Đề thi cuối kì 1 Toán 11 THPT Trần Quốc Toản (Đắk Lắk) năm 2023-2024 (có đáp án)
38 câu hỏi
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Trong không gian, nếu một đường thẳng và mặt phẳng có điểm chung thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng.
Trong không gian, nếu một đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung thìđường thẳng đó song song với mặt phẳng.
Trong không gian, nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyếnthì ba giao tuyến đó phải đồng quy.
Trong không gian, nếu một đường thẳng song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng thì nó song song với mặt phẳng.
Chọn B
Cho các số thực \(a\), \(b\), \(c\) thỏa mãn \({c^2} + a = 18\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {a{x^2} + bx} - cx} \right) = - 2\). Tính \(P = a + b + 5c\)
\(P = 5\).
\(P = 18\)
\(P = 12\)
\(P = 9\)
Chọn C
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {a{x^2} + bx} - cx} \right) = - 2 \Rightarrow a - {c^2} = 0\)
Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{c^2} + a = 18\\a - {c^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\c = 9 \Rightarrow c = 3\end{array} \right.\)
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {a{x^2} + bx} - cx} \right) = - 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{bx}}{{\sqrt {9{x^2} + bx} + 3x}}} \right) = - 2 \Rightarrow \frac{b}{{\sqrt 9 + 3}} = - 2 \Leftrightarrow b = - 12\]
Khi đó \(P = a + b + 5c = 12\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)với \({u_1} = 4;\;q = - 4\). Viết 3 số hạng tiếp theo của cấp số nhân :
\(16\,;\; - 64\,;\;\,256\).
\( - 16\,;\;\;64\,;\; - 256\).
\( - 16\,;\; - 64\,;\;256\).
\(16\,;\; - 64\,;\; - 256\).
Chọn B
\[{u_2} = {u_1}q = - 16\,;\;{u_3} = {u_2}q = 64\,,{u_4} = {u_3}q = - 256\]
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC\) và \(ABD\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
\[{\rm{IJ}}\]song song với \(AB\).
\[{\rm{IJ}}\]cắt \(AB\).
\[{\rm{IJ}}\]chéo \(CD\).
\[{\rm{IJ}}\]song song với \(CD\).
Chọn D
Gọi \(I,J\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC\) và \(ABD\).
Khi đó: \(\frac{{MI}}{{MC}} = \frac{{MJ}}{{MD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow IJ//CD\)
Rút gọn biểu thức \[A = \frac{{1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{2{{\cos }^2}x + \cos x - 1}}\].
\(2\cos x - 1.\)
\(\cos x - 1.\)
\(2\cos x.\)
\(\cos x.\)
Chọn C
\[A = \frac{{1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{2{{\cos }^2}x + \cos x - 1}} = \frac{{\left( {1 + \cos 2x} \right) + \left( {\cos x + \cos 3x} \right)}}{{\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) + \cos x}}\]
\[ = \frac{{2{{\cos }^2}x + 2\cos 2x.\cos x}}{{\cos 2x + \cos x}} = 2\cos x\]
Cho tứ diện \(ABC{\rm{D}}\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(BC{\rm{D}}\). Giao điểm của \(\left( {AC{\rm{D}}} \right)\) và \(\left( {GAB} \right)\)là:
\(AH\)(với \(H\) là trung điểm của \(BC\)).
\(AK\)(với \(K\) là trung điểm của \(A{\rm{D}}\)).
\(AM\)(với \(M\) là trung điểm \(AB\)).
\(AN\)(với \(N\) là trung điểm \(C{\rm{D}}\)).
Chọn D
\(\left\{ \begin{array}{l}A \in \left( {AC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {GAB} \right)\\Trong\,\left( {BCD} \right),BG \cap CD = N\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {GAB} \right) = AN\)
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(BC{\rm{D}}\) và \(BG \cap CD = N\) nên \(N\) là trung điểm
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(d\)qua \(S\) và song song với \(BC\).
\(d\)qua \(S\) và song song với \(AB\).
\(d\)qua \(S\) và song song với \(BD\).
\(d\)qua \(S\) và song song với \(DC\).
Chọn A
\(\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\AD//BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sx//AD//BC\)
Cho hình chóp \[S.ABCD\]đáy là hình thang, \[AB//CD,\]\(AB = a;\)\(CD = 2a\), gọi \[I\]là giao điểm của \[AC\]và \[BD.\]Qua \[I\]kẻ đường thẳng song song \[CD\]cắt \[BC\]tại \[M.\]Trên cạnh \[SC\] lấy điểm \[N\]sao cho \(CN = 2NS\)(tham khảo hình vẽ).
Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\left( {IMN} \right)\,{\rm{//}}\,\left( {SBD} \right)\).
\(\left( {IMN} \right)\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)\).
\(\left( {IMN} \right)\,{\rm{//}}\,\left( {SAD} \right)\).
\(\left( {IMN} \right)\,{\rm{//}}\,\left( {SAC} \right)\).
Chọn B
Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
Thời gian (phút) | [9,5:12,5) | [12,5; 15,5) | \[\left[ {15,5;{\rm{ }}18,5} \right)\] | [18,5; 21,5) | [21,5; 24,5) |
Số học sinh | 3 | 12 | 15 | 24 | 2 |
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này bằng:
\(18,1\)
\(18,3\).
\(18,3\).
\(18\).
Chọn A
\(n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56\)
Gọi \[{x_1},{x_2},...{x_{56}}\] là thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của 56 học sinh theo thứ tự không giảm.
Khi đó trung vị thuộc \[\left[ {15,5;{\rm{ }}18,5} \right)\]
\[{M_e} = 15,5 + \frac{{\frac{{56}}{2} - \left( {3 + 12} \right)}}{{15}}.\left( {18,5 - 15,5} \right) = 18,1\]
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau?
Hình thang.
Hình chữ nhật.
Hình bình hành.
Hình thoi.
Chọn A
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x - 3}}\) liên tục tại
\({x_0} = 2.\)
\({x_0} = 3.\)
\({x_0} = 1.\)
\({x_0} = 0.\)
Chọn D
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1,2,3} \right\}\)Suy ra loại A, B, C
Cho hình chóp tứ giác \[S.ABCD\]. Gọi \[M\] và N lần lượt là trung điểm của \[SA\] và \[SC\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\[MN\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)\].
\[MN{\rm{//}}\,\left( {ABCD} \right)\].
\[MN\,{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\].
\[MN\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)\].
Chọn B
\[M\] và lần lượt là trung điểm của \[SA\] và \[SC\] nên \[MN{\rm{//}}\,AC \Rightarrow MN{\rm{//}}\,\left( {ABCD} \right)\]
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 9{n^2} - 1}}{{3{n^2} + 2n}}\)bằng
\(\frac{3}{7}.\)
\( - \frac{9}{2}.\)
\( - 3.\)
\(\frac{9}{7}.\)
Chọn C
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 9{n^2} - 1}}{{3{n^2} + 2n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 9 - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 + \frac{2}{n}}} = \frac{{ - 9}}{3}\]
Tìm giá trị của tham số \(m\) để hàm số f(x) = 2x+1 khi x < -2 -m khi x≥-2 liên tục tại x0 = - 2
\(m = - 3.\)
\(m = 5.\)
\(m = 3.\)
\(m = - 5.\)
Chọn C
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left( {2x + 1} \right) = - 3\]
\[f\left( { - 2} \right) = - m\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( { - m} \right) = - m\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) \Rightarrow - m = - 3 \Leftrightarrow m = 3\]
Cho các giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 3\), hỏi\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\) bằng
\(5\).
\(3\).
\(2\).
\( - 1\).
Chọn D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 2 - 3 = - 1\)
Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.
Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
Chọn A
Nghiệm của phương trình\(\sin \,x + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0\)là:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn C
\(\sin \,x + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0 \Leftrightarrow \sin \,x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Cho \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\({\rm{cot}}\,\alpha > 0\).
\({\rm{tan}}\,\alpha < 0\).
\({\rm{sin}}\,\alpha < 0\).
\({\rm{cos}}\,\alpha > 0\).
Chọn B
\(\alpha \)thuộc góc phần tư thứ II nên \(\sin \alpha < 0,co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha > 0 \Rightarrow {\rm{tan}}\,\alpha < 0\)
Cho hình hộp\[ABCD.A'B'C'D'\]. Mặt phẳng \[\left( {AB'D'} \right)\] song song với mặt phẳng nào trong
Các mặt phẳng sau đây? (tham khảo hình vẽ).
\[\left( {BDA'} \right)\].
\[\left( {A'C'C} \right)\].
\[\left( {BC'D} \right)\].
\[\left( {BCA'} \right)\].
Chọn C
Tính \(S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + ...\)
\(1.\)
\(\sqrt 2 .\)
\( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
\(0.\)
Chọn A
S là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = \frac{1}{2},q = \frac{1}{2} < 1\)
\( \Rightarrow S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1\)
Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
\({\rm{sin}}\left( {a - b} \right) = {\rm{sin}}a.{\rm{cos}}b - {\rm{cos}}a.{\rm{sin}}b\).
