Ta có \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3 - {2^{1 - x}}} \right) + x < 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - {2^{1 - x}} > 0}\\{{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {3 - {2^{1 - x}}} \right) <  - x}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - \frac{2}{{{2^x}}} > 0}\\{3 - {2^{1 - x}} > {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{ - x}}}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 \cdot {2^x} - 2 > 0}\\{3 - \frac{2}{{{2^x}}} > {2^x}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^x} > \frac{2}{3}}\\{{{\left( {{2^x}} \right)}^2} - 3 \cdot {2^x} + 2 < 0}\end{array} \Leftrightarrow 1 < {2^x} < 2 \Leftrightarrow 0 < x < 1} \right.} \right..\)

Ta có \({\log _c}\left( {{a^2}b} \right) = \frac{{{{\log }_b}\left( {{a^2}b} \right)}}{{{{\log }_b}c}} = \frac{{{{\log }_b}{a^2} + {{\log }_b}b}}{3} = \frac{{2 \cdot \frac{1}{{{{\log }_a}b}} + 1}}{3} = \frac{{2 \cdot \frac{1}{2} + 1}}{3} = \frac{2}{3}.\) Chọn D.

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số là \[\overline {abc} \,\,\left( {0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 9,\,\,a \ne 0} \right).\]

Suy ra số phần tử của \(S\) là: \(9 \cdot 10 \cdot 10 = 900\) (phần tử).

Chọn ngẫu nhiên một số từ \(S\) nên \(n\left( \Omega  \right) = 900.\)

Gọi \(A\) là biến cố: “Số được chọn thỏa mãn \(a \le b \le c\)”.

• TH1: \(a < b < c.\)

Chọn 3 số từ 1 đến 9, có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải nên TH này có \(C_9^3\) số thoả mãn.

• TH2: \(a = b < c\) có \(C_9^2\) số thoả mãn.

• TH3: \(a < b = c\) có \(C_9^2\) số thoả mãn.

• TH4: \(a = b = c\) có 9 số thoả mãn.

\[ \Rightarrow n\left( A \right) = C_9^3 + 2 \cdot C_9^2 + 9 = 165.\] Do đó \(P(A) = \frac{{{n_A}}}{{{n_\Omega }}} = \frac{{165}}{{900}} = \frac{{11}}{{60}} \approx 0,18.\)

Đáp án cần nhập là: \(0,18\).

Độ pH là \(pH =  - \log {10^{ - 5,5}} = 5,5.\) Chọn C.

Ta có \(3\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) - m + 5 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{m - 5}}{3}.\)

Điều kiện để phương trình có nghiệm: \( - 1 \le \frac{{m - 5}}{3} \le 1 \Leftrightarrow 2 \le m \le 8.\)

Do \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ {2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8} \right\}.\)

Vậy có 7 số nguyên \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.

Vì \(a\)là số nguyên dương \[ \Rightarrow a \ge 1\,;\,\,b \in \mathbb{Z}.\]

Ta có \(\left( {{3^b} - 3} \right)\left( {a \cdot {2^b} - 16} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 1}\\{b = {{\log }_2}\left( {\frac{{16}}{a}} \right)}\end{array}} \right.\).

• TH1: \({\log _2}\left( {\frac{{16}}{a}} \right) > 1 \Leftrightarrow \frac{{16}}{a} > 2 \Leftrightarrow 0 < a < 8.\) Để với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thì

\(3 < {\log _2}\left( {\frac{{16}}{a}} \right) \le 4 \Leftrightarrow 9 < \frac{{16}}{a} \le 16 \Leftrightarrow 1 \le a < \frac{{16}}{9}\) \( \Rightarrow \) có 1 giá trị thoả mãn là \(a = 1.\)

• TH2: \({\log _2}\left( {\frac{{16}}{a}} \right) < 1 \Leftrightarrow \frac{{16}}{a} < 2 \Leftrightarrow a > 8.\) Để với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thì

\( - 2 \le {\log _2}\left( {\frac{{16}}{a}} \right) <  - 1 \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le \frac{{16}}{a} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 32 < a \le 64 \Rightarrow a \in \left\{ {33\,;\,\,34\,;\,\, \ldots ;\,\,64} \right\}.\)

Suy ra có 32 giá trị \(a\) thoả mãn.

