Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2025 THCS Gia Thụy (Hà Nội) lần 2 có đáp án
9 câu hỏi
(1,5 điểm)
Các số liệu trên biểu đồ:
· Đọc sách: 9
· Ôn bài: 15
· Thư giãn: 4
· Đá cầu: 7
· Chơi cờ vua: 5
Từ biểu đồ, hoạt động ôn bài có 15 học sinh chọn.
Tần số của hoạt động ôn bài là: \(15\)
Tổng số học sinh là 40 nên tần số tương đối của hoạt động ôn bài là:
\(\frac{{15}}{{40}} = \frac{3}{8} = 0,375 = 37,5{\rm{\% }}\)
“Số tự nhiên được viết ra là số chính phương”.
Các số tự nhiên nhỏ hơn 100 là: \(0,1,2, \ldots ,99\).
Có tất cả: 100 số
Các số chính phương nhỏ hơn 100 là: \(0,1,4,9,16,25,36,49,64,81\)
Có 10 số.
Vậy xác suất cần tìm là: \(P = \frac{{10}}{{100}} = \frac{1}{{10}}\).
(1,5 điểm)
Cho hai biểu thức \(A = \frac{{6\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}\) ; \(B = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\)
1) Tính giá trị biểu thức A khi \(x = 4\).
2) Chứng minh \(B = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\).
3) Tìm tất cả các giá trị của x để \(\frac{A}{B} \ge x + 10\).
Vậy \(A = \frac{{13}}{3}\)khi \(x = 4\)
2) \(B = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\)
\(B = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\)
\(B = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right).\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\(B = \frac{{x + 3\sqrt x - x - 2\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\(B = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\) (đpcm)
3) Ta có: \(\frac{A}{B} \ge x + 10\)
Suy ra \(\frac{{6\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}.\left( {\sqrt x + 1} \right) \ge x + 10\)
\(x - 6\sqrt x + 9 \le 0\)
\({\left( {\sqrt x - 3} \right)^2} \le 0\)
Suy ra \({\left( {\sqrt x - 3} \right)^2} = 0\)
Suy ra \(\sqrt x = 3\)
Suy ra \(x = 9\)(thỏa mãn)
Vậy \(x = 9\)thì \(\frac{A}{B} \ge x + 10\)
(2,5 điểm)
Gọi giá tiền một chiếc áo sơ mi là \(x\) ( \(x > 0\), triệu đồng)
Gọi giá tiền một chiếc quần âu là \(y\) (\(y > 0\), triệu đồng)
+ Vì chị My mua \(4\)chiếc áo sơ mi và \(3\) chiếc quần tây với giá tổng cộng là \(2,4\) triệu đồng nên ta có phương trình: \(4x + 3y = 2,4\left( 2 \right)\)
+ Lại có: chị Thanh mua \(3\) áo sơ mi và \(1\) quần tây với giá tổng cộng là \(1,15\) triệu đồng nên ta có phương trình: \(3x + y = 1,15\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 2,4\left( 1 \right)\\3x + y = 1,15\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0,21\left( {tm} \right)\\y = 0,52\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy giá tiền mỗi chiếc áo sơ mi là 0,21 triệu đồng và giá tiền mỗi quần tây là 0,52 triệu đồng.
Quãng đường AB dài \(160\) km. Hai xe khởi hành cùng một lúc từ A để đi đến B. Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là \(10km/h\) nên xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai là \(48\) phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Gọi vận tốc xe thứ nhất là \(x\) ( \(x > 0\), km/h)
Vận tốc xe thứ hai là: \(x - 10\) ( km/h)
Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là: \(\frac{{160}}{x}\) (h)
Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là: \(\frac{{160}}{{x - 10}}\) (h)
Vì xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai là \(48\) phút nên ta có phương trình:
\(\frac{{160}}{{x - 10}} - \frac{{160}}{x} = \frac{4}{5}\)
\(800x - 800.\left( {x - 10} \right) = 4x.\left( {x - 10} \right)\)
\({x^2} - 10x - 2000 = 0\)
\(\left( {x - 50} \right).\left( {x + 40} \right) = 0\)
Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}x = 50\left( {tm} \right)\\x = - 40\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Vậy vận tốc xe thứ nhất là 50km/h, xe thứ hai là 40km/h.
Cho phương trình \({x^2} - 13x - 1 = 0\) có nghiệm \({x_1};{x_2}\left( {{x_1} > {x_2}} \right)\). Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức \(P = \left| {{x_1}} \right| - 2\left| {{x_2}} \right| + \sqrt {19{x_1} + 10} \).
