Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cách 1: Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x + y = 3\end{array} \right.\] bằng máy tính cầm tay, ta được nghiệm của hệ phương trình này là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1.\end{array} \right.\)

Cách 2:

⦁ Thay \(x = - 2,\,\,y = 1\) vào hệ phương trình đã cho, ta được: \[\left\{ \begin{array}{l} - 2 + 2 \cdot 1 = 0 \ne 3\\2 \cdot \left( { - 2} \right) + 1 = - 3 \ne 3\end{array} \right.\]

Do đó cặp số \[\left( { - 2;1} \right)\] không là nghiệm của hệ phương trình.

⦁ Thay \(x = - 1,\,\,y = 2\) vào hệ phương trình đã cho, ta được: \[\left\{ \begin{array}{l} - 1 + 2 \cdot 2 = 3\\2 \cdot \left( { - 1} \right) + 2 = 0 \ne 3\end{array} \right.\]

Do đó cặp số \[\left( { - 1;2} \right)\] không là nghiệm của hệ phương trình.

⦁ Thay \[x = 1,\,\,y = 1\] vào hệ phương trình đã cho, ta được: \[\left\{ \begin{array}{l}1 + 2 \cdot 1 = 3\\2 \cdot 1 + 1 = 3\end{array} \right.\]

Do đó cặp số \[\left( {1;1} \right)\] là nghiệm của hệ phương trình.

⦁ Thay \[x = 1,\,\,y = - 2\] vào hệ phương trình đã cho, ta được: \[\left\{ \begin{array}{l}1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right) = - 3 \ne 3\\2 \cdot 1 + \left( { - 2} \right) = 0 \ne 3\end{array} \right.\]

Do đó cặp số \[\left( {1; - 2} \right)\] không là nghiệm của hệ phương trình.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Giải phương trình:

\[\left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\]

\(x - 5 = 0\) hoặc \({x^2} + 1 = 0\) (vô nghiệm do \({x^2} + 1 > 0\) với mọi \(x)\)

\(x = 5.\)

Như vậy, phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Giải bất phương trình:

\[3x - 5 > 4x + 2\]

\[3x - 4x > 2 + 5\]

\[ - x > 7\]

          \[x < - 7.\]

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \[x < - 7.\]

Đáp án đúng là: D

Đáy của một hình trụ là hình tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với \[a > 1,\] thì \(a - 1 > 0\) nên \(\left| {a - 1} \right| = a - 1.\)

Khi đó, ta có: \[\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2}} + a + 1 = \left| {a - 1} \right| + a + 1 = a - 1 + a + 1 = 2a.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta thấy \(AE,\,\,BF\) có phương vuông góc với mặt đất, \(AB\) có phương song song với mặt đất, nên \(AEFB\) là hình chữ nhật. Do đó \(AB = EF = 50{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B,\) ta có \(BC = AB \cdot \tan \widehat {BAC} = 50 \cdot \tan 25^\circ {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(B,\) ta có \(BD = AB \cdot \tan \widehat {BAD} = 50 \cdot \tan 37^\circ {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Khi đó, \(CD = BD - BC = 50 \cdot \tan 37^\circ - 50 \cdot \tan 25^\circ = 50\left( {\tan 37^\circ - \tan 25^\circ } \right) \approx 14,4{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì parabol \[y = a{x^2}\] đi qua điểm \[A\left( {2;2} \right)\] nên ta có \(2 = a \cdot {2^2},\) suy ra \(a = \frac{1}{2}.\)

Khi đó, ta có hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}.\)

⦁ Thay \(x = 1\) vào hàm số, ta được: \(y = \frac{1}{2} \cdot {1^2} = \frac{1}{2} \ne - \frac{1}{2}.\) Do đó điểm \[\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\] không thuộc parabol.

⦁ Thay \(x = - 2\) vào hàm số, ta được: \(y = \frac{1}{2} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} = 2 \ne 1.\) Do đó điểm \[\left( { - 2;1} \right)\] không thuộc parabol.

⦁ Thay \(x = - 1\) vào hàm số, ta được: \(y = \frac{1}{2} \cdot {\left( { - 1} \right)^2} = \frac{1}{2}.\) Do đó điểm \[\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\] thuộc parabol.

⦁ Thay \(x = 4\) vào hàm số, ta được: \(y = \frac{1}{2} \cdot {4^2} = 8 \ne 4.\) Do đó điểm \[\left( {4;4} \right)\] không thuộc parabol.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Bán kính đường tròn trong là: \(\frac{{122}}{2} = 61{\rm{\;(mm)}}{\rm{.}}\)

Bán kính đường tròn ngoài là: \(\frac{{200}}{2} = 100{\rm{\;(mm)}}{\rm{.}}\)

Diện tích hình vành khuyên là: \(\pi \left( {{{100}^2} - {{61}^2}} \right) = 6\,\,279\pi {\rm{\;(m}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Đáp án đúng là: B

Tần số tương đối của số vận động viên có độ dài cú nhảy ba bước nhỏ hơn 12 m là: \(\frac{{18 + 10}}{{40}} \cdot 100\% = 70\% .\)

Đáp án đúng là: D

Theo kế hoạch, số áo phải dệt là: \(30x\) (áo).

