Đề thi minh họa môn Toán vào 10 tỉnh Quảng Bình năm học 2025-2026
24 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (4,0 điểm)
\(x = \frac{3}{2}\).
\(x = \frac{4}{3}\).
\(x = \frac{5}{3}\).
\(x = \frac{7}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Giải bất phương trình:
\( - 3x + 4 < 0\)
\( - 3x < - 4\)
\(x > \frac{4}{3}.\)
Như vậy, bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x > \frac{4}{3}.\)
Trong các phương án đã cho, chỉ có giá trị \(x = \frac{4}{3}\) không thỏa mãn \(x > \frac{4}{3}\) nên đây không phải là một nghiệm của bất phương trình \( - 3x + 4 < 0.\)
Vậy ta chọn phương án B.
\(\left( { - 1;2} \right)\).
\(\left( { - 2;1} \right)\).
\(\left( {1; - 2} \right)\).
\(\left( {2; - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Sử dụng máy tính cầm tay, ta giải được hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5x + 6y = 4}\\{4x - 9y = 17}\end{array}} \right.\) có nghiệm là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1.\end{array} \right.\)
Vậy cặp số \(\left( {2;\,\, - 1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
\(2x + 3y = - 1\).
\(0x + 0y = 6\).
\( - 6x + y = 0\).
\( - 9y = 6\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(ax + by = c\) (với \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0)\).
Như vậy, phương trình \(0x + 0y = 6\) có \(a = b = 0\) không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.
\({x^2} - 2\sqrt x + 1 = 0\).
\({x^2} + 1 = 0\).
\({x^3} - 2{x^2} + 1 = 0\).
\(2x + 1 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\) (với \(a \ne 0)\).
Phương trình \({x^2} + 1 = 0\) có \(a = 1 \ne 0,\,\,b = 0,\,\,c = 1\) là phương trình bậc hai một ẩn.
Căn bậc hai số học của 144 là
72.
12 và \[ - 12\].
12.
\[ - 12\].
Đáp án đúng là: C
Căn bậc hai số học của 144 là: 12 vì \({12^2} = 144\) và \(12 > 0.\)
\(\sqrt {{a^2}} = a\).
\(\sqrt {{a^2}} = - a\).
\(\sqrt {{a^2}} = \pm a\).
\(\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|.\)
Đáp án đúng là: D
Với số thực \(a,\) ta có: \(\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|.\)
\(x - 1\).
\(1 - x\).
\(3\left( {1 - x} \right)\).
\(\sqrt[3]{{1 - x}}\).
Đáp án đúng là: B
Với mọi \(x,\) ta có: \(\sqrt[3]{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}} = 1 - x.\)
Trục hoành.
Đường thẳng \(y = - x\).
Đường thẳng \(y = x\).
Trục tung.
Đáp án đúng là: D
Đồ thị của hàm số \(y = 2{x^2}\) có trục đối xứng là trục tung \(Oy.\)
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trong đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
Góc nội tiếp là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
Đáp án đúng là: D
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
Đường tròn là hình có tâm đối xứng.
Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó.
Mỗi đường thẳng đi qua tâm đường tròn là một trục đối xứng của nó.
Đường tròn là hình không có trục đối xứng.
Đáp án đúng là: D
Đường tròn là hình có vô số trục đối xứng. Do đó phương án D là khẳng định sai.
\(\frac{{MN}}{{MP}}\).
\(\frac{{NP}}{{MN}}\).
\(\frac{{MN}}{{NP}}\).
\(\frac{{MP}}{{NP}}\).
Đáp án đúng là: A
Xét \(\Delta MNP\) vuông tại \(N,\) ta có:
\(\sin \widehat {NPM} = \frac{{MN}}{{MP}}.\)\(\frac{{AC}}{{BC}}\).
\(\frac{{AC}}{{AB}}\).
\(\frac{{AB}}{{BC}}\).
\(\frac{{AB}}{{AC}}\).
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có:
\(\cot B = \frac{{AB}}{{AC}}.\)
\(\widehat {BAC}\).
\(\widehat {OAB}\).
\(\widehat {BOA}\).
\(\widehat {BAO}\).
Đáp án đúng là: C
Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.
Góc ở tâm có trong hình vẽ đã cho là: \(\widehat {BOA}\).
Hình H1.
Hình H2.
Hình H3.
Hình H4.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Trong các hình vẽ đã cho, hình vẽ một tứ giác nội tiếp đường tròn là Hình H2.
\(AD\).
\(AC\).
\(CD\).
