Đề thi cuối kì 1 Toán 11 THPT Lê Hồng Phong (Hải Phòng) năm 2023-2024 (có đáp án)
39 câu hỏi
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1.}}{{x - 3}}\). Hàm số gián đoạn tại điểm nào?
Hàm số gián đoạn tại \(x = - 1\).
Hàm số gián đoạn tại \(x = 1\).
Hàm số gián đoạn tại \(x = - 3\).
Hàm số gián đoạn tại \(x = 3\).
Chọn D
Ta có hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1.}}{{x - 3}}\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}/\{ 3\} \) nên Hàm số gián đoạn tại \(x = 3\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O.\) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là
\(AO\).
\(SC\)
\(SO\).
\(BO\).
Chọn C
Ta có Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là\(SO\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{3}{2}{.5^n}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = \frac{5}{2}\) và số hạng đầu \({u_1} = 3.\)
\(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = 5\) và số hạng đầu \({u_1} = \frac{{15}}{2}.\)
\(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = 5\) và số hạng đầu \({u_1} = \frac{3}{2}.\)
\(\left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số nhân.
Chọn B
Ta có:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_2} = 2001\) và \({u_5} = 1995\). Khi đó \({u_{1001}}\) bằng:
\({u_{1001}} = 1.\)
\({u_{1001}} = 4003.\)
\({u_{1001}} = 3.\)
\({u_{1001}} = 4005.\)
Chọn C
Ta có:
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
\(\lim c = 0\)(c là hằng số).
\(\lim {q^n} = 0\,(q > 1)\).
\(\lim n = 0\).
\(\lim \frac{1}{n} = 0\).
Chọn D
Ta có: \(\lim \frac{1}{n} = 0\)
Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - x}&{{\rm{khi }}x \le 0}\\{\sqrt {x + 1} }&{{\rm{khi }}x > 0}\end{array}} \right..\)Khẳng định nào sau đây đúng?
\(f\left( x \right)\) không liên tục tại \(x = 0.\)
\(f\left( x \right)\) liên tục trên \[\left( { - \infty ;\,\,1} \right)\].
\(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}.\)
\(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0.\)
Chọn A
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 1\end{array} \right.\) nên \(f\left( x \right)\) không liên tục tại \(x = 0.\)
Cho bốn điểm \[A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\] không đồng phẳng. Gọi \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AC\] và \[BC.\] Trên đoạn \[BD\] lấy điểm \[P\] sao cho \[BP = 2PD.\] Giao điểm của đường thẳng \[CD\] và mặt phẳng \[\left( {MNP} \right)\] là giao điểm củ
\[CD\]và \[AP.\]
\(CD\) và \[NP.\]
\[CD\] và \[MN.\]
\[CD\] và \[MP.\]
Chọn B Giao điểm của đường thẳng \[CD\] và mặt phẳng \[\left( {MNP} \right)\]là giao điểm của \(CD\) và \[NP.\]
Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở lô hàng A được cho ở bảng sau:
Cân nặng (g) | [150;155) | [155;160) | [160;165) | [165;170) | [170;175) |
Số quả cam ở lô hàng A | 1 | 3 | 7 | 10 | 4 |
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng
\(162.\)
\(163,5\).
\(162,5\)
\(165,1\).
Chọn D
Ta có \(\overline X = \frac{{152,5.1 + 157,5.3 + 162,5.7 + 167,5.10 + 172,5.4}}{{25}} = 165,1\)
Nghiệm của phương trình \[\cot x + \sqrt 3 \; = {\rm{ }}0\] là:
\(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \).
\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \).
\(x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \).
\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \).
Chọn A
có \[\cot x + \sqrt 3 \; = {\rm{ }}0 \Rightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \]
Cho hàm số\[y = f\left( x \right)\]có đồ thị như hình bên. Chọn khẳng định đúng.
Hàm số liên tục trênkhoảng\[\left( {1;\,\, + \infty } \right)\]
Hàm số liên tục trênkhoảng\[\left( {1;\,\,4} \right)\]
Hàm số liên tục trên\[\mathbb{R}\]
Hàm số liên tục trênkhoảng\[\left( { - \infty ;\,\,4} \right)\]
Chọn B
Căn cứ vào đồ thị hàm số ta có hàm số liên tục trên khoảng\[\left( {1;\,\,4} \right)\]
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi hai điểm \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,AC\). Đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\).
Chọn C
Ta có theo giả thiết thì \(MN\) là đường trung bình trong \(\Delta ABC\) nên
MN // BC BC ⊂ (BCD)
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và BC, \(I,J\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC\) và \(ABD.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
\(IJ\) cắt\(AB.\)
\(IJ\) chéo \(CD.\)
\(IJ\) song song với \(CD.\)
\(IJ\) song song với \(AB.\)
Chọn C
Ta có \(I,J\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC\) và \(ABD.\)
Nên
Số nghiệm của phương trình \[\sin \left( {2x - {{40}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] với \[ - {180^0} \le x \le {180^0}\] là bao nhiêu?
