Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt 4 chấm là \(\frac{3}{{10}}.\)

Phương trình \({x^2} + 3x - 4 = 0\) có \(a = 1,\,\,b = 3,\,\,c = - 4\) có \(a + b + c = 1 + 3 + \left( { - 4} \right) = 0.\)

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1} = 1,\,\,{x_2} = - 4.\)

Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y = 7\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{3x - 2y = - 1\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho, ta được phương trình:

\(6x = 6,\) suy ra \(x = 1.\)

Thay \(x = 1\) vào phương trình \(\left( 1 \right),\) ta được: \(3 \cdot 1 + 2y = 7,\) suy ra \(y = 2.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {1;\,\,2} \right).\)

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\) ta có:

\(P = \frac{2}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 5}}{{x - 1}}\)

\[ = \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{2\sqrt x - 2 + 2\sqrt x + 2 + \sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{5\sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{5}{{\sqrt x + 1}}.\]

Vậy với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) thì \[P = \frac{5}{{\sqrt x + 1}}.\]

Xét phương trình \({x^2} - 5x + m = 0.\)

Phương trình trên có \(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot m = 25 - 4m.\)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0,\) tức là \(25 - 4m > 0,\) suy ra \(m < \frac{{25}}{4}.\)

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 5;\,\,{x_1}{x_2} = m.\)

Ta có: \({x_1} + {x_2} - 101{x_1}{x_2} = 2\,\,025\)

\(5 - 101 \cdot m = 2\,\,025\)

\(101m = - 2\,\,020\)

\(m = - 20\) (thỏa mãn điều kiện \(m < \frac{{25}}{4}).\)

Vậy \(m = - 20.\)

Gọi \(x\) (triệu đồng), \(y\) (triệu đồng) lần lượt là số tiền người đó chia cho khoản đầu tư thứ nhất và thứ hai \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)

Vì người đó chia số tiền 800 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư nên ta có phương trình \(x + y = 800.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Số tiền lãi người đó nhận được cho khoản đầu tư thứ nhất sau một năm là \(6\% x = 0,06x\) (triệu đồng).

Số tiền lãi người đó nhận được cho khoản đầu tư thứ hai sau một năm là \(8\% y = 0,08y\) (triệu đồng).

Sau một năm, tổng số tiền lãi người đó thu được là 54 triệu đồng nên ta có phương trình:

\(0,06x + 0,08y = 54\) hay \(3x + 4y = 2\,\,700.\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 800\\3x + 4y = 2\,\,700.\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 500\\y = 300\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vậy số tiền người đó đầu tư cho khoản thứ nhất và khoản thứ hai lần lượt là \(500\) triệu đồng; \(300\) triệu đồng.

Thay \(D = 7\,\,800\) kg/m³ và \(P = 1\,\,300\pi \) (kg) vào công thức \(P = V \cdot D,\) ta được:

\(1\,\,300\pi = V \cdot 7\,\,800,\) suy ra \(V = \frac{\pi }{6}\) (m³).

Vậy thể tích của khối cầu sắt \(\left( C \right)\) bằng \(\frac{\pi }{6}\) (m³).

Ta có công thức tính thể tích của hình cầu là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3},\) suy ra \(R = \sqrt[3]{{\frac{{3V}}{{4\pi }}}} = \sqrt[3]{{\frac{{3 \cdot \frac{\pi }{6}}}{{4\pi }}}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} = \frac{1}{2}\) (m).

Diện tích bề mặt của khối cầu sắt \(\left( C \right)\) là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \pi {\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Do \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(AB.\) Do đó, ba điểm \(A,\,\,B,\,\,D\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB.\)

Tương tự, ba điểm \(A,\,\,B,\,\,E\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB.\)

Ta có \(\widehat {EBC} + \widehat C = 90^\circ \) và \(\widehat {DAC} + \widehat C = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn của một tam giác vuông)

Suy ra \[\widehat {EBC} = \widehat {DAC}.\]

Xét \(\Delta DHB\) và \(\Delta DCA\) có: \(\widehat {HDB} = \widehat {CDA} = 90^\circ \) và \[\widehat {HBD} = \widehat {CAD}.\]

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{DB}}{{DA}}\) hay \(DH \cdot DA = DB \cdot DC.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(DB + DC \ge 2\sqrt {DB \cdot DC} \)

\(BC \ge 2\sqrt {DB \cdot DC} \)

\(\sqrt {DB \cdot DC} \le \frac{{BC}}{2}\)

\(DB \cdot DC \le \frac{{B{C^2}}}{4}.\)

Khi đó, \(DH \cdot DA \le \frac{{B{C^2}}}{4}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(DB = DC\) hay \(D\) là trung điểm của \(BC.\)

Khi đó, \(AD \bot BC\) tại trung điểm \(D\) của \(BC\) nên \[AD\] là đường trung trực của \(BC.\) Lúc này, \(A\) là giao điểm của đường trung trực của \(BC\) với đường tròn \(\left( O \right)\).

Vậy điểm \(A\) là giao điểm của đường trung trực của \(BC\) với đường tròn \(\left( O \right)\) thì \(DH \cdot DA\) lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là \(\frac{{B{C^2}}}{4}.\)

Vận tốc của người đó chạy ngược chiều gió là: \(v - 6\) (km/h) \(\left( {v > 6} \right).\)

Thời gian người đó chạy hết quãng đường \(s\) (km) là: \(\frac{s}{{v - 6}}\) (giờ).

 Khi đó, \(E\left( v \right) = c \cdot {v^3} \cdot \frac{s}{{v - 6}} = \frac{{cs{v^3}}}{{v - 6}}\) (Jun).

Để năng lượng tiêu hao ít nhất thì \(E\left( v \right) = \frac{{cs{v^3}}}{{v - 6}}\) nhỏ nhất.

Ta có: \[E\left( v \right) = \frac{{cs{v^3}}}{{v - 6}} = cs \cdot \left( {{v^2} + 6v + 36 + \frac{{216}}{{v - 6}}} \right) = cs \cdot \left[ {{{\left( {v - 6} \right)}^2} + 18\left( {v - 6} \right) + 108 + \frac{{216}}{{v - 6}}} \right]\]

 \[ = cs \cdot \left[ {{{\left( {v - 6} \right)}^2} + \frac{{27}}{{v - 6}} + \frac{{27}}{{v - 6}} + 18\left( {v - 6} \right) + \frac{{162}}{{v - 6}} + 108} \right]\]

 \[ \ge cs \cdot \left[ {3\sqrt[3]{{{{\left( {v - 6} \right)}^2} \cdot \frac{{27}}{{v - 6}} \cdot \frac{{27}}{{v - 6}}}} + 2\sqrt {18\left( {v - 6} \right) \cdot \frac{{162}}{{v - 6}}} + 108} \right]\] (Bất đẳng thức Cauchy)

 \[ = cs \cdot \left[ {3 \cdot 9 + 2 \cdot 54 + 108} \right] = 243cs.\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {v - 6} \right)^2} = \frac{{27}}{{v - 6}}\\18\left( {v - 6} \right) = \frac{{162}}{{v - 6}}\end{array} \right.,\] tức là \(v = 9\) (thỏa mãn).

Vậy người đó cần chạy với vận tốc 9 km/h để năng lượng tiêu hao trong quá trình chạy là ít nhất bằng \(243cs\) Jun.