Theo thực tế, số ngày làm việc là \(x - 3\) (ngày) và số áo dệt được là \(40\left( {x - 3} \right)\) (áo).

Theo bài, thực tế dệt được nhiều hơn 20 áo so với kế hoạch đã đề ra nên ta có phương trình:

\(30x = 40\left( {x - 3} \right) - 20.\)

Đáp án đúng là: C

Không gian mẫu là: \(\Omega = \){(đỏ, đỏ); (đỏ, vàng); (đỏ, xanh); (vàng, xanh)}.

Không gian mẫu có 4 phần tử.

Chỉ có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố “Hai viên bi lấy ra cùng màu” là (đỏ, đỏ).

Vậy xác suất của biến cố “Hai viên bi lấy ra cùng màu” là \(\frac{1}{4}.\)

Đáp án đúng là: B

Nửa chu vi đáy là: \(\frac{{62,8}}{2} = 31,4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Diện tích giấy để làm nên chiếc mũ đó là: \(S = 31,4 \cdot 30 = 942{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Với \[x \ge 0,\,\,x \ne 1,\] ta có:

\[P = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{2\sqrt x + 4 - \sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x + 2}}.\]

Vậy với \[x \ge 0,\,\,x \ne 1\] thì \[P = \frac{1}{{\sqrt x + 2}}.\]

\[3{x^2} - x - 2 = 0\]

Phương trình trên có \(a + b + c = 3 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\) nên phương trình này có hai nghiệm là \({x_1} = 1,\,\,{x_2} = \frac{{ - 2}}{3}.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 1,\,\,x = \frac{{ - 2}}{3}.\)

Xét phương trình \[{x^2} - mx + 3 - m = 0\]

Phương trình trên có \(\Delta = {\left( { - m} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {3 - m} \right) = {m^2} - 12 + 4m.\)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0,\) tức là \({m^2} + 4m - 12 > 0.\)

Giải bất phương trình:

\({m^2} + 4m - 12 > 0\)

\({m^2} - 2m + 6m - 12 > 0\)

\(m\left( {m - 2} \right) + 6\left( {m - 2} \right) > 0\)

\(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 6} \right) > 0\)

⦁ Trường hợp 1: \(m - 2 > 0\) và \(m + 6 > 0\)

\(m > 2\) và \(m > - 6\)

\(m > 2.\)

⦁ Trường hợp 2: \(m - 2 < 0\) và \(m + 6 < 0\)

\(m < 2\) và \(m < - 6\)

\(m < - 6.\)

Như vậy, để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \(m > 2\) hoặc \(m < - 6.\)

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = m;\,\,{x_1}{x_2} = 3 - m.\)

Ta có: \[x_1^2 + x_2^2 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8\]

 \[x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8\]

 \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8\)

 \({m^2} - 2 \cdot \left( {3 - m} \right) + 3 \cdot m = 8\)

 \({m^2} - 6 + 2m + 3m = 8\)

 \({m^2} + 5m - 14 = 0\)

 \({m^2} - 2m + 7m - 14 = 0\)

 \(m\left( {m - 2} \right) + 7\left( {m - 2} \right) = 0\)

 \(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 7} \right) = 0\)

 \(m - 2 = 0\) hoặc \(m + 7 = 0\)

 \(m = 2\) (loại) hoặc \(m = - 7\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = - 7.\)

Kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H.\)

Xét \[\Delta ABH\] vuông tại \(H,\) ta có:

Gọi vận tốc của xe máy là \(x\) (km/h) \(\left( {x > 0} \right).\)

Vận tốc của ô tô là: \(x + 20\) (km/h).

Thời gian xe máy đi hết quãng đường \(AB\) là \(\frac{{60}}{x}\) (giờ).

Thời gian ô tô đi hết quãng đường \(AB\) là \(\frac{{60}}{{x + 20}}\) (giờ).

Vì ô tô đến nơi sớm hơn \[30\] phút (30 phút \( = \frac{1}{2}\) giờ) so với xe máy, nên ta có phương trình:

\(\frac{{60}}{x} - \frac{{60}}{{x + 20}} = \frac{1}{2}.\)

Giải phương trình:

\(\frac{{60}}{x} - \frac{{60}}{{x + 20}} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 20}} = \frac{1}{{120}}\)

\(\frac{{x + 20 - x}}{{x\left( {x + 20} \right)}} = \frac{1}{{120}}\)

\(\frac{{20}}{{x\left( {x + 20} \right)}} = \frac{1}{{120}}\)

\(x\left( {x + 20} \right) = 20 \cdot 120\)

\({x^2} + 20x - 2\,\,400 = 0\)

\({x^2} - 40x + 60x - 2\,\,400 = 0\)

\(x\left( {x - 40} \right) + 60\left( {x - 40} \right) = 0\)

\(\left( {x - 40} \right)\left( {x + 60} \right) = 0\)

\(x - 40 = 0\) hoặc \(x + 60 = 0\)

\(x = 40\) (thỏa mãn) hoặc \(x = - 60\) (loại).