Kết hợp 2 trường hợp, suy ra có tất cả 33 số thoả mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần nhập là: 33.

Gọi \(t\,\,\left( \%  \right)\) là tỉ lệ tăng trưởng mỗi năm. Trung bình mỗi năm dân số của tỉnh Bình Dương tăng: \(1\,\,691\,\,400{\left( {1 + t} \right)^4} = 1\,\,802\,\,500 \Leftrightarrow t \approx 1,6\% \). Chọn A.

Gọi \(H\) là trung điểm của \[AB.\]

Từ giả thiết, suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Từ \(H\) kẻ \(HO \bot BD\) tại \(O\), kẻ \(HI \bot SO\) tại I.

Suy ra \[HI \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {H,\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = HI.\]

Ta có \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Gọi \[H,\,\,I\] lần lượt là trung điểm của \[AB,\,\,CD,\] kẻ \(HK \bot SI\) tại \[K.\]

Vì tam giác \[SAB\] cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot HI}\\{CD \bot SH}\end{array} \Rightarrow CD \bot \left( {SIH} \right)} \right.\)\( \Rightarrow CD \bot HK \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {ABB'A'} \right).\)

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(D\) lên \(A'B\,,\,\,O\) là tâm của hình vuông \(ABCD.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DA \bot \left( {ABB'A'} \right)\\\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {A'BD} \right) = A'B\end{array} \right. \Rightarrow \alpha  = \widehat {DIA}.\)

Theo bài ra ta có \(\frac{1}{{1 + 49{e^{ - 0,015n}}}} > 0,5\)\( \Leftrightarrow 1 + 49{e^{ - 0,015n}} < 2\)

\( \Leftrightarrow {e^{ - 0,015n}} < \frac{1}{{49}}\)\( \Leftrightarrow  - 0,015n < \ln \frac{1}{{49}}\)\( \Leftrightarrow n >  - \frac{1}{{0,015}}\ln \frac{1}{{49}} \approx 259,45\).

Vậy ít nhất 260 lần quảng cáo.

Đáp án cần nhập là: 260.

Gọi \[P\] là trung điểm của \[AB.\]

Khi đó \[NP\] là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{NP\,{\rm{//}}\,AC}\\{NP = \frac{1}{2}AC}\end{array}} \right..\)

Do \(NP\,{\rm{//}}\,AC\) nên \(\left( {MN,\,\,AC} \right) = \left( {MN,\,\,NP} \right) = \widehat {MNP}.\)

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = C_{10}^2 = 45\).

Gọi \(A\) là biến cố: “Rút ngẫu nhiên 2 thẻ mà tích 2 số ghi trên thẻ là một số chẵn”.

Ta có \(n\left( A \right) = C_5^2 + C_5^1 \cdot C_5^1 = 35\). Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{35}}{{45}} = \frac{7}{9}\). Chọn A.

Ta có \(f'\left( x \right) = 3 - \sin x > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Chọn B.

Ta có \(y = \frac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x + \cos x + 3}} \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\sin x + \left( {y + 1} \right)\cos x =  - 3y\)

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \ge {\left( { - 3y} \right)^2} \Leftrightarrow 7{y^2} \le 2 \Leftrightarrow  - \sqrt {\frac{2}{7}}  \le y \le \sqrt {\frac{2}{7}} \)

 Vậy hàm số đã cho có 1 giá trị nguyên. Chọn B.

Biểu thức vận tốc của chuyển động là

\(v\left( t \right) = s'\left( t \right) =  - 3{t^2} + 12t =  - 3\left( {{t^2} - 4t + 4} \right) + 12 =  - 3{\left( {t - 2} \right)^2} + 12 \le 12\)

Vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng \(12\) khi \(t = 2\).

Đáp án cần nhập là: 2.