Ta có: \({x_1} > 0;{x_2} < 0;\)
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)
Theo định lí Vi -ét ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 13\\{x_1}.{x_2} = - 1\end{array} \right.\)
Nhận thấy \({x_1}.{x_2} = - 1 < 0\) nên \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm trái dấu. Mà \[{x_1} > {x_2}\]nên \({x_1} > 0;{x_2} < 0;\)
Suy ra \(\left| {{x_1}} \right| = {x_1};\left| {{x_2}} \right| = - {x_2}\)
Lại có \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 13x - 1 = 0\)nên \({x_1}^2 - 13{x_1} - 1 = 0\)
Suy ra \({x_1}^2 = 13{x_1} + 1\)
Suy ra \({x_1}^2 + 6{x_1} + 9 = 19{x_1} + 10\)
Khi đó : \(P = \left| {{x_1}} \right| - 2\left| {{x_2}} \right| + \sqrt {19{x_1} + 10} \)
\(P = {x_1} + 2{x_2} + \sqrt {{x_1}^2 + 6{x_1} + 9} \)
\(P = {x_1} + 2{x_2} + \sqrt {{{\left( {{x_1} + 3} \right)}^2}} \)
\(P = {x_1} + 2{x_2} + {x_1} + 3\)
\(P = 2{x_1} + 2{x_2} + 3\)
\(P = 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3\)
\(P = 2.13 + 3\)
\(P = 29\)
Vậy \(P = 29\)
(4,0 điểm)
Một cốc nước hình trụ có chiều cao \(15cm\), bán kính đáy là \(3cm\) và lượng nước ban đầu cao \(12cm\). Thả chìm hoàn toàn vào cốc \(3\) viên bi thủy tinh hình cầu có cùng bán kính là \(2cm\). ( Giả sử độ dày của thành cốc và đáy cốc không đáng kể- mô phỏng bằng hình vẽ).
a) Tính thể tích của nước trong cốc.
b) Khi thả ba viên bi hình cầu vào cốc thì nước trong cốc có bị tràn ra ngoài không ? Nếu có hãy tính thể tích nước bị tràn ra ngoài ?
a) Thể tích của nước trong cốc là : \(\pi {.3^2}.12 = 108\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
b) Thể tích của cốc là : \(\pi {.3^2}.15 = 135\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
Thể tích của ba viên bi là : \(3.\frac{4}{3}.\pi {.2^3} = 32\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
Tổng thể tích của nước và của ba viên bi là : \(108\pi + 32\pi = 140\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
Do \(140\pi > 135\pi \) nên nước trong cốc bị tràn ra ngoài.
Thể tích nước tràn ra ngoài là : \(140\pi - 135\pi = 5\pi \left( {c{m^3}} \right)\).
Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Các đường cao \(AD;BF;CE\) của \(\Delta ABC\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh tứ giác \(AEHF\) nội tiếp một đường tròn.
b) Kéo dài \(AD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(K\). Kéo dài \(KE\) cắt đường tròn tại điểm thứ hai là \(I\). Gọi \(N\) là giao điểm của \(CI\) và \(EF\). Chứng minh \(C{E^2} = CN.CI\).
c) Kẻ \(EG\) vuông góc với \(AC\) tại \(G\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh \(\Delta CNG \sim \Delta CAI\) và \(MN \bot EF\).
a) Vì \(AD;BF;CE\) là đường cao của \(\Delta ABC\) (gt) nên \(\widehat {AFH} = \widehat {AEH} = \widehat {BEH} = \widehat {BDH} = 90^\circ \).
Xét \(\Delta AFH\) vuông tại \(F\)
\( \Rightarrow A;F;H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)\(\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta AEH\) vuông tại \(E\)
\( \Rightarrow A;E;H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)\(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow A;F;H;E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\).
\( \Rightarrow AFHE\) nội tiếp một đường tròn( đpcm).
