Đề thi thử vào 10 môn Toán năm 2026 THCS Quang Thịnh (Bắc Ninh) tháng 5/2026 có đáp án
38 câu hỏi
Một khúc sông rộng khoảng \(250\,\left( {\rm{m}} \right)\). Một chiếc thuyền muốn qua sông theo phương ngang nhưng bị dòng nước đẩy theo phương xiên, nên phải đi khoảng \(320\,\left( {\rm{m}} \right)\) mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy thuyền lệch đi một góc bao nhiêu độ so với phương vuông góc với bờ sông?
\(37^\circ 38'\).
\(38^\circ 47'\).
\(48^\circ 37'\).
\(38^\circ 37'\).
Đáp án đúng: D
Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh \(l\) và bán kính đáy \(r\) bằng
\(\pi {r^2}\).
\(\pi {r^2}h\).
\(\pi rl\).
\[\frac{1}{3}\pi rl\].
Đáp án đúng: C
Cái mũ của chú hề với kích thước cho theo hình vẽ (đường kính đường tròn lớn là 35 cm). Tổng diện tích vải để làm nên cái mũ là (không kể riềm, mép, phần thừa).
\(457\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
\(475\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
\(458\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
\(485\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
Đáp án đúng: B
Giá trị nhỏ nhất của \[P = \frac{{25x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\] với \(x > 0\) là
\[26\].
\[11\].
\[10\].
\[\frac{1}{{25}}\].
Đáp án đúng: B
Một hộp chứa \[30\] thẻ được đánh số từ \[1\] đến \[30\]. Lấy ngẫu nhiên \[1\] thẻ từ hộp đó. Xác suất thẻ lấy được ghi số lẻ và chia hết cho \[3\] là
\(\frac{3}{{10}}\).
\(\frac{1}{5}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{1}{6}\).
Đáp án đúng: D
Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] và \[A,\,B\] thuộc đường tròn. Độ dài cung nhỏ \[AB\] là \[\frac{{\pi R}}{3}\]. Số đo\[\widehat {AOB}\] là
\[60^\circ \].
\[40^\circ \].
\[180^\circ \].
\[72^\circ \].
Đáp án đúng: A
Một hình quạt tròn có bán kính \(5\,{\rm{cm}}\), số đo cung là \(36^\circ \). Khi đó diện tích hình quạt tròn bằng
\(\frac{1}{2}\pi \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).
\(\frac{2}{5}\pi \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).
\(\frac{5}{2}\pi \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).
\(\frac{5}{2}\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).
Đáp án đúng: C
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = \frac{1}{5}\) là
\(x \ne 2\).
\(x = 2\).
\(x \ne 0\).
\(x \ne - 2\).
Đáp án đúng: D
Biểu đồ dưới đây cho biết dân số Việt Nam từ năm \[2000\] đến năm \[2020\] (làm tròn đến hàng triệu). Quan sát biểu đồ và cho biết:
Từ năm \[2000\] đến \[2020\] dân số tăng thêm bao nhiêu người?
\(9\) triệu người.
\(10\) triệu người.
\(17\) triệu người.
\(16\)triệu người.
Đáp án đúng: C
Cho tập hợp \[A = \left\{ {1\,;\,\,0\,;\,\,5\,;\,\,6} \right\}\]. Bạn Khang dùng \(2\) chữ số khác nhau từ tập \[A\] để tạo thành số tự nhiên có \(2\) chữ số. Số kết quả thuận lợi của biến cố: “Số tạo thành lớn hơn \(10\)”.
\(5\).
\(10\).
\(8\).
\(9\).
Đáp án đúng: C
Ở thành phố St. Louis (Mỹ) có một cái cổng có dạnh hình Parabol bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch (Gateway Arch). Giả sử ta lập một hệ tọa độ \(Oxy\) như trên hình (\(x\) và \(y\) tính bằng mét), một chân của cổng ở vị trí A có \(x = 81\), một điểm \(M\) trên cổng có tọa độ là\(( - 71: - 143)\). Tính chiều cao \(OH\) của cổng (làm tròn đến hàng đơn vị).
\(184m\)
\(186m\)
\(185m\)
\(187m\)
Đáp án đúng: B
Bác Khôi dự định sơn lại một thùng rác có dạng hìnhNH-2024-GV220 trụ (sơn mặt ngoài và 2 đáy) với các kích thước như hìnhNH-2024-GV220 vẽ. Tổng diện tích cần sơn của thùng rác là (Kết quả làm tròn với độ chính xác \[d = 0,5\])
\[2834\left( {c{m^2}} \right)\].
\[902\left( {c{m^2}} \right)\].
\[12164\left( {c{m^2}} \right)\].
\[2833,7\left( {c{m^2}} \right)\].