\({\rm{sin}}\left( {a + b} \right) = {\rm{sin}}a.\,{\rm{cos}}b - {\rm{cos}}a.\,{\rm{sin}}b\).
\({\rm{cos}}\left( {a - b} \right) = {\rm{cos}}a.{\rm{sin}}b + {\rm{sin}}a.{\rm{sin}}b\).
\({\rm{cos}}\left( {a + b} \right) = {\rm{cosa}}{\rm{.}}\,{\rm{cos}}b + {\rm{sin}}a.\,{\rm{sin}}b\).
Chọn A
Công thức nào sau đây là đúng với cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\), công bội \(q\) ?
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 + q}}\).
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 + {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{n - 1}}} \right)}}{{1 - q}}\)
Chọn B
Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\), công sai \(d\)?
\({u_n} = {u_n} + d\).
\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
\({u_n} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d\).
\({u_n} = {u_1} - \left( {n + 1} \right)d\).
Chọn B
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n} = - {n^2} + n + 1\) . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\({u_{n + 1}} = - {n^2} - n + 3\)
\({u_{n - 1}} - {u_n} = 6\)
Có 5 số hạng đầu là:\[1;-1;{\rm{ }}-5;{\rm{ }}-11;{\rm{ }}-19\]
Là một dãy số tăng.
Chọn C
Thay \[n\]lần lượt bởi \[1,2,3,4,5\] ta được 1;–1; –5; –11; –19
Cấp số cộng \[({u_{n)}})\]với số hạng đầu tiên \[{u_1}\]và công sai \(d\) có \[{u_5} = 0\] và \[{u_{10}} = 10\] thì:
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - \,8\\d = - \,2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d = - 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 8\\d = 2\end{array} \right.\]
Chọn D
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 0\\{u_{10}} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = 0\\{u_1} + 9d = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 8\\d = 2\end{array} \right.\]
Nghiệm của phương trình \(\cos \,x = 1\) là:
\(x = k2\pi \,\;\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\;\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\;\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(x = k\pi \,\;\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn A
cosx = 1 ⇔x = k2π (k ∈Z)
Điều tra về điểm kiểm tra giữa HKI môn toán của học sinh lớp 11A ta được kết quả sau:
Điểm | \(\left[ {0;\;3,5} \right)\) | \(\left[ {3,5;5} \right)\) | \(\left[ {5;\;6,5} \right)\) | \(\left[ {6,5;\;8} \right)\) | \(\left[ {8;10} \right]\) |
Tần số | 5 | \(5\) | \(9\) | \(14\) | \(7\) |
Số học sinh có điểm lớn hơn hoặc bằng 5 là
\[19\]
\[30\]
\[35\]
\[10\].
Chọn B
Số học sinh có điểm lớn hơn hoặc bằng 5 là \(9 + 14 + 7 = 30\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)bằng
\( + \infty .\)
\(1.\)
\( - \infty .\)
\(0.\)
Chọn C
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = - 2 < 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 0,x \to - {1^ + } \Rightarrow x + 1 > 0\)
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 3\cos x + 2\) bằng:
\( - 1.\)
\( - 2.\)
\(6.\)
\(5.\)
Chọn D
\( - 1 \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le 3\cos x + 2 \le 5\)
Điều tra về điểm kiểm tra giữa HKI môn toán của học sinh lớp 11ta được kết quả sau:
Điểm | \(\left[ {0;\;2} \right)\) | \(\left[ {2;\;4} \right)\) | \(\left[ {4;\;6} \right)\) | \(\left[ {6;\;8} \right)\) | \(\left[ {8;10} \right]\) |
Tần số | 5 | \(5\) | \(9\) | \(14\) | \(7\) |
Nhóm chứa mốt là
\(\left[ {0;\;2} \right)\).
\(\left[ {8;10} \right]\)
\(\left[ {4;\;6} \right)\)
\(\left[ {6;\;8} \right)\)
Chọn D
Đây là đồ thị của hàm số nào.
\(y = \cot x\).
\(y = \tan x\)
\(y = \cos x\).
\(y = \sin x\).
Chọn C
Khối lượng của \[30\] củ khoai tây thu hoạch ở một nông trường được thống kê như bảng sau.
Độ dài của nhóm \[\left[ {80;90} \right)\] là
\[90\]
\[10\].
\[9\]
\[80\]
Chọn B
\[90 - 80 = 10\]
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, tâm O. Khẳng định nào sau đây đúng ?