Nhóm có tần số lớn nhất là \(\left[ {40;60} \right)\). Khi đó, \({M_0} = 40 + \frac{3}{{3 + 2}} \cdot 20 = 52\). Chọn C.

Ta có \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}.\)

Vì đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {0\,;\,\,1} \right)\) suy ra \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow \frac{b}{d} = 1 \Leftrightarrow b = d\).  (1)

Dựa vào đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( 0 \right) = 3}\\{x =  - \frac{d}{c} = 1}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{ad - bc}}{{{d^2}}} = 3}\\{d =  - c}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{ - ac - bc}}{{{c^2}}} = 3\;\left( 2 \right)}\\{d =  - c}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Thay (1) vào (2), ta được \(\frac{{ - ac + {c^2}}}{{{c^2}}} = 3 \Rightarrow \frac{{ - a + c}}{c} = 3 \Rightarrow  - a = 2c \Rightarrow a =  - 2c.\)

Vậy \(f\left( { - 2} \right) = \frac{{ - 2a + b}}{{ - 2c + d}} = \frac{{ - 2 \cdot \left( { - 2c} \right) + d}}{{ - 2c - c}} = \frac{{4c - c}}{{ - 3c}} =  - 1.\) Chọn A.

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 - 3x} }} \Rightarrow \int {f'\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = \int {\frac{1}{{\sqrt {1 - 3x} }}} \;{\rm{d}}x \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - \frac{2}{3}\sqrt {1 - 3x}  + {C_1}.\)

Mà \[f\left( { - 1} \right) = \frac{2}{3} \Leftrightarrow  - \frac{2}{3}\sqrt {1 - 3 \cdot \left( { - 1} \right)}  + {C_1} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow {C_1} = 2.\] Khi đó \(f\left( x \right) =  - \frac{2}{3}\sqrt {1 - 3x}  + 2.\)

Lại có \(F\left( x \right) = \int f \left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( { - \frac{2}{3}\sqrt {1 - 3x}  + 2} \right)} \,{\rm{d}}x\)

\( = \int {\left[ { - \frac{2}{3}{{\left( {1 - 3x} \right)}^{\frac{1}{2}}} + 2} \right]} \,{\rm{d}}x = \frac{4}{{27}}{\left( {1 - 3x} \right)^{\frac{3}{2}}} + 2x + {C_2}{\rm{.}}\)

Mà \(F\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{4}{{27}}{\left( {1 + 3} \right)^{\frac{3}{2}}} - 2 + {C_2} = 0 \Leftrightarrow {C_2} = \frac{{22}}{{27}}.\)

Vậy \(F\left( x \right) = \frac{4}{{27}}{\left( {1 - 3x} \right)^{\frac{3}{2}}} + 2x + \frac{{22}}{{27}} \Leftrightarrow F\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{4}{3}.\) Chọn D.

Tốc độ thay đổi số tiền đầu tư của ông An vào năm thứ \(t\) là \(f'\left( t \right) = \frac{{12\,\,000}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}}\).

Suy ra nguyên hàm của \(f'\left( t \right)\) là hàm số \(f\left( t \right)\) mô tả số tiền mà ông An thu về vào năm thứ \[t.\]

Ta có \(f\left( t \right) = \int {f'\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int {\frac{{12\,\,000}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}}} \;{\rm{d}}t =  - \frac{{12\,\,000}}{{t + 5}} + C.\)

Số tiền vốn ban đầu là 200 triệu đồng nên \(f(0) = 200 \Leftrightarrow  - \frac{{12\,\,000}}{{0 + 5}} + C = 200 \Leftrightarrow C = 2\,\,600.\)

Vậy số tiền mà ông An thu về tính đến đầu tháng 5 năm 2023 là:

\(f\left( {48} \right) =  - \frac{{12\,\,000}}{{48 + 5}} + 2\,\,600 \approx 2\,\,373,5\) (triệu đồng). Chọn C.