Đáp án đúng: A
Hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 3\\3x + y = 2\end{array} \right.\] có nghiệm \[\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] khi đó \[x_0^2 - y_0^2\] bằng
\[ - 2\].
\[4\].
\[2\].
\[0\].
Đáp án đúng: D
Một hộp có 25 thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,..., 23, 24, 25; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Xác suất của biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số nhỏ hơn 16” là
\(\frac{{14}}{{25}}\).
\(\frac{3}{5}\).
\(\frac{{16}}{{25}}\).
\(\frac{4}{5}\).
Đáp án đúng: B
Cho tập hợp \[A = \left\{ {4;\,5;\,6} \right\}\]. Từ các chữ số của tập hợp \[A\] viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có 2 chữ số. Mô tả không gian mẫu của phép thử.
\[\Omega = \left\{ {44\,;\,\,45\,;\,\,46\,;\,\,54\,;\,\,55\,;\,\,\,56\,;\,\,64\,;\,\,65\,;\,\,66} \right\}\].\(\)
\[\Omega = \left\{ {\left( {4\,;\,\,5} \right)\,;\,\,\left( {4\,;\,\,6} \right)\,;\,\,\left( {5\,;\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {5\,;\,\,6} \right)\,;\,\,\left( {6\,;\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {6\,;\,\,5} \right)} \right\}\].
\[\Omega = \left\{ {45\,;\,\,46\,;\,\,54\,;\,\,56\,;\,\,64\,;\,\,65} \right\}\].\(\)
\[\Omega = \left\{ {\left( {4\,;\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {4\,;\,\,5} \right)\,;\,\,\left( {4\,;\,\,6} \right)\,;\,\,\left( {5\,;\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {5\,;\,\,5} \right)\,;\,\,\left( {5\,;\,\,6} \right)\,;\,\,\left( {6\,;\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {6\,;\,\,5} \right)\,;\,\,\left( {6\,;\,\,6} \right)} \right\}\].
Đáp án đúng: A
Cho phương trình \[{x^2} - 4x + m = 0\]. Giá trị nào của \[m\] để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều là số nguyên dương?
\(m = 3\).
\(m = - 1\).
\(m = 5\).
\(m = 6\).
Đáp án đúng: A
Cho phương trình \[2{x^2} - 5x + 1 = 0\]. Nếu phương trình có hai nghiệm \[{x_1},\,{x_2}\] thì \[{x_1}.\,{x_2}\] bằng?
\[\frac{{ - 1}}{2}\].
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{5}{2}\).
\(\frac{{ - 5}}{2}\).
Đáp án đúng: B
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn?
\(2x - 5 = 0\).
\(3{x^3} + {x^2} - 1 = 0\).
\[{x^2} - 4x + 3 = 0\].
\[0{x^2} + 5x - 2 = 0\].
Đáp án đúng: C
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = a,\)\(AC = b,\)\(AB = c,\)\(\widehat {ABC} = 50^\circ \). Chọn khẳng định đúng?
\(b = c.\sin 50^\circ \).
\(c = b.cot50^\circ \).
\(b = c.\cot 50^\circ \).
\(b = a.\tan 50^\circ \).
Đáp án đúng: B
Độ dài các cạnh của \(\Delta ABC\) là \(BC = 5,\,\,AB = 3,\,\,AC = 4\). Số đo của \(\widehat {ABC}\) bằng NH-2024-GV97
\[52^\circ 08'\].
\[53^\circ 10'\].
\[53^\circ 8'\].
\[53^\circ \].
Đáp án đúng: C
Căn bậc hai số học của \(64\) là
\( - 8\).
\(8\).
\( \pm 8\).
\(16\).
Đáp án đúng: B
Đồ thị của hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?
\(y = 2{x^2}\)
\(y = 4{x^2}\).
\(y = \frac{1}{4}{x^2}\)
\(y = \frac{1}{2}{x^2}\).
Đáp án đúng: A
Hùng có số tiền không vượt quá \[60\,\,000\] đồng gồm \[15\] tờ với hai loại mệnh giá: \[2\,000\] đồng và \[5\,000\] đồng. Hỏi Hùng có nhiều nhất bao nhiêu tờ tiền mệnh giá \[5\,000\] đồng?
\[10\] tờ.
\[7\] tờ.
\[8\] tờ.
\[9\] tờ.