\(AB\).
Đáp án đúng là: A
Khi quay hình chữ nhật \(ABCD\) một vòng quanh cạnh \(AB\) ta được một hình trụ có bán kính đáy bằng độ dài đoạn thẳng\(100\pi \;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).
\(10\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).
\(100\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).
\(20\pi \;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).
Đáp án đúng là: A
Bán kính của hình cầu là: \(\frac{{10}}{2} = 5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Diện tích mặt cầu có đường kính 10 cm bằng \(4\pi \cdot {5^2} = 100\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
II. PHẦN TỰ LUẬN (6,0 điểm)
Câu 17-18. (1,5 điểm)
Ta có:
⦁\[a = \sqrt {75} + 2\sqrt {\frac{3}{4}} - 3\sqrt {48} = \sqrt {25 \cdot 3} + 2\sqrt {\frac{3}{{{2^2}}}} - 3\sqrt {16 \cdot 3} \]
\[ = 5\sqrt 3 + 2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} - 3 \cdot 4\sqrt 3 = 5\sqrt 3 + \sqrt 3 - 12\sqrt 3 = - 6\sqrt 3 .\]
⦁ \(b = \sqrt[3]{{27}} + \sqrt[3]{{125}} - \frac{1}{7}\sqrt[3]{{343}} = \sqrt[3]{{{3^3}}} + \sqrt[3]{{{5^3}}} - \frac{1}{7}\sqrt[3]{{{7^3}}} = 3 + 5 - \frac{1}{7} \cdot 7 = 7.\)
Khi đó \(A = {a^2} - b = {\left( { - 6\sqrt 3 } \right)^2} - 7 = 108 - 8 = 101.\)
Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\) ta có:
\(B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{1 - x}}} \right):\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}\)
\( = \left[ {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{1}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\)
\[ = \left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\]
\[ = \frac{{x + \sqrt x + \sqrt x - 1 + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\]
\[ = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\]\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}.\]
Vậy với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) thì \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}.\)
Câu 19-20: (2,0 điểm)
Xét phương trình \({x^2} - 5x + 3 = 0\).
Ta có \(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 13 > 0\) nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Theo định lý Viète ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 5}\\{{x_1} \cdot {x_2} = 3}\end{array}} \right..\)
Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {5^2} - 2 \cdot 3 = 19.\)
Gọi số học sinh nam và số học sinh nữ của lớp 9A lần lượt là \[x,{\rm{ }}y\] (học sinh) \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right.\)và \(\left. {x,y < 35} \right).\)
Vì lớp 9A có 35 học sinh nên ta có phương trình: \(x + y = 35\) (1)
Số học sinh nam không chơi môn thể thao Pickleball là \[25\% x = 0,25x\] (học sinh).
Số học sinh nữ không chơi môn thể thao Pickleball là \[20\% x = 0,2x\] (học sinh).
Vì số học sinh không chơi môn thể thao Pickleball là 8 nên ta có \[0,25x + 0,2y = 8\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 35}\\{0,25x + 0,2y = 8}\end{array}} \right.\)
Sử dụng máy tính cầm tay, ta giải được hệ phương trình trên có nghiệm là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 15\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Vậy số học sinh nữ không chơi môn thể thao Pickleball là \(0,2 \cdot 15 = 3\) (học sinh).
Câu 21-22. (1,5 điểm) Trong các hệ thống máy, một dây curoa bao quanh 2 bánh quay là hai đường tròn có tâm \({O_1}\) bán kính 40 cm và tâm \({O_2}\) bán kính 10 cm như hình dưới đây. Gọi \(A,\,\,D\) là các điểm trên \(\left( {{O_1}} \right)\) và \(B,\,\,C\) là các điểm trên \(\left( {{O_2}} \right)\) sao cho \(AB\) và \(CD\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( {{O_1}} \right),\,\,\left( {{O_2}} \right)\) và chúng cắt nhau tại \(M\) tạo thành góc \(\widehat {BMC} = 60^\circ .\)
Vì \(MA,\,\,MD\) là các tiếp tuyến của \(\left( {{O_1}} \right)\) nên \(M{O_1}\) là phân giác của \(\widehat {AMD}.\)
Suy ra \(\widehat {AM{O_1}} = \frac{1}{2}\widehat {AMB} = \frac{1}{2}60^\circ = 30^\circ .\)
Do \(MA\) là tiếp tuyến của \(\left( {{O_1}} \right)\) nên \(MA \bot {O_1}A.\)
Xét \(\Delta MA{O_1}\) vuông tại \(A,\) ta có: \(\widehat {AM{O_1}} + \widehat {A{O_1}M} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).
