Đề thi cuối kì 1 Toán 11 THPT Tam Đảo II (Vĩnh Phúc) năm 2023-2024 (có đáp án)
38 câu hỏi
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 1\) và \({u_2} = 3\). Giá trị của \({u_3}\) bằng
\(4.\)
\(6.\)
\(9.\)
\(5.\)
Chọn D
Ta có \(d = {u_2} - {u_1} = 3 - 1 = 2\), Giá trị của \({u_3} = {u_1} + 2d = 1 + 2.2 = 5\).
Khảo sát thời gian xem ti vi trong một ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {60;80} \right)\) là
\[60\].
\[30\].
\[70\].
\[40\]
Chọn C
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {60;80} \right)\) là \(\frac{{60 + 80}}{2} = 70\).
Giới hạn \(\lim \frac{{3n - 7}}{{2{n^2} + 3n - 1}}\) bằng
\(\frac{{ - 3}}{2}\).
\(3\).
\(0\).
\(\frac{3}{2}\).
Chọn C
Ta có \(\lim \frac{{3n - 7}}{{2{n^2} + 3n - 1}}\)\( = \lim \frac{{\frac{3}{n} - \frac{7}{n}}}{{2 + \frac{3}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}} = 0\).
Trong không gian có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
3.
1.
2.
4.
Chọn A
Trong không gian có \(3\) vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Cho hai hình chữ nhật\(ABCD\) và \(ABEF\)ở hai mặt phẳng phân biệt. Khẳng định nào sau đây đúng
\[\left( {ADE} \right){\rm{ // }}\left( {CEF} \right)\].
\[\left( {ADE} \right){\rm{ // }}\left( {CBF} \right)\].
\[\left( {ADF} \right){\rm{ // }}\left( {BCE} \right)\].
\[\left( {BDF} \right){\rm{ // }}\left( {CAE} \right)\].
Chọn C
Ta có \(AD\,{\rm{//}}\,{\rm{BC}}\), \(AF\,{\rm{//}}\,BE\) nên \(\left( {ADF} \right){\rm{//}}\left( {BCE} \right)\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\)biết \({u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 3}}.\) Tìm số hạng \({u_5}.\)
\({u_5} = \frac{1}{4}.\)
\({u_5} = \frac{{17}}{{12}}.\)
\({u_5} = \frac{7}{4}.\)
\({u_5} = \frac{{71}}{{39}}.\)
Chọn C
Ta có \({u_5} = \frac{{{{2.5}^2} - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{7}{4}\).
Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \[ABEF\] nằm trong hai mặt phẳng khác nhau lần lượt có tâm \(O\) và \(O'\). Mệnh đề nào sau đây sai?
\(M\).
\[SB\].
\[S.ABCD\].
\(SA\).
Chọn D
Ta có
\(OO'{\rm{//}}CE \Rightarrow OO'{\rm{//}}\left( {BCE} \right)\) Đáp án \(A\) đúng.
\(OO'{\rm{//}}CE \Rightarrow OO'{\rm{//}}\left( {DCEF} \right)\) Đáp án \(B\) đúng.
\(OO'{\rm{//DF}} \Rightarrow OO'{\rm{//}}\left( {ADF} \right)\) Đáp án \(C\) đúng
\(OO' \subset \left( {ACE} \right)\)đáp án \(D\) sai .
Giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - 2n + 3} - n} \right)\] bằng
\(0\).
\( + \infty \).
\(1\).
\( - 1\).
Chọn D
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - 2n + 3} - n} \right)\]\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2n + 3}}{{\sqrt {{n^2} - 2n + 3} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2 + \frac{3}{n}}}{{\sqrt {1 - \frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} + 1}} = - 1\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\), có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(SA,SD\). Mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SCD} \right)\).
\(\left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
Chọn A
Ta có \(OM{\rm{//}}\,SC \Rightarrow OM\,{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\)
\(ON{\rm{//}}\,SB \Rightarrow ON\,{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\) mà \(OM \cap ON = O\) nên \(\left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD.\) Gọi \(M,\)\(N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\)và\(SC\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(MN{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).
\(MN{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
\(MN{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\).
\(MN{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).
Chọn D
Ta có \(MN{\rm{//}}\,AC \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {ABA'} \right)\) song song với
\[\left( {AA'C'} \right)\].
\[\left( {CC'D'} \right)\].
\[\left( {ADD'} \right)\].
\[\left( {BB'A'} \right)\].
Chọn B
Ta có \(AA'{\rm{//}}\,DD' \Rightarrow AA'\,{\rm{//}}\left( {CC'D'} \right)\)
\(AB{\rm{//}}\,DC \Rightarrow AB\,{\rm{//}}\left( {CC'D'} \right)\) mà \(AB \cap AA' = A\) nên \(\left( {ABA'} \right){\rm{//}}\left( {CC'D'} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\), biết \(AC\) cắt \(BD\) tại \(M\), \(AB\) cắt \(CD\) tại \(O\). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
\[SO\].
\[SM\].
\[SA\].
\[SC\].
