Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2025 THCS Ngọc Thụy (Hà Nội) lần 2 có đáp án

Có \[9\] sinh chạy hết ít hơn \[13\] giây  tần số tương đối của nhóm \([13;14)\) là \[\frac{4}{{3 + 6 + 4 + 2 + 1}}.100\% = 25\% \]

Chọn ngẫu nhiên một quả ta có \[\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12} \right\}\]

\[n\left( \Omega \right) = 12\]

Chọn ngẫu nhiên một quả thì các kết quả là đồng khả năng

Gọi A là biến cố “chọn được quả cầu có số chia cho \[3\] dư \[2\]”

Biến cố A có các kết quả thuận lợi là \[2;5;8;11\]

\[n\left( A \right) = 4\]

\[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\]

1) Thay \(x = 9\) (thỏa mãn điều kiện) vào \(B\) ta có:\(B = \frac{{9 + 2\sqrt 9  + 8}}{{\sqrt 9  - 1}} = \frac{{23}}{2}\).

          Vậy \(B = \frac{{23}}{2}\) khi \(x = 9\)

2) Với \(x \ge 0\;;\;x \ne 1\) ta có:

\(A = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\)

\(A = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\(A = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{2\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\(A = \frac{{3\sqrt x  + 1 - 2\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\(A = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\)

c) Ta có: \(P = B:A\)\( = x + 2\sqrt x  + 8\)

\(x \ge 0\)

\(\sqrt x  \ge 0\)\( \Rightarrow 2\sqrt x  \ge 0\)

Suy ra  \(x + 2\sqrt x  \ge 0\)

\(x + 2\sqrt x  + 8 \ge 8\)

Vậy \(P \ge 8\)

GTNN \(P = 8\). Dấu “=” xảy ra khi \(x = 0\) (thỏa mãn)

Gọi số chiếc áo tổ 1 may mỗi ngày là x (chiếc áo) \[x \in {N^*}\]

Gọi số chiếc ảo tổ 2 may mỗi ngày là y (chiếc áo) \[y \in {N^*}\]

Nếu tổ \[1\] may trong \[3\] ngày và tổ \[2\] may trong \[5\] ngày thì được \[1310\] chiếc áo nên ta có phương trình

\[3x + 5y = 1310\] (1)

Biết mỗi ngày tổ \[1\] may được nhiều hơn tổ \[2\] là \[10\] chiếc nên ta có phương trình

\[x - y = 10\] (2)

Từ (1); (2) ta có hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 5y = 1310\\x - y = 10\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 5y = 1310\\3x - 3y = 30\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\8y = 1280\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 170\\y = 160\end{array} \right.(TM)\]

Vậy số chiếc áo tổ 1 may mỗi ngày là \[170\] (chiếc áo)

Gọi số chiếc ảo tổ 2 may mỗi ngày là \[160\] (chiếc áo)

Gọi số dãy ghế lúc đầu là x (dãy) \[x \in {N^*}\]

Số người mỗi dãy ghế là \[\frac{{150}}{x}\] người

Số dãy ghế lúc sau là \[x + 2\] dãy ghế

Số người mỗi dãy ghế lúc sau là \[\frac{{150}}{x} + 3\] người

Theo đề bài ta có phương trình

\[\left( {x + 2} \right)\left( {\frac{{150}}{x} + 3} \right) = 150 + 66\]

\[150 + 3x + \frac{{300}}{x} + 6 = 150 + 66\]

\[3x + \frac{{300}}{x} = 60\]

\[3{x^2} - 60x + 300 = 0\]

\[3{\left( {x - 10} \right)^2} = 0\]

\[x = 10\left( {TM} \right)\]

Gọi số dãy ghế lúc đầu là \[3\] (dãy)

Cho parabol \(y = a{x^2}\) đi qua điểm \(A(1;2)\) nên thay \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\] vào parabol \(y = a{x^2}\) có

\[a{.1^2} = 2\]

\[a = 2\]

Suy ra \[y = 2{x^2}\]

Gọi điểm thuộc parabol có tung độ bằng 8 có dạng \[M\left( {x;8} \right)\]

Suy ra \[2{x^2} = 8\]

          \[{x^2} = 4\]

Suy ra \[x = 2\] hoặc \[x =  - 2\]

Suy ra \[M\left( {2;8} \right)\] hoặc \[{M_1}\left( { - 2;8} \right)\]

Bán kính của hình nón là: \(r = \frac{{35 - 10.2}}{2} - 7,5\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Bán kính của hình vành khuyên là: \(R = \frac{{35}}{2} = 17,5\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Diện tích xung quanh hình nón là: \({S_1} = \pi rl = \pi .7,5.30 = 225\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Diện tích hình vành khuyên là: \({S_2} = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right) = \pi \left( {{{17,5}^2} - {{7,5}^2}} \right) = 250\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Diện tích vải cần làm mũ là:

\(S = \left( {1 + 15\% } \right).\left( {{S_1} + {S_2}} \right) = 1,15\left( {225\pi  + 250\pi } \right) = 546,25\pi  \approx 546,25.3,14 \approx 1715,225\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Có \(D \in \) đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\;\)(giả thiết) nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra \(\widehat {EDB} = 90^\circ \)

  \( \Rightarrow \Delta EDB\) vuông tại \(D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(EB\) (1)

Có \(d \bot AB\) tại \(C\), \(E \in d\) (giả thiết) nên \(\widehat {ECB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta CEB\) vuông tại \(C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(EB\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow E,C,B,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(EB\)

b) Có \(N \in \) đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\;\)(giả thiết) nên \(\widehat {ANB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra\(\;AN\) vuông góc với \(EB\) tại \(N\)

 Tam giác \(AEB\) có:

\(EC\) là đường cao (vì \(EC\) vuông góc với \(AB\) tại \(C\))

  \(AN\) là đường cao (vì \(AN\) vuông góc với \(EB\) tại \(N\))

 \(BD\) là đường cao (vì \(BD\) vuông góc với \(AE\) tại \(D\))

Suy ra \(AN,EC,\;BD\) đồng quy tại một điểm (tính chất)

Mà \(AN\) cắt \(EC\) tại \(F\) (giả thiết)

Suy ra \(BD\) đi qua \(F\) hay ba điểm \(B,\;F,\;D\) thẳng hàng.

Xét tam giác \(AFC\) và tam giác \(ABN\) có:

\(\widehat {ACF\;} = \widehat {ANB\;} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

\(\widehat {NAB}\) chung

Suy ra $\Delta AFC\backsim \Delta ABN$  (góc – góc)

Suy ra \(\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AN}}\) (các cặp cạnh tương ứng)

Suy ra \(AF.AN = AB.AC\) (3)

Xét tam giác \(BCF\) và tam giác \(BDA\) có:

\(\widehat {BCF\;} = \widehat {BDA\;} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

\(\widehat {DBA}\) chung

Suy ra $\Delta BCF\backsim \Delta BDA$  (góc – góc)

Suy ra \(\frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{BF}}{{BA}}\) (các cặp cạnh tương ứng)

Suy ra \(BC.BA = BD.BF\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AF.AN + BD.BF = AB.AC + BC.BA = AB\left( {AC + BC} \right) = AB.AB = A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}\)

             c)

Gọi \(G\) là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\) và \(AB\)

Suy ra tứ giác \(AEFG\) nội tiếp đường tròn \(\left( I \right)\)

Suy ra \(\widehat {AEF} + \widehat {AGF} = 180^\circ \) (tính chất)

Mà  \(\widehat {AGF} + \widehat {FGB} = 180^\circ \) (kề bù)

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {FGB}\)

Có \(E,C,B,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(EB\)

Nên tứ giác \(BCDE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(EB\)

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {FBG}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(DC\))

Mà \(\widehat {AEF} = \widehat {FGB}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {FGB} = \widehat {FBG}\)

Suy ra tam giác \(FGB\) cân tại \(F\)

Mà \(FC\) là đường cao

Suy ra \(FC\) cũng là đường trung tuyến

Suy ra \(C\) là trung điểm \(GB\)

Mà \(A,B,C\) cố định nên \(G\) cố định

Tứ giác \(AEFG\) nội tiếp đường tròn \(\left( I \right)\) suy ra \(I\) thuộc trung trực của \(AG\)

Mà \(A,G\) cố định

Vậy điểm \(I\) luôn nằm trên đường trung trực của \(AG\) cố định khi \(N\) thay đổi trên cung nhỏ \(MB\)(\(N\) khác \(M\) và \(B\)).

Gọi số xe cần thuê loại \(A\), \(B\) cần thuê là x, y \((0 \le x \le 10\;,\;x \in N)\), \((0 \le y \le 9\;,\;y \in N)\)

Lượng hàng tối đa chở được là: \(0,6x + 1,5y\)(tấn).

Suy ra \(0,6x + 1,5y \ge 9\) hay \(2x + 5y \ge 30\)

Số người tối đa chở được là: \(4x + 2y\)(người).

Suy ra \(4x + 2y \ge 28\) hay \(2x + y \ge 14\)

Chi phí cần bỏ ra là: \(A = 4x + 3y\)(triệu đồng).

\(4A = (2x + 5y) + 7(2x + y) \ge 30 + 98\)

\(A \ge 32\)

GTNN của \(A = 32\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4\end{array} \right.\).

Vậy đoàn tình nguyện phải thuê \(5\) xe loại \(A\) và \(4\) xe loại \(B\)  đề chi phí bỏ ra là ít nhất.