Gọi \(I\) là điểm thoả mãn \(\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  - 2\overrightarrow {IC}  = \vec 0 \Rightarrow I\left( { - 1\,;\,\, - 5\,;\,\,4} \right).\)

Khi đó \(T = M{A^2} + 3M{B^2} - 2M{C^2} = 2M{I^2} + I{A^2} + 3I{B^2} - 2I{C^2}\)

\( \Rightarrow {T_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }} \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Khi đó đường thẳng MI đi qua \(I\left( { - 1\,;\,\, - 5\,;\,\,4} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên nhận vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1\,;\,\,1\,;\,\, - 3} \right)\) của \(\left( P \right)\) làm vectơ chỉ phương. Ta có phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + t}\\{y =  - 5 + t}\\{z = 4 - 3t}\end{array}\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)} \right..\)

Mặt khác \(M = IM \cap \left( P \right)\) nên toạ độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình sau:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + t}\\{y =  - 5 + t}\\{z = 4 - 3t}\\{x + y - 3z + 7 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{x = 0}\\{y =  - 4}\\{z = 1}\end{array} \Rightarrow M\left( {0\,;\,\, - 4\,;\,\,1} \right) \Rightarrow T =  - 14.} \right.} \right.\)

Đáp án cần nhập là: −14.

Ta có \[AB = 3\,;\,\,h = d\left( {C\,,\,\,AB} \right) = \frac{{\sqrt {162} }}{3}\].

\({S_{ABCD}} = \frac{h}{2}\left( {AB + CD} \right) \Leftrightarrow 6\sqrt 2  = \frac{{\sqrt {162} }}{6}\left( {3 + CD} \right) \Leftrightarrow CD = 1.{\rm{ }}\)

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  = 3\overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow D\left( {\frac{{17}}{3};\,\,\frac{5}{3};\,\,\frac{2}{3}} \right) \Rightarrow a + b + c = 8\). Chọn C.

Gọi \(M\left( {0\,;\,\,y\,;\,\,0} \right) \in Oy:\overrightarrow {AM}  = \left( { - 1\,;\,\,y - 1\,;\,\, - 1} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1\,;\,\,2\,;\,\,1} \right)\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\) cắt trục \[Oy\] tại \(M\).

Do \(\Delta  \bot d\) nên \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {{u_d}}  = 0 \Leftrightarrow  - 1 + 2\left( {y - 1} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 2\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\,1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\).

Mà điểm \(N\left( { - 1\,;\,\,3\,;\,\, - 1} \right) \in \Delta \) nên đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + t}\\{y = 3 - t}\\{z =  - 1 + t}\end{array}} \right.\). Chọn C.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4\,;\,\, - 2\,;\,\,4} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,2} \right).\)

Do đó \(AB \bot \left( P \right)\).

Giả sử mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0.\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm A, B nên ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9 + 1 + 1 + 6a - 2b - 2c + d = 0}\\{1 + 1 + 25 - 2a + 2b - 10c + d = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6a - 2b - 2c + d =  - 11}\\{2a - 2b + 10c - d = 27}\end{array}} \right.} \right.\).

Gọi chiều rộng đáy bể là \(x\,\,(m),\,\,\left( {x > 0} \right)\).

Chiều dài đáy bể là 2x. Chiều cao của bể là \(h\,\,(m),\,\,(h > 0).\)

Theo đề bài ta có, \(V = 2{x^2} \cdot h = 288 \Rightarrow h = \frac{{144}}{{{x^2}}}.\)

Tổng diện tích bể là \(S = 2{x^2} + 6xh = 2{x^2} + 6x \cdot \frac{{144}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{864}}{x}\).

Có \(S' = 4x - \frac{{864}}{{{x^2}}}\)\( \Leftrightarrow S' = 0 \Leftrightarrow 4x - \frac{{864}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 6\).

Lập bảng biến thiên

Do đó \({S_{\min }} = 216\;\,{{\rm{m}}^2}.\)

Vậy ông A trả chi phí thấp nhất là \(216 \cdot 500\,\,000 = 108\) (triệu đồng). Chọn D.