Đáp án đúng: A
Thống kê khối lượng rau thu hoạch một vụ (đơn vị: tạ) của mỗi hộ gia đình trong \(38\) hộ gia đình tham gia chương trình trồng rau theo tiêu chuẩn VIETGAP như sau:
Tần số của giá trị \(x = 7\) là:
\(n = 7\).
\(n = 8\).
\(n = 6\).
\(n = 5\).
Đáp án đúng: B
Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh \(9cm\) là
\(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}cm\).
\(\sqrt 3 cm\).
\(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}cm\).
\(3\sqrt 3 cm\).\(\)
Đáp án đúng: A
Nghiệm của phương trình \(2x - 3y = 1\) là
\(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).
\(\left( {0;\frac{1}{3}} \right)\).
\(\left( {1;1} \right)\).
\(\left( { - 1; - 1} \right)\).
Đáp án đúng: D
Cho \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ?
\(\sin \alpha = \sin \left( {90^\circ - \alpha } \right).\)
\(\tan \alpha = \tan \left( {90^\circ - \alpha } \right).\)
\(\cot \alpha = - \cot \left( {90^\circ - \alpha } \right)\).
\(\sin \alpha = \cos \left( {90^\circ - \alpha } \right).\)
Đáp án đúng: D
Cho đường tròn \(\left( O \right)\), từ điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) vẽ hai tiếp tuyến \(MA,MB\) (\(A,B\) là tiếp điểm) sao cho \(\widehat {AOM} = 50^\circ \). Số đo của cung \(AB\) lớn bằng
\(250^\circ \).
\(260^\circ \).
\(130^\circ \).
\(100^\circ \).
Đáp án đúng: B
Một hình đa giác đều 10 cạnh có bao nhiêu đường chéo?
\(20\).
\(70\).
\(35\).
\(30\).
Đáp án đúng: C
Người ta tiến hành phỏng vấn \(40\) người về một mẫu sản phẩm mới. Người điều tra yêu cầu mỗi người được phỏng vấn cho điểm mẫu sản phẩm đó theo thang điểm là \(100\). Kết quả thống kê là như sau:
Ghép các số liệu thành năm nhóm như sau: \(\left[ {50;60} \right)\); \(\left[ {60;70} \right)\); \(\left[ {70;80} \right)\); \(\left[ {80;90} \right)\); \(\left[ {90;100} \right)\).Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {50;60} \right)\) là
\(15\% \).
\(12,5\% \).
\(10\% \).
\(5\% \).
Đáp án đúng: C
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {{a^2} + 8a + 16} \) + \(\sqrt {{a^2} - 8a + 16} \) với \( - 4 \le a \le 4\) là
\[ - 2a\].
\[2a\].
\[8\].
\[ - 8\].
Đáp án đúng: C
Có hai túi I và II. Túi I chứa 3 tấm thẻ, đánh số 2; 3; 4. Túi II chứa 2 tấm thẻ, đánh số 5; 6. Từ mỗi túi I và II, rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Xác suất của biến cố "Hai số ghi trên hai tấm thẻ chênh nhau hai đơn vị" là
\(\frac{2}{3}\).
0.
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{3}\).
Đáp án đúng: D
Giải bất phương trình và phương trình sau
(a) \(\frac{{x - 2}}{3} - \frac{{x + 1}}{4} \le \frac{{x - 2}}{6}\).
(b) \(\left( {2x + 5} \right)\left( {1 - 3x} \right) = 0\).
a) \(\frac{{x - 2}}{3} - \frac{{x + 1}}{4} \le \frac{{x - 2}}{6}\)
\(\frac{{x - 2}}{3} - \frac{{x + 1}}{4} \le \frac{{x - 2}}{6}\)
\(4\left( {x - 2} \right) - 3\left( {x + 1} \right) \le 2\left( {x - 2} \right)\)
\(4x - 8 - 3x - 3 \le 2x - 4\)
\( - x \le 7\)
\(x \ge - 7\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \ge - 7\).
b) \(\left( {2x + 5} \right)\left( {1 - 3x} \right) = 0\)
\(\left( {2x + 5} \right)\left( {1 - 3x} \right) = 0\)
\(2x + 5 = 0\) hoặc \(1 - 3x = 0\)
\(x = \frac{{ - 5}}{2}\) hoặc \(x = \frac{1}{3}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = \frac{{ - 5}}{2}\) và \(x = \frac{1}{3}\).
