Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2025 THCS Gia Thụy (Hà Nội) lần 2 có đáp án

Từ biểu đồ, hoạt động ôn bài có 15 học sinh chọn.

Tần số của hoạt động ôn bài là:  \(15\)
Tổng số học sinh là 40 nên tần số tương đối của hoạt động ôn bài là:

\(\frac{{15}}{{40}} = \frac{3}{8} = 0,375 = 37,5{\rm{\% }}\)

Các số tự nhiên nhỏ hơn 100 là: \(0,1,2, \ldots ,99\).
Có tất cả: 100 số
Các số chính phương nhỏ hơn 100 là: \(0,1,4,9,16,25,36,49,64,81\)
Có 10 số.

Vậy xác suất cần tìm là: \(P = \frac{{10}}{{100}} = \frac{1}{{10}}\).

Vậy \(A = \frac{{13}}{3}\)khi \(x = 4\)

2) \(B = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\)

\(B = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right).\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\)

\(B = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right).\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right).\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right).\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{x + 3\sqrt x  - x - 2\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right).\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right).\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\) (đpcm)

3) Ta có: \(\frac{A}{B} \ge x + 10\)

Suy ra \(\frac{{6\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 1}}.\left( {\sqrt x  + 1} \right) \ge x + 10\)

\(x - 6\sqrt x  + 9 \le 0\)

\({\left( {\sqrt x  - 3} \right)^2} \le 0\)

Suy ra \({\left( {\sqrt x  - 3} \right)^2} = 0\)

Suy ra  \(\sqrt x  = 3\)

Suy ra  \(x = 9\)(thỏa mãn)

Vậy \(x = 9\)thì \(\frac{A}{B} \ge x + 10\)

Gọi giá tiền một chiếc áo sơ mi là  \(x\) ( \(x > 0\), triệu đồng)

Gọi giá tiền một chiếc quần âu là  \(y\) (\(y > 0\), triệu đồng)

+ Vì chị My mua \(4\)chiếc áo sơ mi và \(3\) chiếc quần tây với giá tổng cộng là \(2,4\) triệu đồng nên ta có phương trình: \(4x + 3y = 2,4\left( 2 \right)\)

+ Lại có: chị Thanh mua \(3\) áo sơ mi và \(1\) quần tây với giá tổng cộng là \(1,15\) triệu đồng nên ta có phương trình: \(3x + y = 1,15\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 2,4\left( 1 \right)\\3x + y = 1,15\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0,21\left( {tm} \right)\\y = 0,52\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy giá tiền mỗi chiếc áo sơ mi là 0,21 triệu đồng và giá tiền mỗi quần tây là 0,52 triệu đồng.

Gọi vận tốc xe thứ nhất là \(x\) ( \(x > 0\), km/h)

Vận tốc xe thứ hai là: \(x - 10\) ( km/h)

Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là: \(\frac{{160}}{x}\) (h)

Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là: \(\frac{{160}}{{x - 10}}\) (h)

Vì xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai là \(48\) phút nên ta có phương trình:

                            \(\frac{{160}}{{x - 10}} - \frac{{160}}{x} = \frac{4}{5}\)

\(800x - 800.\left( {x - 10} \right) = 4x.\left( {x - 10} \right)\)

\({x^2} - 10x - 2000 = 0\)

\(\left( {x - 50} \right).\left( {x + 40} \right) = 0\)

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}x = 50\left( {tm} \right)\\x =  - 40\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Vậy vận tốc xe thứ nhất là 50km/h, xe thứ hai là 40km/h.

Ta có: \({x_1} > 0;{x_2} < 0;\)

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)

Theo định lí Vi -ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 13\\{x_1}.{x_2} =  - 1\end{array} \right.\)

Nhận thấy \({x_1}.{x_2} =  - 1 < 0\) nên \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm trái dấu. Mà \[{x_1} > {x_2}\]nên \({x_1} > 0;{x_2} < 0;\)

Suy ra \(\left| {{x_1}} \right| = {x_1};\left| {{x_2}} \right| =  - {x_2}\)

Lại có \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 13x - 1 = 0\)nên \({x_1}^2 - 13{x_1} - 1 = 0\)

Suy ra \({x_1}^2 = 13{x_1} + 1\)

Suy ra \({x_1}^2 + 6{x_1} + 9 = 19{x_1} + 10\)

Khi đó : \(P = \left| {{x_1}} \right| - 2\left| {{x_2}} \right| + \sqrt {19{x_1} + 10} \)

\(P = {x_1} + 2{x_2} + \sqrt {{x_1}^2 + 6{x_1} + 9} \)

\(P = {x_1} + 2{x_2} + \sqrt {{{\left( {{x_1} + 3} \right)}^2}} \)

\(P = {x_1} + 2{x_2} + {x_1} + 3\)

\(P = 2{x_1} + 2{x_2} + 3\)

\(P = 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3\)

\(P = 2.13 + 3\)

\(P = 29\)

Vậy \(P = 29\)

a) Thể tích của nước trong cốc là : \(\pi {.3^2}.12 = 108\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

b) Thể tích của cốc là : \(\pi {.3^2}.15 = 135\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Thể tích của ba viên bi là : \(3.\frac{4}{3}.\pi {.2^3} = 32\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Tổng thể tích của nước và của ba viên bi là : \(108\pi  + 32\pi  = 140\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Do \(140\pi  > 135\pi \) nên nước trong cốc bị tràn ra ngoài.