• TH1: Với \(x < 1\) suy ra \(f\left( x \right) = 2\left( {1 - x} \right) = 2 - 2x\).

Khi đó \(F\left( x \right) = \int {\left( {2 - 2x} \right)\,} dx = 2x - {x^2} + {c_1}\).

• TH2: Với \(x \ge 1\) suy ra \(f\left( x \right) = 2\left( {x - 1} \right) = 2x - 2\).

Khi đó \(F(x) = \int {\left( {2x - 2} \right)\,} dx = {x^2} - 2x + {c_2}\).

Ta có \(F\left( 0 \right) = 2.0 - {0^2} + {c_1} = {c_1}\); \(F\left( 2 \right) = {2^2} - 2 \cdot 2 + {c_2} = {c_2}\).

Suy ra \(F\left( 2 \right) + F\left( 0 \right) = {c_1} + {c_2} = 5\).

Lại có \(F\left( 3 \right) = {3^2} - 2 \cdot 3 + {c_2} = 3 + {c_2}\); \(F\left( { - 2} \right) =  - 2 \cdot 2 - {\left( { - 2} \right)^2} + {c_1} = {c_1} - 8\).

Vậy \(P = F\left( 3 \right) + F\left( { - 2} \right) = 3 + {c_2} + {c_1} - 8 = 3 + 5 - 8 = 0\). Chọn B.

Để đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận đứng thì phương trình \({x^2} - 2mx + 3m + 10 = 0\) có hai nghiệm thoả mãn \({x_1},\,\,{x_2}\) phân biệt và hai nghiệm khác 1.

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\1 - 2m + 3m + 10 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m - 10 > 0\\m \ne  - 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m <  - 2}\\{m > 5}\end{array}} \right.}\\{m \ne  - 11}\end{array}} \right.\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\,,\,\,m \in \left[ { - 25\,;\,\,25} \right]\) nên có 42 giá trị nguyên \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Ta có \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2f'\left( {2x} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow f'\left( {2x} \right) = 2\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 0\\2x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\).

Trong đó x = 0 là nghiệm kép.

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) là \(g\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) - 4\). Chọn C.

Parabol có dạng \(\left( P \right):y = a{x^2}\).

\(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( { - \,4\,;\,\,10} \right)\), ta có \(10 = a \cdot {4^2} \Leftrightarrow a = \frac{{10}}{{16}} = \frac{5}{8}\).

Suy ra parabol có phương trình \(y = \frac{5}{8}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{8}{5}y.\)

Thể tích tối đa của cốc là \(V = \pi \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{8}{5}y} \right)} \,{\rm{d}}y \approx 251\,\,\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Đáp án cần nhập là: 251.

Ta có \(\left( P \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow x + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0\).

Vì \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên \(1 \cdot 0 + \frac{1}{b} \cdot 1 + \frac{1}{c} \cdot \left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow b = c\).

Lại có \[d\left( {O\,,\,\left( P \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow 1 + \frac{2}{{{b^2}}} = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \frac{1}{2} = c}\\{b =  - \frac{1}{2} = c}\end{array}} \right.\].

Suy ra \(4bc = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 1\). Chọn A.

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\) Ta có \(y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0}\,;\,\,\frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 1}}} \right)\) là

\(y = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 1}}.\)

Tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {0\,;\,\,a} \right)\) nên \(a = \frac{{3{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{{\left( {{x_0} + 2} \right)}}{{\left( {{x_0} - 1} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} \ne 1}\\{3{x_0} + \left( {{x_0} + 2} \right)\left( {{x_0} - 1} \right) = a{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} \ne 1}\\{\left( {a - 1} \right)x_0^2 - 2\left( {a + 2} \right){x_0} + a + 2 = 0\;\left( 1 \right)}\end{array}} \right.} \right.\).

