Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 2m = 0\) là phương trình bậc hai một ẩn \(x\) khi \(m - 1 \ne 0,\) hay \(m \ne 1.\)

Đáp án đúng là: C

Phương trình \({x^2} - x + m - 1 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {m - 1} \right) = 5 - 4m.\)

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) khi \(\Delta > 0,\) tức là \(5 - 4m > 0,\) hay \(m < \frac{5}{4}.\)

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 1;\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = m - 1.\)

Theo bài, \({x_1} + 2{x_2} = 5\) nên ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1} + 2{x_2} = 5\end{array} \right..\]

Giải hệ phương trình trên bằng máy tính cầm tay, ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = - 3\\{x_2} = 4.\end{array} \right.\)

Thay vào \({x_1}{x_2} = m - 1,\) ta có \(\left( { - 3} \right) \cdot 4 = m - 1,\) suy ra \(m = - 11.\)

Như vậy, \(4 - \left( { - 3} \right) - \left( { - 11} \right) = 18.\)

Đáp án đúng là: C

Quãng đường đi được của vật từ lúc thả đến khi cách mặt đất 40 m là: \(y = 120 - 40 = 80{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Thay \(y = 80{\rm{\;(m)}}\) vào công thức \(y = 5{x^2},\) ta được:

\(80 = 5{x^2}\)

\({x^2} = 16\)

\(x = 4\) hoặc \(x = - 4\).

Vì \(x > 0\) nên chỉ có giá trị \(x = 4\) thỏa mãn.

Vậy sau khi thả được 4 giây thì vật đó sẽ cách mặt đất 40 m.

Đáp án đúng là: A

Số lần xuất hiện mặt 4 chấm là: \(40 - \left( {5 + 10 + 7 + 8 + 2} \right) = 8\) (lần).

Tần số tương đối xuất hiện của mặt 4 chấm là: \(\frac{8}{{40}} \cdot 100\% = 20\% .\)

Đáp án đúng là: C

Tần số tương đối của 8 học sinh làm xong bài kiểm tra trước 15 phút là \(20\% .\)

Ta có \(f = \frac{m}{N} \cdot 100\% ,\) suy ra \(N = \frac{m}{f} \cdot 100\% = \frac{8}{{20\% }} \cdot 100\% = 40\) (học sinh).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Các cung \(MN,\,\,NP,\,\,PM\) chia đường tròn \(\left( O \right)\) thành ba cung có số đo bằng nhau, suy ra mỗi cung có số đo bằng \[\frac{{360^\circ }}{3} = 120^\circ .\]

Đáp án đúng là: B

Kí hiệu 4 học sinh nam lần lượt là X₁, X₂, X₃, X₄ và 2 học sinh nữ lần lượt là Y₁, Y₂.

Không gian mẫu của phép thử là:

\(\Omega = \){X₁X₂; X₁X₃; X₁X₄; X₂X₃; X₂X₄; X₃X₄; Y₁Y₂; X₁Y₁; X₁Y₂; X₂Y₁; X₂Y₂; X₃Y₁; X₃Y₂; X₄Y₁; X₄Y₂}.

Không gian mẫu có 15 phần tử.

Gọi A là biến cố: “Hai học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ”.

Có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: Y₁Y₂; X₁Y₁; X₁Y₂; X₂Y₁; X₂Y₂; X₃Y₁; X₃Y₂; X₄Y₁; X₄Y₂.

Xác suất của biến cố A là: \(\frac{9}{{15}} = \frac{3}{5}.\)

Đáp án đúng là: C

Tần số tương đối của Vải thiều, Nho xanh lần lượt là \(50\% ,\,\,15\% .\)

Tổng khối lượng của các loại quả bán được là: \(\frac{{24}}{{15\% }} \cdot 100\% = 160{\rm{\;(kg)}}{\rm{.}}\)

Khối lượng của Vải thiều là: \(160 \cdot 50\% = 80{\rm{\;(kg)}}{\rm{.}}\)

Đáp án đúng là: D

Xét tứ giác \(MNPQ\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\) ta có:

\(\widehat {MNP} + \widehat {MQP} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp).

Suy ra \(2\widehat {MQP} + \widehat {MQP} = 180^\circ \)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh \(2\sqrt 2 \;{\rm{cm}}\) là \(\frac{{2\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }}{2} = 2{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Đáp án đúng là: A

Bán kính của của bóng rổ size 7 là: \(\frac{{24}}{2} = 12{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Thể tích của quả bóng rổ size 7 là: \(\frac{4}{3}\pi \cdot {12^3} = 2304\pi \approx 7\,\,238{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Đáp án đúng là: C

Chiều cao (mực nước) của nước đã đổ vào bể trước khi trang trí và thả cá vào bể là:

\(50 - 10 = 40{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Bán kính đáy của bể là: \(\frac{{20}}{2} = 10{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Thể tích nước đã đổ vào bể là: \[\pi \cdot {10^2} \cdot 40 = 4\,000\pi \approx 12\;566,4\;{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Đáp án đúng là: A

Giả sử các điểm \(C,\,\,D\) có vị trí như hình vẽ.