Chọn A
Ta có \(S\) là một điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
Mà \(AB \cap CD = O\) nên \(O\) là điểm chung thứ hai, suy ra \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SO\).
Khảo sát thời gian xem ti vi trong một ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Nhóm \(\left[ {20;40} \right)\) có tần số là
\(10\).
\(9\).
\(12\).
\(5\).
Chọn B
Dựa vào bảng số liệu đã cho nhóm \(\left[ {20;40} \right)\) có tần số là \(9\).
Khảo sát chiều cao của 31 bạn học sinh ( đơn vị cm), ta có bảng tần số ghép nhóm
Chiều cao (cm) | \[\left[ {150;155} \right)\] | \[\left[ {155;160} \right)\] | \[\left[ {160;165} \right)\] | \[\left[ {165;170} \right)\] | \[\left[ {170;175} \right)\] |
Số học sinh | 4 | 7 | 12 | 6 | 2 |
Số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trong bảng trên là:
\(161,875\).
\(161,7\).
\(161,95\).
\(162,5\).
Chọn A
Ta có nhóm chứa trung vị là \[\left[ {160;165} \right)\] là nhóm thứ \(p = 3\), \({a_3} = 160\),\({m_3} = 12\),\({m_1} + {m_2} = 4 + 7 = 11\), \({a_4} - {a_3} = 5\).
\({M_e} = 160 + \frac{{\frac{{31}}{2} - 11}}{{12}}.5 = 161,875\).
Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(b\).
\(1.\)
\(0.\)
\(2.\)
Vô số.
Chọn A
Có duy nhất mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(b\).
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau.
Hình chữ nhật
Hình thoi
Hình thang
Hình bình hành
Chọn C
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình thang.
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[{G_1}\] và \[{G_2}\] lần lượt là trọng tâm các tam giác \[BCD\] và \[ACD\].
Chọn Câu sai:
\[B{G_1}\], \[A{G_2}\] và \[CD\] đồng qui
\[{G_1}{G_2} = \frac{2}{3}AB\].
\[{G_1}{G_2}{\rm{//}}\left( {ABD} \right)\].
\[{G_1}{G_2}{\rm{//}}\left( {ABC} \right)\].
Chọn B
Ta có: \(\frac{{I{G_1}}}{{IB}} = \frac{{I{G_2}}}{{IA}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \frac{{{G_1}{G_2}}}{{AB}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow {G_1}{G_2} = \frac{1}{3}AB\).
Tìm giá trị của biểu thức \[N = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{x - 2}}\]?
\(N = 0\).
\(N = 1\).
\(N = \frac{1}{2}\).
\(N = \frac{1}{4}\).
Chọn D
Ta có \[N = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{x - 2}}\]\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2 - 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 2}} = \frac{1}{4}\).
Cho cấp số cộng \(({u_n})\) với \({u_1} = 11\) và công sai \(d = 3\). Giá trị của \(7\) bằng
\(\frac{{11}}{3}\).
\(14\).
\(8\).
\(33\).
Chọn B
Ta có \({u_2} = {u_1} + d = 11 + 3 = 14\).
Họ nghiệm của phương trình \(\sin x = \sin \frac{\pi }{5}\)là
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{5} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{5} + l\pi \end{array} \right.,\,k,l \in \mathbb{Z}\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{5} + k2\pi \\x = \frac{{4\pi }}{5} + l2\pi \end{array} \right.,\,k,l \in \mathbb{Z}\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{5} + k\pi \\x = \frac{{4\pi }}{5} + l\pi \end{array} \right.,\,k,l \in \mathbb{Z}\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{5} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{5} + l2\pi \end{array} \right.,\,k,l \in \mathbb{Z}\).
Chọn B
Ta có \(\sin x = \sin \frac{\pi }{5}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{5} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{5} + l2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{5} + k2\pi \\x = \frac{{4\pi }}{5} + l2\pi \end{array} \right.\)\(k,l \in \mathbb{Z}\).
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{} \frac{{5{n^2} + 6n - 2025}}{{{n^2}}}\) bằng
\(5\).
\(0\).
\( - 2025\).
\(6\).
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{} \frac{{5{n^2} + 6n - 2025}}{{{n^2}}}\)\( = \lim \frac{{5 + \frac{6}{n} - \frac{{2025}}{{{n^2}}}}}{1} = 5\).