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sqrt a + 3}}{{\sqrt a - 2}} - \frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{4\sqrt a - 4}}{{4 - a}}\) với \[a \ge 0;a \ne 4\]
Với \[a \ge 0;a \ne 4\] ta có
\(A = \frac{{\sqrt a + 3}}{{\sqrt a - 2}} - \frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{4\sqrt a - 4}}{{4 - a}}\)
\(A = \frac{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{4\sqrt a - 4}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\)
\(A = \frac{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right) - \left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right) - \left( {4\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}}\)
\(A = \frac{{a + 2\sqrt a + 3\sqrt a + 6 - \left( {a - 2\sqrt a - \sqrt a + 2} \right) - \left( {4\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}}\)
\(A = \frac{{a + 2\sqrt a + 3\sqrt a + 6 - a + 2\sqrt a + \sqrt a - 2 - 4\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}}\)
\(A = \frac{{4\sqrt a + 8}}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}}\)
\(A = \frac{{4\left( {\sqrt a + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}}\)
\(A = \frac{4}{{\sqrt a - 2}}\)
Vậy \(A = \frac{4}{{\sqrt a - 2}}\) với \[a \ge 0;a \ne 4\].
Cho phương trình: \({x^2} - 4x - {m^2} + 4m = 0\,\,\left( 1 \right)\).
(a) Giải phương trình với \(m = - 1.\)
(b) Tìm giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \(A = x_1^2 + x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
a) Với \[m = - 1\] phương trình đã cho trở thành \[{x^2} - 4x - 5 = 0\]\(\left( 2 \right)\)
Phương trình có các hệ số \(a = 1\), \(b = - 4\), \(c = - 5\).
Ta thấy \(a - b + c = 1 - \left( { - 4} \right) - 5 = 0\).
Do đó phương trình \(\left( 2 \right)\) có các nghiệm là \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = 5\).
Vậy với \[m = - 1\]thì phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = 5\).
b) Ta có \(\Delta \prime = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - {m^2} + 4m} \right) = 4 + {m^2} - 4m = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m\).
Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\).
Theo định lý Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 4\) và \({x_1}{x_2} = - {m^2} + 4m\).
Ta có \(A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {4^2} - 2\left( { - {m^2} + 4m} \right) = 16 + 2{m^2} - 8m\).
\( = 2\left( {{m^2} - 4m + 8} \right) = 2\left[ {{{\left( {m - 2} \right)}^2} + 4} \right] = 2{\left( {m - 2} \right)^2} + 8 \ge 8\).
A đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(8\).
Dấu “=” xảy ra khi \(m = 2\) (thoả mãn).
Vậy \(m = 2\) thì \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(8\).
Hai ô tô cùng xuất phát từ \(A\) đến \(B\) cách nhau \(86\,km\). Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là \(3\,{\rm{km/h}}\), vì vậy xe thứ nhất đến \(B\) trước xe thứ hai \(9\) phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Gọi vận tốc của xe thứ hai là: \(x\,\,\,({\rm{km/h}});\,\,x > 0\)
Thì vận tốc của xe thứ nhất là: \(x + 3\) (km/h)
Thời gian để xe thứ nhất đi từ A đến B là: \(\frac{{86}}{{x + 3}}\) (giờ)
Thời gian để xe thứ hai đi từ A đến B là: \(\frac{{86}}{x}\) (giờ)
Vì xe thứ nhất đến \(B\) trước xe thứ hai \(9\) phút \( = \frac{3}{{20}}\) (giờ) nên ta có phương trình:
\(\frac{{86}}{x} - \frac{{86}}{{x + 3}} = \frac{3}{{20}}\)
\(86 \cdot 20\left( {x + 3} \right) - 86 \cdot 20x = 3x\left( {x + 3} \right)\)
\(1720x + 5160 - 1720x = 3{x^2} + 9x\)
\(3{x^2} + 9x - 5160 = 0\)
Giải phương trình được nghiệm \({x_1} = 40\)(TMĐK); \({x_2} = - 43\)(loại)
Vậy vận tốc của xe thứ hai là \(40\,\,{\rm{km/h}}\)
Vận tốc của xe thứ nhất là \(40 + 3 = 43\,\,({\rm{km/h)}}\)
Cho đường tròn tâm \[O\], đường kính \[CD\]. Qua \[C\] kẻ tiếp tuyến \[Cx\] với đường tròn. Trên tia \[Cx\] lấy điểm \[A\] (\[A\] khác\[C\]). Tia \[AD\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm thứ hai là \[E\] (\[E\] khác \[D\]). Lấy điểm \[I\] là trung điểm của dây \[ED\].
(a) Chứng minh bốn điểm \[A,{\rm{ }}C,{\rm{ }}O,{\rm{ }}I\]cùng thuộc một đường tròn.