Xét \(\Delta ACD\) vuông tại \(D,\) ta có:

Để đồ thị của hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^2}\,\,\left( {m \ne 1} \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) thì tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn hàm số đó.

Thay \(x = - 1,\,\,y = 2\) vào hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^2},\) ta được:

\(2 = \left( {m - 1} \right) \cdot {\left( { - 1} \right)^2}\) hay \(m - 1 = 2,\) nên \(m = 3\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = 3.\)

Với \(x > 0,\,\,x \ne 4,\) ta có:

\(A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{2}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{4 - x}}} \right):\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}\)

 \( = \left[ {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{2}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right] \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)

 \( = \left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right] \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)

 \( = \frac{{x + 2\sqrt x - 2\sqrt x + 4 - 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)

 \( = \frac{{x - 4\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)

 \[ = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} \cdot \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) \cdot \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]

 \[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.\]

Vậy với \(x > 0,\,\,x \ne 4\) thì \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.\)

Giải bất phương trình:

\(3 - 4x < 0\)

\( - 4x < - 3\)

\(x > \frac{3}{4}.\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x > \frac{3}{4}.\)

Khi \(m = - 1,\) ta có phương trình \({x^2} + 3x - 4 = 0.\)

Phương trình trên có \(a = 1,\,\,b = 3,\,\,c = - 4\) nên \(a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0.\)

Khi đó, phương trình này có hai nghiệm là \({x_1} = 1;\,\,{x_2} = - 4.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 1;\,\,{x_2} = - 4.\)

Xét phương trình \({x^2} - \left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

⦁ Phương trình (1) có

\[\Delta = {\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} - 4\left( {m - 3} \right) = {m^2} - 4m + 4 - 4m + 12 = {m^2} - 8m + 16 = {\left( {m - 4} \right)^2} \ge 0\] với mọi \(m.\)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thì \(\Delta > 0,\) tức là \[{\left( {m - 4} \right)^2} > 0,\] suy ra \[{\left( {m - 4} \right)^2} \ne 0\] nên \(m - 4 \ne 0\) hay \(m \ne 4.\)

Với \(m \ne 4,\) phương trình \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn định lí Viète:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 2\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = m - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

⦁ Cách 1. Từ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 2\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} - 1 = m - 3\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\)

Suy ra \({x_1} + {x_2} - 1 = {x_1}{x_2}\)

\(\left( {{x_1} - {x_1}{x_2}} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right) = 0\)

\[{x_1}\left( {{x_2} - 1} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right) = 0\]

\(\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} - 1} \right) = 0\)

\({x_2} - 1 = 0\) hoặc \({x_1} - 1 = 0\)

\({x_2} = 1\) hoặc \({x_1} = 1.\)

Trường hợp 1. Nếu \({x_2} = 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + 1 = m - 2\\{x_1} \cdot 1 = m - 3\end{array} \right.\) suy ra \({x_1} = m - 3.\)

Theo bài, ta có: \(3{x_1} = x_2^2 + 2\)

\(3\left( {m - 3} \right) = {1^2} + 2\)

\(m - 3 = 1\)

\(m = 4\) (không thỏa mãn \(m \ne 4).\)

Trường hợp 2. Nếu \({x_1} = 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}1 + {x_2} = m - 2\\1 \cdot {x_2} = m - 3\end{array} \right.\) suy ra \({x_2} = m - 3.\)

Theo bài, ta có: \(3{x_1} = x_2^2 + 2\)

\(3 \cdot 1 = {\left( {m - 3} \right)^2} + 2\)

\({\left( {m - 3} \right)^2} = 1\)

\(m - 3 = 1\) hoặc \(m - 3 = - 1\)

\(m = 4\) (không thỏa mãn \(m \ne 4)\) hoặc \(m = 2\) (thỏa mãn \(m \ne 4).\)

Vậy \(m = 2.\)

Cách 2. Do \({x_2}\) là một nghiệm của phương trình (1) nên ta có: \(x_2^2 - \left( {m - 2} \right){x_2} + m - 3,\) suy ra \(x_2^2 = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 3.\)

Theo bài, \(3{x_1} = x_2^2 + 2\) nên ta có \(3{x_1} = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 3 + 2\) hay \(3{x_1} = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 5.\,\,\,\,\left( * \right)\)

Từ (2), ta có \({x_1} = m - 2 - {x_2},\) thay vào (*), ta được:

\[3\left( {m - 2 - {x_2}} \right) = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 5\]

\[3m - 6 - 3{x_2} = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 5\]

\[\left( {m + 1} \right){x_2} = 4m - 11\,\,\,\left( {**} \right)\]

Nếu \(m = - 1,\) phương trình \(\left( {**} \right)\) trở thành \(0{x_2} = - 15\) (phương trình này vô nghiệm).