\(2\).
\(1\).
\(3\).
\(4\).
Chọn D
Ta có \[\sin \left( {2x - {{40}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - {40^0} = {60^0} + k360\\2x - {40^0} = {120^0} + k360\end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\]
\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - {40^0} = {60^0} + k{360^0}\\2x - {40^0} = {120^0} + k{360^0}\end{array} \right.(k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {50^0} + k{180^0}\\x = {80^0} + k{180^0}\end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\]
Vì \[ - {180^0} \le x \le {180^0}\] nên
Vậy pt có 4 nghiệm
Cho các giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = - 3\), hỏi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\) bằng
-1
2
1
5
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right)} \right] + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right)} \right] = 2 - 3 = - 1\)
Công thức nào sau đây đúng?
\[\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\]
\[\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\]
\[{\rm{cos}}\left( {a + b} \right) = \sin a\sin b - \cos a\cos b.\]
\[{\rm{cos}}\left( {a + b} \right) = \sin a\sin b + \cos a\cos b.\]
Chọn A
Ta có \[\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\]
Biết rằng\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \frac{{2{x^3} + 6\sqrt 3 }}{{3 - {x^2}}} = a\sqrt 3 + b.\] Tính \({a^2} + {b^2}.\)
\(9.\)
\(25.\)
\(5.\)
\(13.\)
Chọn A
Ta có
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \frac{{2{x^3} + 6\sqrt 3 }}{{3 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \frac{{2(x + \sqrt 3 )({x^2} - x\sqrt 3 + {{\sqrt 3 }^2})}}{{(\sqrt 3 - x).(\sqrt 3 + x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } 2\frac{{{x^2} - x\sqrt 3 + {{\sqrt 3 }^2}}}{{\sqrt 3 - x}} = 3\sqrt 3 = a\sqrt 3 + b.\]
\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {3^2} = 9\)
Kết quả khảo sát cân nặng của 35 quả cam ở lô hàng A được cho ở bảng sau:
Cân nặng (g) | [150;155) | [155;160) | [160;165) | [165;170) | [170;175) |
Số quả cam ở lô hàng A | 1 | 3 | 17 | 10 | 4 |
Nhóm chứa mốt là nhóm nào?
[160;165)
[170;175).
[150;155)
[155;160)
Chọn A
w Ta có nhóm [160;165) có tần số cao nhất nên nhóm [160;165) là nhóm chứa mốt.
Thời gian ( phút ) để học sinh hoàn thành 1 câu hỏi thi được cho trong bảng sau
Thời gian (phút ) | \[\left[ {0,5;10,5} \right)\] | \[\left[ {10,5;20,5} \right)\] | \[\left[ {20,5;30,5} \right)\] | \[\left[ {30,5;40,5} \right)\] | \[\left[ {40,5;50,5} \right)\] |
Số học sinh | 2 | 10 | 6 | 4 | 3 |
Giá trị đại diện nhóm \[\left[ {20,5;30,5} \right)\]là
\(35,4\).
\(30\).
\(25,5\).
\(27,5\).
Chọn C
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành có tâm là O. Gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng chứa SO và song song với AB. Thiết diện của hình chóp \[S.ABCD\]cắt bởi mp\[\left( P \right)\]là hình gì?
Hình chữ nhật.
Hình thang.
Hình bình hành.
Hình tam giác.
Chọn D
Ta có thiết diện của hình chóp \[S.ABCD\]cắt bởi mp\[\left( P \right)\]là hình tam giác.
Cho dãy\[\left( {{u_n}} \right)\]có\[\lim {u_n} = 3\], dãy\[\left( {{v_n}} \right)\]có\[\lim {v_n} = 5\]. Khi đó\[\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = ?\]
15.
8.
5.
3.
Chọn A
Ta có \[\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim \left( {{u_n}} \right).\lim \left( {{v_n}} \right) = 15\].
Cho cấp số cộng cho bởi số hạng tổng quát \({u_n} = 3 + 5n\).Tìm số hạng thứ nhất \[{u_1}\]và công sai \[d\]?
\({u_1} = 3\), \({\rm{d}} = 5\).
\({u_1} = 8\), \({\rm{d}} = 5\).
\({u_1} = 2\), \({\rm{d}} = 6\).
\({u_1} = 8\), \({\rm{d}} = 6\).
