{{\sqrt x  + 2}}\)với \(x \ge 0;x \ne 4\).

0,25

Bài 2

(1,0điểm)

Số học sinh đi học muộn của các lớp trong một tuần được khảo sát tại một trường trung học cơ sở cho trong bảng sau:

a) Hãy lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu trên.

b) Chọn ngẫu nhiên một lớp. Tính xác suất của biến cố \(A\): "Chọn được lớp không có học sinh đi học muộn".

a) Tổng số lớp \(n = 5 + 4 + 5 + 3 + 2 + 1 = 20\).

Số học sinh đi học muộn là \({x_1} = 0;{x_2} = 1;{x_3} = 2;{x_4} = 3;{x_5} = 4;{x_6} = 5\) tương ứng với \({m_1} = 5;{m_2} = 4;{m_3} = 5;{m_4} = 3;{m_5} = 2;{m_6} = 1\).

0,25

Do đó các tần số tương đối cho các giá trị \({x_1};\,\,{x_2};\,\,{x_3};\,\,{x_4};\,\,{x_5};\,\,{x_6}\) lần lượt là:

\({f_1} = \frac{5}{{20}} \cdot 100{\rm{\% }} = 25{\rm{\% }};\) \({f_2} = \frac{4}{{20}} \cdot 100{\rm{\% }} = 20{\rm{\% }};\) \({f_3} = \frac{5}{{20}} \cdot 100{\rm{\% }} = 25{\rm{\% }};\)

\({f_4} = \frac{3}{{20}} \cdot 100{\rm{\% }} = 15{\rm{\% }};\) \({f_5} = \frac{2}{{20}} \cdot 100{\rm{\% }} = 10{\rm{\% }};\) \({f_6} = \frac{1}{{20}} \cdot 100{\rm{\% }} = 5{\rm{\% }}\).

0,25

Ta có bảng tần số tương đối sau:

0,25

b) Số kết quả thuận lợi của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = 5\). Xác suất của biến cố \(A\) là:\(P\left( A \right) = \frac{5}{{20}} = \frac{1}{4}\).

0,25

Bài 3

(1,5điểm)

1. Tìm tọạ độ tất cả các điểm M thuộc đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{3}{x^2}\), biết M có tung độ bằng \( - 12\) và có hoành độ âm.

2. Biết phương trình \({x^2} - 3x + 1 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \[A = \sqrt {x_1^4 + 11{x_1} + 29}  + 2{x_2}.\]

1. Cho \(y =  - 12\) ta có \( - 12 =  - \frac{1}{3}{x^2}\) nên \({x^2} = 36\) suy ra \(x =  \pm 6\)

0,25

Mà M có hoành độ âm nên \(x =  - 6\)

0,25

Vậy tọa độ của điểm M là \(\left( { - 6; - 12} \right)\)

0,25

2. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},{x_2}\)nên theo định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_{_2}} = 3\\{x_1}{x_2} = 1\end{array} \right.\)

0,25

Vì \({x_1}\) là nghiệm nghiệm của phương trình nên \({x_1}^2 - 3{x_1} + 1 = 0\), suy ra  \(x_1^2 = 3{x_1} - 1\)

Do đó \[x_1^4 + 11{x_1} + 29 = {\left( {x_1^2} \right)^2} + 11{x_1} + 29 = {\left( {3{x_1} - 1} \right)^2} + 11{x_1} + 29 = 9x_1^2 + 5{x_1} + 30\]

\[ = 9x_1^2 + 5{x_1} + 30 - 5.0 = 9x_1^2 + 5{x_1} + 30 - 5.\left( {x_1^2 - 3{x_1} + 1} \right) = 4x_1^2 + 20{x_1} + 25 = {\left( {2{x_1} + 5} \right)^2}\]

Suy ra \[\sqrt {x_1^4 + 11{x_1} + 29}  = \sqrt {{{\left( {2{x_1} + 5} \right)}^2}}  = \left| {2{x_1} + 5} \right| = 2{x_1} + 5\] (vì \({x_1} > 0\) nên \[2{x_1} + 5 > 0\])

0,25

Vậy \[A = 2{x_1} + 5 + 2{x_2} = 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 5 = 2.3 + 5 = 11\]

0,25

Bài 4

(1,0điểm)

Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đội tàu dự định chở \(210\) tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm \(6\) tấn so với dự định. Vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm\(2\)tàu và mỗi tàu chở ít hơn dự định \(3\) tấn hàng. Hỏi đội dự định dùng bao nhiêu chiếc tàu để chở hàng, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau?

Gọi số chiếc tàu dự định chở hàng là \(x\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\)(chiếc tàu)

0,25

Số chiếc tàu chở hàng trong thực tế là \(x + 2\)(chiếc tàu)

0,25

Số tấn hàng mỗi tàu dự định chở là \(\frac{{210}}{x}\)(tấn)

Số tấn hàng mỗi tàu chở trong thực tế là \(\frac{{210 + 6}}{{x + 2}} = \frac{{216}}{{x + 2}}\)(tấn)

Theo bài ra ta có phương trình \(\frac{{210}}{x} - \frac{{216}}{{x + 2}} = 3\)

\(210\left( {x + 2} \right) - 216x = 3x\left( {x + 2} \right)\)

0,25

\(3{x^2} + 6x = 210x + 420 - 216x\)

\({x^2} + 4x - 140 = 0\). Giải phương trình \({x_1} = 10\left( {t/m} \right);{x_2} =  - 14\)(loại)

Vậy số chiếc tàu dự định chở hàng là \(10\)(chiếc tàu)

0,25