Như vậy, \(m = - 1\) không thỏa mãn.

Nếu \(m \ne - 1,\) thì phương trình \(\left( {**} \right)\) có nghiệm \[{x_2} = \frac{{4m - 11}}{{m + 1}}.\]

Khi đó, \[{x_1} = m - 2 - \frac{{4m - 11}}{{m + 1}} = \frac{{{m^2} + m - 2m - 2 - 4m + 11}}{{m + 1}} = \frac{{{m^2} - 5m + 9}}{{m + 1}}.\]

Thay \[{x_1} = \frac{{{m^2} - 5m + 9}}{{m + 1}}\] và \[{x_2} = \frac{{4m - 11}}{{m + 1}}\] vào \(\left( 3 \right),\) ta được:

\[\frac{{{m^2} - 5m + 9}}{{m + 1}} \cdot \frac{{4m - 11}}{{m + 1}} = m - 3\]

\[\left( {{m^2} - 5m + 9} \right)\left( {4m - 11} \right) = \left( {m - 3} \right){\left( {m + 1} \right)^2}\]

\(4{m^3} - 11{m^2} - 20{m^2} + 55m + 36m - 99 = \left( {m - 3} \right)\left( {{m^2} + 2m + 1} \right)\)

\(4{m^3} - 31{m^2} + 91m - 99 = {m^3} + 2{m^2} + m - 3{m^2} - 6m - 3\)

\(3{m^3} - 30{m^2} + 96m - 96 = 0\)

\(\left( {3{m^3} - 6{m^2}} \right) - \left( {24{m^2} - 48m} \right) + \left( {48m - 96} \right) = 0\)

\(3{m^2}\left( {m - 2} \right) - 24m\left( {m - 2} \right) + 48\left( {m - 2} \right) = 0\)

\(\left( {m - 2} \right)\left( {3{m^2} - 24m + 48} \right) = 0\)

\(\left( {m - 2} \right) \cdot 3\left( {{m^2} - 8m + 16} \right) = 0\)

\(3\left( {m - 2} \right){\left( {m - 4} \right)^2} = 0\)

\(m - 2 = 0\) hoặc \({\left( {m - 4} \right)^2} = 0\)

\(m = 2\) (thỏa mãn \(m \ne - 1,\,\,m \ne 4)\) hoặc \(m = 4\) (không thỏa mãn \(m \ne 4).\)

Vậy \(m = 2.\)

Không gian mẫu của phép thử là:

\(\Omega = \left\{ {\left( {10,\,\,11} \right);\,\,\left( {10,\,\,13} \right);\,\,\left( {10,\,\,15} \right);\,\,\left( {12,\,\,11} \right);\,\,\left( {12,\,\,13} \right);\,\,\left( {12,\,\,15} \right);\,\,\left( {14,\,\,11} \right);\,\,\left( {14,\,\,13} \right);\,\,\left( {14,\,\,15} \right)} \right\}.\)

Không gian mẫu có 9 phần tử.

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố B là: \(\left( {12,\,\,11} \right);\,\,\left( {14,\,\,11} \right);\,\,\left( {14,\,\,13} \right).\)

Vậy xác suất của biến cố B là: \(\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.\)

Vì điểm \(M\) nằm trên đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(\widehat {AMP} = 90^\circ .\)

\(\Delta AMP\) vuông tại \(M\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(AP.\) Do đó ba điểm \(A,\,\,M,\,\,P\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AP.\)

\(\Delta ACP\) vuông tại \(C\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(AP.\) Do đó ba điểm \(A,\,\,M,\,\,C\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AP.\)

Như vậy, bốn điểm \(A,\,\,C,\,\,P,\,\,M\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AP.\)

Vậy tứ giác \(ACPM\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(AP.\)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta PBC\) có: \(\widehat {AMB} = \widehat {PCB} = 90^\circ \) và \(\widehat {CBP}\) là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{AB}}{{PB}} = \frac{{BM}}{{BC}}\) hay \(BM \cdot BP = AB \cdot BC.\)