Chọn B
Ta có \[\begin{array}{l}{u_n} = 3 + 5n \Rightarrow {u_1} = 3 + 5.1 = 8;\,{u_2} = 3 + 5.2 = 13\\ \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = 13 - 8 = 5\end{array}\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang đáy lớn AD. Cặp đường thẳng nào sau đây chéo nhau:
\[AD\,\,va\,\,BC\].
\[AB\,\,va\,\,CD\].
\[SA\,\,va\,\,BC\].
\[AC\,\,va\,\,BD\].
Chọn C
Ta có cặp đường thẳng nào chéo nhau là \[SA\,\,va\,\,BC\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(I,J,E,F\) lần lượt là trung điểm \(SA,SB,SC,SD.\) Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với \[IJ?\
\[EF.\]
\[AD.\]
\[DC.\]
\[AB.\]
Chọn B
Ta có đường thẳng \[AD.\] không song song với \[IJ\]
Giá trị của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - {x^3}}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}}\] là:
\( - \frac{3}{2}.\)
\(1.\)
\( - 2.\)
\(0.\)
Chọn D
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - {x^3}}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}} = \frac{0}{{ - 2}} = 0\]
Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]cho bởi số hạng tổng quát \[{u_n}\] sau, dãy số nào là dãy số tăng
\[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}.\]
\[{u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}.\]
\[{u_n} = \frac{1}{n}.\]
\[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}.\]
Chọn D
Ta có \[{u_n} = 2 - \frac{3}{{n + 1}};\,{u_{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 2}} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0\,(n \in {\mathbb{N}^*})\]
Nên \[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\] là dãy số tăng
Giá trị của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt x }}{{{x^2}}}\] là:
\(0.\)
\(1.\)
\( + \infty .\)
\( - \infty .\)
Chọn C
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt x }}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} + x - x}}{{{x^2}.(\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x }} = + \infty \]
Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\sin \left( {4a} \right) = 4\sin \left( {2a} \right).\cos \left( {2a} \right).\)
\(\sin \left( {4a} \right) = 2\sin \left( {2a} \right).\cos \left( {2a} \right).\)
\(\sin \left( {4a} \right) = 4\sin a.\cos a.\)
\(\sin \left( {4a} \right) = 2\sin a\cos a.\)
Chọn C
Ta có \(\sin \left( {4a} \right) = 2\sin \left( {2a} \right).\cos \left( {2a} \right).\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\)và \(\left( {SBC} \right).\)Khẳng định nào sau đây đúng?
\(d\) qua \(S\) và song song với \(BD.\)
\(d\) qua \(S\) và song song với \(AB.\)
\(d\) qua \(S\) và song song với \(BC.\)
\(d\) qua \(S\) và song song với \(DC.\)
Chọn C
Ta có giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\)và \(\left( {SBC} \right)\) là \(d\) qua \(S\) và song song với \(BC.\)
Tìm \[a\] để \[\lim \frac{{a{n^2} - 3n}}{{9{n^2} + 5}} = \frac{2}{3}\].
\[a = 6\].
\[a = 9\].
\[a = 4\].
\[a = 8\].
Chọn A
Ta có \[\lim \frac{{a{n^2} - 3n}}{{9{n^2} + 5}} = \lim \frac{a}{9} = \frac{2}{3} \Rightarrow a = 6\]
Tính tổng \(S\) gồm tất cả các giá trị \[m\] để hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \le 1\\{m^2}x + 1\,\,\,{\rm{khi }}x > 1\end{array} \right.\] liên tục tại \(x = 1\).
\(S = 0.\)
\(S = 1.\)
\(S = - 1.\)
\(S = 2.\)
Chọn A
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} + x = 2\\f\left( 1 \right) = 1 + 1 = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {m^2}x + 1 = {m^2} + 1\end{array} \right.\] hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \le 1\\{m^2}x + 1\,\,\,{\rm{khi }}x > 1\end{array} \right.\] liên tục tại \(x = 1\)thì:
\[\,{m^2} + 1 = 2 \Rightarrow m = \pm 1 \Rightarrow S = 0\]
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu đường thẳng \(d\) song song với \(mp\left( \alpha \right)\) thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong \(mp\left( \alpha \right).\)
Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong \(\left( \alpha \right)\) đều song song với \(\left( \beta \right).\)
Nếu hai đường thẳng phân biệt \(a\) và \(b\) song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) phân biệt thì \(\left( a \right)\parallel \left( \beta \right).\)
Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong \(\left( \alpha \right)\) cũng song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong \(\left( \beta \right).\)
Chọn B
Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong \(\left( \alpha \right)\) đều song song với \(\left( \beta \right).\)
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\[y = - \cos x.\]
\[y = 1 + \sin 2x.\]
\[y = - \sin x.\]
\[y = \cos x.\]
Chọn D
Căn cứ vào đồ thị thì hàm số trên là hàm số \[y = \cos x.\]
Tính tổng \[S = \sqrt 2 \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{{{2^n}}} + \cdots } \right)\].