Suy ra \(\widehat {A{O_1}M} = 90^\circ - \widehat {AM{O_1}} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ .\)
Vì \(MA,\,\,MD\) là các tiếp tuyến của \(\left( {{O_1}} \right)\) nên \({O_1}M\) là phân giác của \(\widehat {A{O_1}D}.\)
Suy ra \(\widehat {A{O_1}D} = 2\widehat {A{O_1}M} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ .\)
Do đó số đo cung nhỏ là
Như vậy, số đo cung lớn của đường tròn \(\left( {{O_1}} \right)\) là
Ta có số đo cung lớn của đường tròn \(\left( {{O_1}} \right)\) là \(240^\circ \) nên độ dài cung lớn của đường tròn \(\left( {{O_1}} \right)\) là: \({l_1} = \frac{{\pi \cdot 40 \cdot 240}}{{180}} = \frac{{160\pi }}{3}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Tương tự câu 1, trong đường tròn \(\left( {{O_2}} \right)\)ta có: nên độ dài cung nhỏ của đường tròn \(\left( {{O_2}} \right)\) là: \({l_2} = \frac{{\pi \cdot 10 \cdot 120}}{{180}} = \frac{{20\pi }}{3}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Xét \(\Delta M{O_1}A\) và \(\Delta M{O_2}B\) có: \(\widehat {MA{O_1}} = \widehat {MB{O_2}} = 90^\circ \) và \(\widehat {AM{O_1}}\) là góc chung
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{{O_1}A}}{{{O_2}B}} = \frac{{40}}{{10}} = 4.\)
Nên \(MA = 4MB,\) suy ra \(AB = 3MB.\)
Xét \(\Delta M{O_2}B\) vuông tại\(B,\) ta có:
\(MB = {O_2}B \cdot \cot \widehat {BM{O_2}} = {O_2}B \cdot \cot 30^\circ = 10 \cdot \tan 60^\circ = 10\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Do đó \(AB = 3MB = 3 \cdot 10\sqrt 3 = 30\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Vậy độ dài của dây cua-roa là
\(2AB + {l_1} + {l_2} = 2 \cdot 30\sqrt 3 + \frac{{160\pi }}{3} + \frac{{20\pi }}{3} = 60\left( {\pi + \sqrt 3 } \right){\rm{\;(cm)}}.\)
Câu 23-24. (1,0 điểm) Trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình, một trường THCS X có 50 thí sinh dự thi, trong đó có 3 thí sinh tham gia Câu lạc bộ Toán học. Điểm thi môn Toán của thí sinh trường đó được thống kê trong bảng sau:
Nhóm | \(\left[ {5;\,\,6} \right)\) | \(\left[ {6;\,\,7} \right)\) | \(\left[ {7;\,\,8} \right)\) | \(\left[ {8;\,\,9} \right)\) | \[\left[ {9;\,\,10} \right]\] |
Tần số | 10 | 8 | 16 | 11 | 5 |
Ta có số thí sinh có điểm thi lớn hơn hoặc bằng 8 là \(11 + 5 = 16.\)
Chọn 1 thí sinh trong 16 thí sinh, không gian mẫu có 16 phần tử.
Gọi \[A\] là biến cố “Thí sinh của Câu lạc bộ Toán học không được chọn”.
Số thí sinh không thuộc Câu lạc bộ Toán học có điểm thi lớn hơn hoặc bằng 8 là \(16 - 3 = 13.\)
Chọn 1 thí sinh trong 13 thí sinh này. Có 13 kết quả thuận lợi cho biến cố \[A.\]
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{13}}{{16}}.\)
Kí hiệu 2 thí \(\sinh \) nữ là \({G_1}\) và \({G_2},\) thí \(\sinh \) nam là \[B.\]
Ta có không gian mẫu là: \[\Omega = \left\{ {{G_1}{G_2}B;\,\,{G_1}B{G_2};\,\,{G_2}{G_1}B;\,\,{G_2}B{G_1};\,\,B{G_1}{G_2};\,\,B{G_2}{G_1}} \right\}.\]
Không gian mẫu có 6 phần tử.
Gọi \[B\] là biến cố “Hai học nữ không đứng cạnh nhau”.
Ta có \(B = \left\{ {{G_1}B{G_2};\,\,{G_2}B{G_1}} \right\},\) có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố \[B.\]
Vậy \(P\left( B \right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\)