Để từ điểm \(A\) kẻ được 2 tiếp tuyến đến \(\left( C \right)\) thì \((1)\) có hai nghiệm phân biệt khác 1 nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - 1 \ne 0}\\{\Delta ' > 0}\\{\left( {a - 1} \right) - 2\left( {a + 2} \right) + a + 2 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 1}\\{{{\left( {a + 2} \right)}^2} - \left( {a - 1} \right)\left( {a + 2} \right) > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 1}\\{a >  - 2}\end{array}\,\,(*).} \right.} \right.} \right.\)

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là các nghiệm của phương trình (1).

Theo định lí Viet, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {a + 2} \right)}}{{a - 1}}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{a + 2}}{{a - 1}}}\end{array}} \right.\).

Hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi \(y\left( {{x_1}} \right) \cdot y\left( {{x_2}} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right)}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{9a + 6}}{{ - 3}} < 0 \Leftrightarrow a >  - \frac{2}{3}{\rm{. }}\)

Kết hợp với điều kiện \((*)\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a >  - \frac{2}{3}}\\{a \ne 1}\end{array}} \right.\).

Mà \[a \in \left[ { - 2018\,;\,\,2018} \right],\,\,a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \left\{ {0\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\, \ldots ;\,\,2018} \right\}.\]

Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của \(a\) thoả mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần nhập là: 2018.

Ta có \(g'\left( x \right) = \frac{{{{\left[ {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + m} \right]}^\prime } \cdot \left[ {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + m} \right]}}{{\left| {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + m} \right|}}\).

Suy ra \[g'\left( x \right) = \frac{{f'\left( x \right) \cdot \left[ {2f\left( x \right) + 1} \right] \cdot \left[ {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + m} \right]}}{{\left| {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + m} \right|}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( x \right) = 0}\\{2f\left( x \right) + 1 = 0}\\{{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + m = 0\;\left( * \right)}\end{array}} \right..\]

Dễ thấy \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm là \(x = 1\,;\,\,x = 3.\)

Và \[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{6} - {x^2} + \frac{3}{2}x + C\] mà \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0.\)

Do đó phương trình \(2f\left( x \right) + 1 = \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất.

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow (*)\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  = 1 - 4m \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{4}.\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left( { - 2021\,;\,\,2022} \right)\) suy ra \(m \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\, \ldots ;\,\,2021} \right\}.\) Chọn C.

 Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{360 - 10n > 0}\\{n \in {\mathbb{N}^*}}\end{array} \Leftrightarrow 0 < n < 36} \right..\)

Trọng lượng cá trên một đơn vị diện tích là:

\(T = \left( {360 - 10n} \right)n =  - 10{n^2} + 360n =  - 10{\left( {n - 18} \right)^2} + 3\,\,240 \Rightarrow T \le 3\,\,240.{\rm{ }}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(n = 18\) (nhận). Do đó \({T_{\max }} = 3\,\,240 \Leftrightarrow n = 18.\) Vậy cần thả 18 con cá trên một đơn vị diện tích để trọng lượng cá sau một vụ thu được nhiều nhất.

Đáp án cần nhập là: 18.

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính R có dạng:

\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\). Chọn D.

Gọi A là biến cố: “Người đó tiêm phòng vắc xin phòng bệnh B”.

B là biến cố: “Người đó mắc bệnh B”.

Theo đề ta có: \(P\left( A \right) = 0,7;P\left( {B|A} \right) = 0,03;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,15\).

Cần tính \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}}\)\( = \frac{{0,3 \cdot 0,15}}{{0,7 \cdot 0,03 + 0,3 \cdot 0,15}} = \frac{{15}}{{22}} \approx 0,68\).

Đáp án cần nhập là: \(0,68\).

Khi dừng hẳn thì \[v\left( t \right) =  - 3t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = 5\].

Từ lúc hãm phanh đến khi dừng lại, xe di chuyển được:

\[s = \int\limits_0^5 {v\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int\limits_0^5 {\left( { - 3t + 15} \right){\rm{d}}t}  = \left. {\left( { - \frac{3}{2}{t^2} + 15t} \right)} \right|_0^5 = 37,5\,{\rm{m}}\]. Chọn C.

Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{20}}\) là số viên kẹo của loại kẹo thứ 1, 2, …, 20 với \({x_i} \ge 2\).

Số cặp học sinh có cùng loại kẹo \({x_i}\) là \(C_{{x_i}}^2 = \frac{{{x_i}\left( {{x_i} - 1} \right)}}{2}\).

Tổng các số M được viết lên bảng là: \(M = \sum\limits_{i = 1}^{20} {\frac{{{x_i}\left( {{x_i} - 1} \right)}}{2}} \) trong đó \(\sum\limits_{i = 1}^{20} {{x_i} = 2020} \).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\(M = \sum\limits_{i = 1}^{20} {\frac{{{x_i}\left( {{x_i} - 1} \right)}}{2}}  = \sum\limits_{i = 1}^{20} {\frac{{x_i^2}}{2}}  - \sum\limits_{i = 1}^{20} {\frac{{{x_i}}}{2}} \)\( \ge \frac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^{20} {{x_i}} } \right)}^2}}}{{2 \cdot 20}} - \sum\limits_{i = 1}^{20} {\frac{{{x_i}}}{2}}  = \frac{{{{2020}^2}}}{{2 \cdot 20}} - \frac{{2020}}{2} = 101000\).

Dấu “=” xảy ra khi \({x_i} = 101,\forall i = 1;2;...;20\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 101000.

Đáp án cần nhập là: 101000.

Từ đồ thị suy ra đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là \[x =  - 1\]. Chọn B.

Ta có: \(\int {{{\left( {0,01} \right)}^x}dx = \frac{{{{\left( {0,01} \right)}^x}}}{{\ln \,0,01}}}  + C = \frac{{{{\left( {0,01} \right)}^x}}}{{\ln \,{{10}^{ - 2}}}} + C = \, - \,\frac{{{{\left( {0,01} \right)}^x}}}{{2\ln \,10}} + C.\)

Suy ra \(a = 10\,,\,\,b = 0,01\). Vậy \(\frac{a}{b} = 1000.\)

Đáp án cần nhập là: 1000.

Ta có \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = F\left( x \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3\\1\end{array} = F\left( 3 \right)} \right. - F\left( 1 \right) = 6 - 9 =  - 3\). Chọn A.

Ta có bảng sau :

Số trung bình: \(\bar x = \frac{{4 \cdot 9 + 6 \cdot 11 + 8 \cdot 13 + 4 \cdot 15 + 3 \cdot 17}}{{25}} = 12,68\).

Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {\frac{{4 \cdot {9^2} + 6 \cdot {{11}^2} + 8 \cdot {{13}^2} + 4 \cdot {{15}^2} + 3 \cdot {{17}^2}}}{{25}} - {{12,68}^2}}  \approx 2,44\). Chọn C.

Xét các biến cố: 

\({A_1}\): “Sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi”. Khi đó, ta có: \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{3}{{200}}\); \(P\left( {\overline {{A_1}} } \right) = \frac{{197}}{{200}}\).

\({A_2}\): “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi”.

Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi thì \(P\left( {{A_2}\left| {{A_1}} \right.} \right) = \frac{2}{{199}}\), suy ra \(P\left( {\overline {{A_2}} \left| {{A_1}} \right.} \right) = \frac{{197}}{{199}}\).

Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi thì \(P\left( {{A_2}\left| {\overline {{A_1}} } \right.} \right) = \frac{3}{{199}}\), suy ra \(P\left( {\overline {{A_2}} \left| {\overline {{A_1}} } \right.} \right) = \frac{{196}}{{199}}\).

Khi đó, xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi là:

\(P\left( {{A_2}} \right) = P\left( {{A_2}\left| {{A_1}} \right.} \right) \cdot P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}\left| {\overline {{A_1}} } \right.} \right) \cdot P\left( {\overline {{A_1}} } \right)\)\( = \frac{2}{{199}} \cdot \frac{3}{{200}} + \frac{3}{{199}} \cdot \frac{{197}}{{200}} = \frac{3}{{200}} \approx 0,02\).

Đáp án cần nhập là: 0,02.