(b) Từ điểm \[A\] kẻ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn \[\left( O \right)\],\[B\] là tiếp điểm (\[B\] khác \[C\]). Gọi \[H\] là giao điểm của đoạn thẳng \[OA\] và đoạn thẳng\[BC\]. Chứng minh \[OH.OA = O{C^2}\].
(c) Lấy \[M\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AC\]. Chứng minh \[ME\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]và ba đường thẳng \[ME,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}OI\]đồng quy.
a) Ta có: \[AC\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]suy ra \[AC \bot OC\].
Suy ra \[\Delta ACO\] vuông tại \[C\]
Do đó, ba điểm \[A,C,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\] (1)
Lại có: \[\Delta OED\] cân tại \[O\] có \[OI\] là trung tuyến đồng thời là đường cao.
Suy ra \[OI \bot ED\] nên \[\widehat {OIE} = 90^\circ \], do đó \[\Delta OIA\] vuông tại \[I\].
Do đó, ba điểm \[A,I,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\]. (2)
Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \[A,I,O,C\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\].
b) Ta có \[AB = AC\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\[OB = OC\,\,\left( { = R} \right)\]
Suy ra \[OA\] là đường trung trực của \[BC\] nên \[OA \bot BC\] tại \[H\] hay \[\widehat {CHO} = 90^\circ \]
Chứng minh (g.g)
Suy ra \[\frac{{HO}}{{CO}} = \frac{{CO}}{{AO}}\] nên \[OH.OA = O{C^2}\].
c) +) Có: \[\widehat {CED} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \[\widehat {CEA} = 90^\circ \]
Suy ra \[\Delta CEA\] vuông tại \[E\]
Xét \[\Delta CEA\] vuông tại \[E\] có \[M\] là trung điểm của \[EC\] nên
\[EM = MA = MC = \frac{1}{2}AC.\]
Do đó \[\Delta MEO = \Delta MCO\] (c.c.c)
Suy ra \[\widehat {MEO} = \widehat {MCO} = 90^\circ \]
Do đó \[ME\] là tiếp tuyến của đường tròn (O).
+) Gọi \[P\] là giao điểm của \[BC\] và \[OI\]
Xét \[\Delta OHP\]và \[\Delta OIA\]có: \[\widehat {HOI}\] chung; \[\widehat {OHP} = \widehat {OIA} = 90^\circ \]
Do đó (g.g)
Suy ra \[\frac{{OH}}{{OI}} = \frac{{OP}}{{OA}}\] nên \[OH.OA = OI.OP\]
Mà \[OH.OA = O{C^2}\]; \[OC = OE\,\,\left( { = R} \right)\] nên \[OI.OP = O{E^2}\] suy ra \[\frac{{OE}}{{OI}} = \frac{{OP}}{{OE}}\].
Xét \[\Delta OEP\] và \[\Delta OIE\] có: \[\widehat {EOI}\] chung; \[\frac{{OE}}{{OI}} = \frac{{OP}}{{OE}}\]
Do đó (c.g.c).
Suy ra \[\widehat {OEP} = \widehat {OIE} = 90^\circ \] nên \[EP \bot EO\].
Mà \[ME \bot EO\] nên ba điểm \[M,{\rm{ }}E,{\rm{ }}P\] thẳng hàng.
Do đó, ba đường thẳng \[ME,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}OI\] cắt nhau tại P.
Vậy ba đường thẳng \[ME,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}OI\] đồng quy.
Cho \(a\), \(b\), \(c\) là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2025\).
Tìm giá trị lớn nhất của \(P = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} }}{\rm{ + }}\frac{1}{{\sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} }}{\rm{ + }}\frac{1}{{\sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} }}\)
Ta có: \({a^2} - ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + ab \ge ab \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt {ab} }}\,\,\left( 1 \right)\)
Tương tự ta có:
\(\frac{1}{{\sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt {bc} }}\,\,\,\left( 2 \right);\,\,\frac{1}{{\sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt {ca} }}\,\,\left( 3 \right)\)
Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế, ta được: \(P \le \frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} + \frac{1}{{\sqrt {ca} }}\,\,\left( 4 \right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có:
\(\frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} + \frac{1}{{\sqrt {ca} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{c} + \frac{1}{a}} \right) = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2025\,\,\left( 5 \right)\)
Từ (4) và (5) suy ra \(P \le 2025.\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c = \frac{1}{{675}}\)
Vậy giá trị lớn nhất của P là \(2025\) khi \(a = b = c = \frac{1}{{675}}\).