Mà \(BC = AB + AC = 2R + R = 3R.\)

Suy ra \(BM \cdot BP = AB \cdot BC = 2R \cdot 3R = 6{R^2}.\)

Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC.\) Khi đó, \(KC = KB.\) (1)

Do \(G\) là trọng tâm của \(\Delta MBC\) nên \(\frac{{MG}}{{MK}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{KG}}{{KM}} = \frac{1}{3}.\)

Ta có \(KC = KA + CA = KA + R\) và \(KB = KO + OB = KO + R.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(KA = KO.\) Do đó \(K\) là trung điểm của \(AO\) nên \(KA = KO = \frac{1}{2}AO.\) (3)

Gọi \(E,\,\,I\) là các điểm thuộc đoạn \(AO\) sao cho \(AE = EI = IO = \frac{1}{3}AO.\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{\frac{1}{3}AO}}{{\frac{1}{2}AO}} = \frac{2}{3}.\)

Xét \(\Delta AKM\) có \(\frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{MG}}{{MK}} = \frac{2}{3}\) nên \(EG\,{\rm{//}}\,AM\) (định lí Thalès đảo).

Lại có \(AM \bot BM\) nên \(EG \bot BM.\) (5)

Ta có \[KB = KO + OB = KO + OA = KO + 2KO = 3KO\] nên \(\frac{{KO}}{{KB}} = \frac{1}{3}.\)

Xét \(\Delta BKM\) có \(\frac{{KO}}{{KB}} = \frac{{KG}}{{KM}} = \frac{1}{3}\) nên \(OG\,{\rm{//}}\,BM\) (định lí Thalès đảo). (6)

Từ (5) và (6) suy ra \(EG \bot OG\) hay \[\widehat {EGO} = 90^\circ .\]

Xét \(\Delta EGO\) vuông tại \(G\) có \(I\) là trung điểm của cạnh huyền \(EO\) nên đường tròn ngoại tiếp \(\Delta EGO\) có tâm là \(I\) và bán kính bằng \(\frac{{EO}}{2}.\)

Do \(AB\) cố định nên \(O,\,\,E,\,\,I\) cố định.

Như vậy, điểm \(G\) nằm trên đường tròn đường kính \(EO\) cố định.

Gọi \(x{\rm{\;(m)}}\) là chiều rộng của đáy bể hình hộp chữ nhật \[\left( {x > 0} \right).\]

Khi đó, chiều dài của đáy bể hình hộp chữ nhật là \(2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích đáy bể hình hộp chữ nhật là: \[x \cdot 2x = 2{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Chiều cao của bể nước hình hộp chữ nhật đó là: \(\frac{9}{{2{x^2}}}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích xung quanh của bể nước hình hộp chữ nhật là: \(2\left( {x + 2x} \right) \cdot \frac{9}{{2{x^2}}} = \frac{{54x}}{{2{x^2}}} = \frac{{27}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích mặt đáy và nắp đậy của bể nước hình hộp chữ nhật là: \(2 \cdot 2{x^2} = 4{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích cần xây (diện tích toàn phần của bể nước) là: \(S = \frac{{27}}{x} + 4{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Như vậy, yêu cầu bài toán đưa về việc tìm giá trị nhỏ nhất của \(S.\)

Ta có: \(S = \frac{{27}}{x} + 4{x^2} = \frac{{27}}{{2x}} + \frac{{27}}{{2x}} + 4{x^2}.\)

Do \(x > 0\) nên \(\frac{{27}}{{2x}} > 0\) và \(4{x^2} > 0,\) áp dụng định lí Cauchy cho ba số dương ta được:

\(S = \frac{{27}}{{2x}} + \frac{{27}}{{2x}} + 4{x^2} \ge \sqrt[3]{{\frac{{27}}{{2x}} \cdot \frac{{27}}{{2x}} \cdot 4{x^2}}} = 9.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{27}}{{2x}} = \frac{{27}}{{2x}} = 4{x^2},\) tức là \(8{x^3} = 27\) hay \(x = \frac{3}{2} = 1,5\) (thỏa mãn).

Do đó, diện tích xây bể nhỏ nhất là \(27{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\) khi \[x = 1,5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Chi phí thấp nhất để xây bể lúc này là: \(27 \cdot 550\,\,000 = 14\,\,850\,\,000\) (đồng).

Vậy bác Minh muốn chi phí xây bể là thấp nhất có thể thì cần xây bể với chiều rộng là \(1,5{\rm{\;m,}}\) chiều dài là \[2 \cdot 1,5 = 3{\rm{\;(m),}}\] chiều cao là \(\frac{9}{{2 \cdot 1,{5^2}}} = 2{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)