Hai đường thẳng\(SA\) và OC chéo nhau.
Hai đường thẳng\(SA\) và BC chéo nhau.
Hai đường thẳng\(SC\) và BD cắt nhau.
Hai đường thẳng\(AD\) và SB song song.
Chọn B
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình thang \(ABCD\,(AB//CD)\). Khẳng định nào sau đây sai?
Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\)và \(\left( {SAB} \right)\)là \[SA\].
Đáy của hình chóp là hình thang ABCD.
Hình chóp \(S.ABCD\) là hình tứ diện.
Hình chóp \(S.ABCD\)có 4 mặt bên.
Chọn C
Cho góc \(\alpha \) thỏa \(\sin \alpha = - \frac{1}{4}\) với\(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Tính \(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right)\) .
\(\frac{{ - \sqrt {15} - \sqrt 3 }}{8}\).
\(\frac{{ - 3\sqrt 5 + 1}}{8}\).
\(\frac{{\sqrt {15} - \sqrt 3 }}{8}\).
\(\frac{{ - 3\sqrt 5 - 1}}{8}\)
Chọn D
\[\sin \alpha = - \frac{1}{4} \Rightarrow co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{1}{4}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt {15} }}{4}\]
\(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{6} + \sin \alpha .\sin \frac{\pi }{6} = - \frac{{\sqrt {15} }}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{ - 1}}{4}.\frac{1}{2} = \frac{{ - 3\sqrt 5 - 1}}{8}\)
a) Tìm giới hạn sau\[A = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n + 2023}}{{4n - 2024}}\]
b) Cho biết \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - 7x + 12} }}{{a\left| x \right| - 17}} = \frac{2}{3}\]. Tính a.
a,
\(A = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n + 2023}}{{4n - 2024}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3 + \frac{{2023}}{n}}}{{4 - \frac{{2024}}{n}}} = \frac{3}{4}\)
b, Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - 7x + 12} }}{{a\left| x \right| - 17}} = \]\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {4 - \frac{7}{x} + \frac{{12}}{{{x^2}}}} }}{{ - x\left( {a + \frac{{17}}{x}} \right)}} = \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4 - \frac{7}{x} + \frac{{12}}{{{x^2}}}} }}{{a + \frac{{17}}{x}}} = \frac{2}{a}\]\[ = \frac{2}{3} \Rightarrow a = 3\]
a) Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\cos x}}{{\sin x + 1}}\)
b) Tìm \(a\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x \le 1\\\frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x > 1\,.\end{array} \right.\)liên tục tại \(x = 1\)
a,
Điều kiện \(\sin x + 1\not = 0 \Leftrightarrow \sin x\not = - 1 \Leftrightarrow x\not = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\).
Vậy tập xác định \(D = R{\rm{\backslash }}\left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in Z} \right\}\).
b,
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x = 1\), ta có:
+ \[f\left( 1 \right) = 2 + a\].
+ \[\mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,{1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,{1^ - }} \left( {2x + a} \right) = 2 + a\].
+ \[\mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,{1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,{1^ + }} \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,{1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,{1^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = 3\].
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(R\)\( \Leftrightarrow \) hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\)
Û\[\mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,{1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,{1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\]Û\[2a + 1 = 3\]Û\(a = 1\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm O. Gọi \(H,\;K\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(SAB\) và \(ABC\).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
b) Chứng minh \(HK\,{\rm{//}}\,\left( {SCD} \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa \(HK\) và song song với \(SB\). Thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là hình gì?
a,
Ta có:
S là điểm chung thứ nhất, O là điểm chung thứ hai
Do đó: \[\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\]
b,
+ Gọi \(M\) là trung điểm của \[AB\].
Vì \(H,\;K\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(SAB\) và \(ABC\) nên \(\frac{{MH}}{{MS}} = \frac{{MK}}{{MC}} = \frac{1}{3}\).
\( \Rightarrow HK\;{\rm{//}}\;SC\).
Mà \(SC \subset \left( {SCD} \right)\) và \(HK \not\subset \left( {SCD} \right)\).
Do đó \(HK\,{\rm{//}}\,\left( {SCD} \right)\).
+ Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) kẻ đường thẳng qua \(K\) và song song với \(SB\) cắt \(SD\) tại \(E\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) kẻ đường thẳng qua \(E\) và song song với \(SC\) cắt \(CD\) tại \(F\).
Gọi \(G = KF \cap AB\); \(L = GH \cap SA\).
Khi đó ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = GF\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = GL\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = LE\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = EF\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là hình thang \[EFGL\].