Do đó vận tốc của xe máy là \(40\) km/h.

Vậy vận tốc của ô tô là \(40 + 20 = 60\) (km/h).

Do \(\Delta BCE\) vuông tại \(E\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là trung điểm của \(BC.\)

Do \(\Delta BCF\) vuông tại \(F\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là trung điểm của \(BC.\)

Như vậy đường tròn đường kính \(BC\) đi qua các điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,F.\)

Vậy tứ giác \[BCEF\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC.\]

Chứng minh tương tự câu 1), ta có tứ giác \(AEHF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH.\)

Suy ra \(\widehat {FAH} = \widehat {FEH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(FH).\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {BAK} = \widehat {BMK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BK)\)

Suy ra \(\widehat {NEB} = \widehat {EMB}\).

Xét \(\Delta BNE\) và \(\Delta BEM\) có:

\(\widehat {MBE}\) là góc chung và \(\widehat {NEB} = \widehat {EMB}\)

Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{BN}}{{BE}} = \frac{{BE}}{{BM}}\) hay \[BM \cdot BN = B{E^2}.\] (1)

Kẻ \(EP \bot AB.\)

Xét \(\Delta BEP\) và \(\Delta BAE\) có:

\(\widehat {BPE} = \widehat {BEA} = 90^\circ \) và \(\widehat {ABE}\) là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BE}}\) hay \(B{E^2} = BA \cdot BP.\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BM \cdot BN = BA \cdot BP\) nên \(\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BN}}.\)

Xét \(\Delta BPN\) và \(\Delta BMA\) có:

\(\widehat {ABM}\) là góc chung và \(\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BN}}.\)

Do đó  (c.g.c). Suy ra \(\widehat {BPN} = \widehat {BMA}\) (hai góc tương ứng). (3)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {BMA} = \widehat {BCA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BA).\) (4)

Mặt khác, \(\widehat {BCE} + \widehat {BFE} = 180^\circ \) (hai góc đối nhau của tứ giác \(BCEF\) nội tiếp).

Mà \(\widehat {AFE} + \widehat {BFE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {BCE} = \widehat {AFE}\) hay \(\widehat {BCA} = \widehat {AFE}.\) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra \(\widehat {BPN} = \widehat {AFE}.\)

Xét \(\Delta NPF\) có \(\widehat {FPN} = \widehat {PFN}\) nên \(\Delta NPF\) cân tại \(N,\) suy ra \(NF = NP.\) (6)

Ta có \(\widehat {FPN} + \widehat {NPE} = \widehat {FPE} = 90^\circ \) và \(\widehat {PFN} + \widehat {PEN} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn trong \(\Delta PEF\) vuông tại \(P)\)

Suy ra \(\widehat {NPE} = \widehat {NEP},\) do đó \(\Delta NPE\) cân tại \(N,\) nên \(NE = NP.\) (7)

Từ (6) và (7) suy ra \(NF = NE\) hay \(N\) là trung điểm của \(EF.\)

Gọi \(x\) (giây) là thời gian di chuyển của mỗi người \(\left( {0 < x < 500} \right).\)

Quãng đường người thứ nhất đi được là: \(BE = 2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Quãng đường người thứ hai đi được là: \(AD = 1,5x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Ta có \(AE = AB - BE = 1\,\,000 - 2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta ADE\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pythagore, ta có:

\(D{E^2} = A{D^2} + A{E^2} = {\left( {1,5x} \right)^2} + {\left( {1\,\,000 - 2x} \right)^2} = 2,25{x^2} + 4{x^2} - 4\,\,000x + 1\,\,000\,\,000\)

 \( = 6,25{x^2} - 4\,\,000x + 1\,\,000\,\,000 = 6,25\left( {{x^2} - 640x + 102\,\,400} \right) + 360\,\,000\)

 \( = 6,25{\left( {x - 320} \right)^2} + 360\,\,000.\)

Ta có: \({\left( {x - 320} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \(6,25{\left( {x - 320} \right)^2} + 360\,\,000 \ge 360\,\,000.\)

Do đó \(D{E^2} \ge 360\,\,000\) nên \(DE \ge 600\)

Dấu “=” xảy ra khi \[{\left( {x - 320} \right)^2} = 0\] hay \(x = 320.\)

Vậy sau \[320\] giây thì khoảng cách giữa hai người là nhỏ nhất.