b) Ta có : \(\widehat {KIC} = \widehat {KAC}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn )
hay \(\widehat {EIC} = \widehat {HAF}\)
có \(\widehat {NEC} = \widehat {HAF}\) ( hai góc nội tiếp cùng chắn )
\( \Rightarrow \widehat {KIC} = \widehat {NEC}\)
Xét \(\Delta CEN\) và \(\Delta CIE\) có :
\(\widehat {ECI}\)chung
\(\widehat {KIC} = \widehat {NEC}\)
\( \Rightarrow \Delta CEN \sim \Delta CIE\)(g-g)
\( \Rightarrow \frac{{CE}}{{CI}} = \frac{{CN}}{{CE}}\)( tính chất tam giác đồng dạng)
\( \Rightarrow C{E^2} = CI.CN\)(đpcm)
c) Xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta EGC\) có :
\(\widehat {ACE}\)chung
\(\widehat {EGC} = \widehat {AEC} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \Delta AEC \sim \Delta EGC\)(g-g)
\( \Rightarrow \frac{{CE}}{{CG}} = \frac{{AC}}{{CE}}\)( tính chất tam giác đồng dạng)
\( \Rightarrow C{E^2} = CA.CG\)
Mà \(C{E^2} = CI.CN\)(cmt)
\( \Rightarrow CA.CG = CI.CN\)
\( \Rightarrow \frac{{CG}}{{CI}} = \frac{{CN}}{{CA}}\)
Xét \(\Delta CNG\) và \(\Delta CAI\) có :
\(\widehat {ACI}\)chung
\(\frac{{CG}}{{CI}} = \frac{{CN}}{{CA}}\)(cmt)
\( \Rightarrow \Delta CNG \sim \Delta CAI\)(g-g)
\( \Rightarrow \widehat {CIA} = \widehat {CGN}\)( hai góc tương ứng)
Xét \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\)
\( \Rightarrow B;E;C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\)
Xét \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\)
\( \Rightarrow B;F;C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\)
\( \Rightarrow B;E;F;C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\)
\( \Rightarrow BEFC\) là tứ giác nội tiếp
\( \Rightarrow \widehat {EBC} + \widehat {EFC} = 180^\circ \)( tính chất tứ giác nột tiếp)
Mà \(\widehat {NFG} + \widehat {EFC} = 180^\circ \)( hai góc kề bù)
\( \Rightarrow \widehat {NFG} = \widehat {EBC}\)
Ta có \(\widehat {EBC} = \widehat {AIC}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn )
Mà \(\widehat {CIA} = \widehat {CGN}\)
\( \Rightarrow \widehat {NFG} = \widehat {NGC}\)
\( \Rightarrow \Delta GNF\) cân tại \(N\)
\( \Rightarrow NG = NF\)( tính chất tam giác cân)
Ta chứng minh được \(\widehat {EGN} = \widehat {NEG}\)( dựa vào các góc phụ nhau)
\( \Rightarrow \Delta GNE\) cân tại \(N\)
\( \Rightarrow NG = NE\)( tính chất tam giác cân)
Do đó \(NF = NE\)
\( \Rightarrow N\) là trung điểm của \(EF\).
Xét \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\) và \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\) có \(M\) là trung điểm của \(BC\)
\( \Rightarrow FM = EM = \frac{1}{2}BC\)
\( \Rightarrow \Delta MEF\) cân tại M mà \(N\) là trung điểm của \(EF\)
\( \Rightarrow MN \bot EF\)( tính chất tam giác cân)
(0,5 điểm)
Một nhà in sử dụng các trang giấy hình chữ nhật để in sách. Sau khi để lề trái và lề phải mỗi bên 1 inch; lề trên và lề dưới mỗi bên \(\frac{1}{2}\) inch như hình bên thì diện tích phần in chữ trên trang sách là \(24{\rm{\;inc}}{{\rm{h}}^2}\). Tính kích thước của trang sách để diện tích giấy cần sử dụng là ít nhất.
Gọi chiều rộng phần in chữ là \(x\)(inch),
chiều cao phần in chữ là \(y\)(inch).
Ta có diện tích phần in chữ: \(xy = 24\)
Vì lề trái và phải mỗi bên 1 inch nên chiều rộng trang giấy là: \(x + 2\)
Vì lề trên và dưới mỗi bên \(\frac{1}{2}\)inch nên chiều cao trang giấy là: \(y + 1\)
Diện tích trang giấy là: \(S = \left( {x + 2} \right)\left( {y + 1} \right)\)
Do \(xy = 24 \Rightarrow y = \frac{{24}}{x}\), nên: \(S = \left( {x + 2} \right)(\frac{{24}}{x} + 1)\)
Khai triển: \(S = 24 + x + \frac{{48}}{x} + 2\)
\(S = x + \frac{{48}}{x} + 26\)
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của: \(x + \frac{{48}}{x}\)
Theo bất đẳng thức AM-GM: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)
\(x + \frac{{48}}{x} \ge 2\sqrt {x \cdot \frac{{48}}{x}} = 2\sqrt {48} = 8\sqrt 3 \)
Dấu “=” xảy ra khi: \(x = \frac{{48}}{x} \Rightarrow {x^2} = 48 \Rightarrow x = 4\sqrt 3 \)
Khi đó: \(y = \frac{{24}}{x} = \frac{{24}}{{4\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \)
Vậy kích thước trang sách là:
chiều rộng: \(x + 2 = 4\sqrt 3 + 2{\rm{\;(inch)}}\)
chiều cao: \(y + 1 = 2\sqrt 3 + 1{\rm{\;(inch)}}\)