Thể tích nước tràn ra ngoài là : \(140\pi  - 135\pi  = 5\pi \left( {c{m^3}} \right)\).

a) Vì \(AD;BF;CE\) là đường cao của \(\Delta ABC\) (gt) nên \(\widehat {AFH} = \widehat {AEH} = \widehat {BEH} = \widehat {BDH} = 90^\circ \).

Xét \(\Delta AFH\) vuông tại \(F\)

\( \Rightarrow A;F;H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)\(\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta AEH\) vuông tại \(E\)

\( \Rightarrow A;E;H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow A;F;H;E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\).

\( \Rightarrow AFHE\) nội tiếp một đường tròn( đpcm).

b) Ta có : \(\widehat {KIC} = \widehat {KAC}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn )

hay \(\widehat {EIC} = \widehat {HAF}\)

có \(\widehat {NEC} = \widehat {HAF}\) ( hai góc nội tiếp cùng chắn )

\( \Rightarrow \widehat {KIC} = \widehat {NEC}\)

Xét \(\Delta CEN\) và \(\Delta CIE\) có :

\(\widehat {ECI}\)chung

\(\widehat {KIC} = \widehat {NEC}\)

\( \Rightarrow \Delta CEN \sim \Delta CIE\)(g-g)

\( \Rightarrow \frac{{CE}}{{CI}} = \frac{{CN}}{{CE}}\)( tính chất tam giác đồng dạng)

\( \Rightarrow C{E^2} = CI.CN\)(đpcm)

c) Xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta EGC\) có :

\(\widehat {ACE}\)chung

\(\widehat {EGC} = \widehat {AEC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta AEC \sim \Delta EGC\)(g-g)

\( \Rightarrow \frac{{CE}}{{CG}} = \frac{{AC}}{{CE}}\)( tính chất tam giác đồng dạng)

\( \Rightarrow C{E^2} = CA.CG\)

Mà \(C{E^2} = CI.CN\)(cmt)

\( \Rightarrow CA.CG = CI.CN\)

\( \Rightarrow \frac{{CG}}{{CI}} = \frac{{CN}}{{CA}}\)

Xét \(\Delta CNG\) và \(\Delta CAI\) có :

\(\widehat {ACI}\)chung

\(\frac{{CG}}{{CI}} = \frac{{CN}}{{CA}}\)(cmt)

\( \Rightarrow \Delta CNG \sim \Delta CAI\)(g-g)

\( \Rightarrow \widehat {CIA} = \widehat {CGN}\)( hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\)

\( \Rightarrow B;E;C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\)

Xét \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\)

\( \Rightarrow B;F;C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\)

\( \Rightarrow B;E;F;C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\)

\( \Rightarrow BEFC\) là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \widehat {EBC} + \widehat {EFC} = 180^\circ \)( tính chất tứ giác nột tiếp)

Mà \(\widehat {NFG} + \widehat {EFC} = 180^\circ \)( hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {NFG} = \widehat {EBC}\)

Ta có \(\widehat {EBC} = \widehat {AIC}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn )

Mà \(\widehat {CIA} = \widehat {CGN}\)

\( \Rightarrow \widehat {NFG} = \widehat {NGC}\)

\( \Rightarrow \Delta GNF\) cân tại \(N\)

\( \Rightarrow NG = NF\)( tính chất tam giác cân)

Ta chứng minh được \(\widehat {EGN} = \widehat {NEG}\)( dựa vào các góc phụ nhau)

\( \Rightarrow \Delta GNE\) cân tại \(N\)

\( \Rightarrow NG = NE\)( tính chất tam giác cân)

Do đó \(NF = NE\)

\( \Rightarrow N\) là trung điểm của \(EF\).

Xét \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\) và \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\) có \(M\) là trung điểm của \(BC\)

\( \Rightarrow FM = EM = \frac{1}{2}BC\)

\( \Rightarrow \Delta MEF\) cân tại M mà \(N\) là trung điểm của \(EF\)

\( \Rightarrow MN \bot EF\)( tính chất tam giác cân)

Gọi chiều rộng phần in chữ là \(x\)(inch),

chiều cao phần in chữ là \(y\)(inch).

Ta có diện tích phần in chữ: \(xy = 24\)

Vì lề trái và phải mỗi bên 1 inch nên chiều rộng trang giấy là: \(x + 2\)

Vì lề trên và dưới mỗi bên \(\frac{1}{2}\)inch nên chiều cao trang giấy là: \(y + 1\)

Diện tích trang giấy là: \(S = \left( {x + 2} \right)\left( {y + 1} \right)\)

Do \(xy = 24 \Rightarrow y = \frac{{24}}{x}\), nên: \(S = \left( {x + 2} \right)(\frac{{24}}{x} + 1)\)

Khai triển: \(S = 24 + x + \frac{{48}}{x} + 2\)

\(S = x + \frac{{48}}{x} + 26\)

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của: \(x + \frac{{48}}{x}\)

Theo bất đẳng thức AM-GM: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

\(x + \frac{{48}}{x} \ge 2\sqrt {x \cdot \frac{{48}}{x}}  = 2\sqrt {48}  = 8\sqrt 3 \)

Dấu “=” xảy ra khi: \(x = \frac{{48}}{x} \Rightarrow {x^2} = 48 \Rightarrow x = 4\sqrt 3 \)

Khi đó: \(y = \frac{{24}}{x} = \frac{{24}}{{4\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \)

Vậy kích thước trang sách là:

chiều rộng:  \(x + 2 = 4\sqrt 3  + 2{\rm{\;(inch)}}\)

chiều cao:  \(y + 1 = 2\sqrt 3  + 1{\rm{\;(inch)}}\)