Nghiệm của phương trình \[\cos x = - 1\] là:
\(x = \pi + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
\[x = k\pi \], \(k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Chọn A
Ta có \[\cos x = - 1\]\( \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Kết quả khảo sát cân nặng của \(25\) quả cam ở lô hàng \(A\) được cho ở bảng sau:
Cân nặng (g) | \(\left[ {150;155} \right)\) | \(\left[ {155;160} \right)\) | \(\left[ {160;165} \right)\) | \(\left[ {165;170} \right)\) | \(\left[ {170;175} \right)\) |
Số quả cam lô hàng \(A\) | \(3\) | \(1\) | \(6\) | \(11\) | \(4\) |
Nhóm chứa mốt là nhóm nào?
\(\left[ {170;175} \right)\).
\(\left[ {150;155} \right)\).
\(\left[ {155;160} \right)\).
\(\left[ {165;170} \right)\).
Chọn D
Nhóm chứa mốt là nhóm \(\left[ {165;170} \right)\).
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
\[1;\,\,0;\,\,0;0\].
\[1;\,\, - 1;\,\,1;\,\, - 1\].
\[32;\,\,16;\,\,8;\,4\].
\[1;\,\, - 3;\,\,9;10\].
Chọn D
Xét dãy số \[1;\,\, - 3;\,\,9;10\] ta có \({u_1} = 1,q = - 3\)
\({u_2} = {u_1}.q = 1.\left( { - 3} \right) = - 3\)
\({u_3} = {u_2}.q = \left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) = 9\)
\({u_4} = {u_3}.q = 9.\left( { - 3} \right) = - 27 \ne 10\)
Vậy dãy số trên không phải cấp số nhân.
Giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2{x^3} + {x^2} + 2023} \right)\] là
\( - \infty \).
\( + \infty \).
\(1\).
\( - 1\).
Chọn A
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2{x^3} + {x^2} + 2023} \right)\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( {2 + \frac{1}{x} + \frac{{2023}}{{{x^3}}}} \right) = - \infty \].
Tìm giá trị của biểu thức \[P = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 2}}{{x - 1}}\].
\(P = 3\).
\(P = - 2\).
\(P = 5\).
\(P = 0\).
Chọn A
Ta có \[P = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 2}}{{x - 1}}\]\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 + \frac{2}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 3\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\)là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(I,\)\(J\) lần lượt là trung điểm \(SA\), \(SC\). Đường thẳng \(IJ\) song song với đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?
\(SO\).
\(BD\).
\(BC\).
\(AC\).
Chọn D
Ta có \(IJ{\rm{//}}AC\)( vì \(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\))
Tìm giá trị của biểu thức \[M = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{2x + 1}}\]
\(M = 0\).
\(M = \frac{3}{2}\).
\(M = - \frac{3}{2}\).
\(M = 4\).
Chọn A
Ta có \[M = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{2x + 1}}\]\( = 0\).
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] (các đỉnh lấy theo thứ tự đó).\[AC \cap BD = O\], \[A'C' \cap B'D' = O'.\]Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {ACC'A'} \right)\] và \[\left( {A'D'CB} \right)\]là đường thẳng nào sau đây?
\[D'B.\]
\[A'B.\]
\[A'C.\]
\[A'D'\].
Chọn C
Ta có giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) và \(\left( {A'D'CB} \right)\) là \(A'C\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(a\) để \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 4n + 7} + a - n} \right) = 0\)?
\[1\].
\[3\].
\[2.\]
\[0\].
Chọn C
Ta có \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 4n + 7} + a - n} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \lim \left( {\sqrt {{n^2} - 4n + 7} - n} \right) + \lim a = 0\)
\( \Leftrightarrow \lim \frac{{{n^2} - 4n + 7 - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} - 4n + 7} + n}} + a = 0\)\( \Leftrightarrow \lim \frac{{ - 4n}}{{\sqrt {{n^2} - 4n + 7} + n}} + a = 0\)
\( \Leftrightarrow \lim \frac{{ - 4}}{{\sqrt {1 - \frac{4}{n} + \frac{7}{{{n^2}}}} + 1}} + a = 0\)\( \Leftrightarrow a = 2\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) với \(ABCD\) là hình bình hành. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) là
Đường thẳng \(SB\).
Đường thẳng \(SD\).
Đường thẳng \(SA\).
Đường thẳng \(SC\).
Chọn C
Ta có \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\).
Tập xác định của hàm số \(y = \tan x\) là
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Chọn C
Điều kiện xác định của hàm số là \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \). Tập xác định của hàm số là \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Góc có số đo \(120^\circ \) đổi sang radian là
\(\frac{{3\pi }}{2}\).
\(\frac{{2\pi }}{3}\).
\(\frac{\pi }{4}\).
\(\frac{\pi }{{10}}\).
Chọn B
Ta có góc \(120^\circ \) đổi sang radian bằng \(\frac{{120.\pi }}{{180}} = \frac{{2\pi }}{3}\) (radian).
Giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^4} + {x^2} - 1} \right)\] là
\(1\).
\( - 1\).
\( + \infty \).
\( - \infty \).
Chọn C
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^4} + {x^2} - 1} \right)\]\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^4}}}} \right) = + \infty \).
Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}}\) bằng
\( + \infty .\)
\( - \infty .\)
\(\frac{2}{3}.\)
\(\frac{1}{3}.\)
Chọn B
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}}\)\( = - \infty \).
a) Giải phương trình \(2\cos x - 1 = 0.\)
b) Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)biết \({u_1} = 2,\)công bội \(q = - 3\) tính \({u_{17}},{s_{11}}\)
Lời giải
a) Ta có \(2\cos x - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{3}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.k \in \mathbb{Z}\).
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là một hình thang với đáy \[AD\] và \[BC\].
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)
b) Gọi \[I\] và \[J\] lần lượt là trọng tâm các tam giác \[SAD\] và \[SBC\]. Mặt phẳng \[\left( {ADJ} \right)\] cắt \[SB,SC\] lần lượt tại \[M,N\]. Mặt phẳng \[\left( {BCI} \right)\] cắt \[SA,SD\] tại \[P,Q\]. Chứng minh \[MN\] song song với \[PQ\].
c) Biết \[AD = a,BC = b\]. Giải sử \[AM\] cắt \[BP\] tại \[E\]; \[CQ\] cắt \[DN\] tại \[F\]. Chứng minh \[EF\] song song với \[MN\] và \[PQ\]. Tính \[EF\] theo \[a,b\].
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)
Gọi .
b) Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(SAD\) và \(SBC\). Mặt phẳng \(\left( {ADJ} \right)\) cắt \(SB,SC\) lần lượt tại \(M,N\). Mặt phẳng \(\left( {BCI} \right)\) cắt\(SA,SD\) tại\(P,Q\). Chứng minh\(MN{\rm{//}}PQ\).
Ta có\(I \in \left( {SAD} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {IBC} \right)\).
Vậy\(\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC \subset \left( {IBC} \right)\\AD{\rm{//}}BC\\\left( {SAD} \right) \cap \left( {IBC} \right) = PQ\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow PQ{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC\) (1)
Tương tự\(J \in \left( {SBC} \right) \Rightarrow J \in \left( {SBC} \right) \cap \left( {ADJ} \right)\).
Vậy\(\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {ADJ} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD{\rm{//}}BC\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {ADJ} \right) = MN\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow MN{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC\) (2)
Từ và suy ra\(MN{\rm{//}}PQ\).
c) Biết\(AD = a,BC = b\). Giải sử\(AM\) cắt\(BP\) tại\(E\); \(CQ\) cắt\(DN\) tại\(F\). Chứng minh\(EF\) song song với \(MN\) và \(PQ\). Tính\(EF\) theo\(a,b\).
Ta có\(E = AM \cap BP \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}E \in \left( {AMND} \right)\\E \in \left( {PBCQ} \right)\end{array} \right.\);\(F = DN \cap CQ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F \in \left( {AMND} \right)\\F \in \left( {PBCQ} \right)\end{array} \right.\)
Do đó\(EF = \left( {AMND} \right) \cap \left( {PBCQ} \right)\). Mà\(\left\{ \begin{array}{l}AD{\rm{//}}BC\\MN{\rm{//}}PQ\end{array} \right.\)\( \Rightarrow EF{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC{\rm{//}}MN{\rm{//}}PQ\).
Tính\(EF\): Gọi\(K = CP \cap EF\)\( \Rightarrow EF = EK + KF\)
Ta có\(EK{\rm{//}}BC\)\( \Rightarrow \frac{{EK}}{{BC}} = \frac{{PE}}{{PB}}\)(1),\(PM{\rm{//}}AB \Rightarrow \frac{{PE}}{{EB}} = \frac{{PM}}{{AB}}\).
Mà \(\frac{{PM}}{{AB}} = \frac{{SP}}{{SA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{PE}}{{EB}} = \frac{2}{3}\).
Từ (1) suy ra\(\frac{{EK}}{{BC}} = \frac{{PE}}{{PB}} = \frac{{PE}}{{PE + EB}} = \frac{1}{{1 + \frac{{EB}}{{PE}}}} = \frac{2}{5}\)\( \Rightarrow EK = \frac{2}{5}BC = \frac{2}{5}b\)
Tương tự\(KF = \frac{2}{5}a\). Vậy\(EF = EK + KF = \frac{2}{5}\left( {a + b} \right)\).
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt[3]{{x + 5}}}}{{x - 3}}\).
Ta có
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt[3]{{x + 5}}}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2 + 2 - \sqrt[3]{{x + 5}}}}{{x - 3}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 1}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{x + 5}} + 4}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{{12}} = \frac{1}{6}\)