\[S = \sqrt 2 + 1.\]
\(S = 2\sqrt 2 .\)
\(S = \frac{1}{2}.\)
\(S = 2.\)
Chọn B
Ta có \[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{{{2^n}}} + \cdots \] là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 1\); \(q = \frac{1}{2}\) nên
\[S = \sqrt 2 \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{{{2^n}}} + \cdots } \right) = \sqrt 2 \frac{{{u_1}({q^n} - 1)}}{{q - 1}} = \sqrt 2 \frac{{1({{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} - 1)}}{{\frac{1}{2} - 1}} = 2\sqrt 2 ;(q \ne 1)\]
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = - 3\] và \[q = - 2.\] Tính tổng \(10\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.
\({S_{10}} = - 511.\)
\({S_{10}} = 1023.\)
\({S_{10}} = - 1025.\)
\({S_{10}} = 1025.\)
Chọn B
Ta có: \[{S_n} = \frac{{{u_1}({q^n} - 1)}}{{q - 1}} \Rightarrow {S_{10}} = \frac{{{u_1}({q^{10}} - 1)}}{{q - 1}} = \frac{{( - 3)({{( - 2)}^{10}} - 1)}}{{ - 2 - 1}} = 1023\]
Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] có các cạnh bên \[AA',\,\,BB',\,\,CC',\,\,DD'.\] Khẳng định nào dưới đây sai?
\(A'B'CD\) là hình bình hành.
\(\left( {ABCD} \right)\)// (A'B'Ç'D')
(ACC'A') // (BDD'B')
\(\left( {AA'B'B} \right)\)//\[\left( {DD'C'C} \right).\]
Chọn C
Ta có: (ACC'A') cắt (BDD'B') nên sai
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{5{n^2} - 2n + 7}}{{2 + 3n - 4{n^2}}}.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{5{n^2} - 2n + 7}}{{2 + 3n - 4{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{5 - \frac{2}{n} + \frac{7}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{3}{n} - 4}} = - \frac{5}{4}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD // BC). Gọi P là trung điểm của cạnh SB. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (PAD).
Ta có P là một điểm chung của \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {PAD} \right)\)
Mặt khác \(AD\parallel BC.\)
\(AD \subset (SAD);\,\,\,BC \subset \left( {PBC} \right)\,\,\,\)
\( \Rightarrow (SAD) \cap \left( {PBC} \right) = PQ\,\,\,\)với \(PQ\,{\rm{//}}\;BC;\,\,\,PQ \cap SC = Q\)
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a. Điểm M, N lần lượt nằm trên cạnh AD’, BD sao cho AM = DN = x (\[0 < x < a\sqrt 2 \]). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và song song với mp(A’D’CB)
Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và song song với mp(A’D’CB). Giả sử (Q) cắt DB tại N’.
Theo định lí Ta-lét ta có: \[\frac{{AM}}{{AD'}} = \frac{{DN'}}{{DB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\]
Vì các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh a nên: \[AD' = DB = a\sqrt 2 \]
Từ (*), ta có AM = DN’ ⇒DN’ = DN ⇒ N’ ≡ N ⇒ MN ⊂(Q)
Mà (Q) // (A’D’CB) suy ra MN luôn song song với mặt phẳng cố định (A’D’CB)
Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{ - 2x + 12}} - \sqrt { - x + 6} }}{{{x^2} - 2x}}\]
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{ - 2x + 12}} - \sqrt { - x + 6} }}{{{x^2} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{{\sqrt[3]{{ - 2x + 12}} - 2}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{{2 - \sqrt { - x + 6} }}{{{x^2} - 2x}}} \right)\]
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{ - 2x + 12}} - 2}}{{{x^2} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {\sqrt[3]{{ - 2x + 12}} - 2} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( { - 2x + 12} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{ - 2x + 12}} + 4} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( { - 2x + 12} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{ - 2x + 12}} + 4} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - 2(x - 2)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( { - 2x + 12} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{ - 2x + 12}} + 4} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - 2}}{{x\left( {\sqrt[3]{{{{\left( { - 2x + 12} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{ - 2x + 12}} + 4} \right)}} = - \frac{1}{{12}}\end{array}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2 - \sqrt { - x + 6} }}{{{x^2} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{4 - ( - x + 6)}}{{x(x - 2)(2 + \sqrt { - x + 6} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{x(2 + \sqrt { - x + 6} )}} = \frac{1}{8}\]
\[\mathop { \Rightarrow \lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{ - 2x + 12}} - \sqrt { - x + 6} }}{{{x^2} - 2x}} = - \frac{1}{{12}} + \frac{1}{8} = \frac{1}{{24}}\]
