Đề thi cuối kì 1 Toán 11 THPT Nguyễn Cảnh Chân (Nghệ An) năm 2023-2024 (có đáp án)
38 câu hỏi
Hình lập phương có bao nhiêu mặt?
\(3\).
\(6\).
\(5\).
\(4\).
Chọn B
Hình lập phương có \[6\] mặt.
Mệnh đề nào dưới đây sai ?
Hàm số \[y = c{\rm{os }}x\]có tập giá trị là \[R.\]
Hàm số \[y = \sin x\]có tập giá trị là \[{\rm{[}} - 1;1].\]
Hàm số \[y = \sin x\]tuần hoàn với chu kì \[2\pi .\]
Hàm số \[y = \cos x\]tuần hoàn với chu kì \[2\pi .\]
Chọn A
Hàm số \[y = \cos x\] có tập giá trị là \[\left[ { - 1;1} \right]\].
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình \(\tan x = m\), \(\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\).
\(x = \alpha + k\pi \) hoặc \(x = \pi - \alpha + k\pi \), \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \pm \alpha + k\pi \), \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \alpha + k2\pi \), \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \alpha + k\pi \), \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn D
Ta có: \[\tan x = \tan \alpha = m \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Cho dãy số vô hạn \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) là cấp số cộng có công sai \(d \ne 0\), số hạng đầu \({u_1}\). Hãy chọn khẳng định sai ?
\({u_n} = {u_{n - 1}} + d\),\(n \ge 2\).
\({S_{12}} = 12{u_1} + 66d\).
\({u_5} = \frac{{{u_2} + {u_9}}}{2}\).
\({u_n} = {u_1} + (n - 1).d\),\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Chọn C
Ta có : \[\frac{{{u_2} + {u_9}}}{2} = \frac{{{u_5} - 3d + {u_5} + 4d}}{2} = {u_5} + \frac{d}{2}\]
Chọn khẳng định đúng
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song.
Hai mặt phẳng không song song thì cắt nhau.
Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song.
Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Chọn A
Các câu \[C\] thiếu ý mặt phẳng phân biệt, câu \[D\] thiếu ý đường thẳng đồng phẳng.
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \,\infty } \left( {2{x^3} - {x^2} + 1} \right)\)
\( + \,\infty \).
\(2\).
\( - \,\infty \).
\(0\).
Chọn A
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \,\infty } \left( {2{x^3} - {x^2} + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \,\infty } {x^3}\left( {2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right) = + \infty \)
Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm
Đặt \(n = {n_1} + {n_2} + \ldots + {n_k}\).
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(\bar x\), được tính theo công thức nào ?
\(\bar x = \frac{{{n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + \ldots + {n_k}{c_k}}}{{{n_k}}}\).
\(\bar x = \frac{{{n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + \ldots + {n_k}{c_k}}}{n}\).
\(\bar x = \frac{{{n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + \ldots + {n_k}{c_k}}}{{{c_k}}}\).
\(\bar x = \frac{{n_1^2{c_1} + n_2^2{c_2} + \ldots + n_k^2{c_k}}}{n}\).
Chọn A
Tuân theo lý thuyết cơ bản.
Tính giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \,4} \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 4}}\]
\(1\).
\(5\).
\( - 3\).
\(4,99\).
Chọn B
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \,4} \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \,4} \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \,4} \left( {x + 1} \right) = 5\]
Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\), \(AD\). Hỏi đường thẳng \(MN\) song song với đường thẳng nào sau đây ?
\(SD\).
\(SB\).
\(CA\).
\(SA\).
Chọn A
Ta có \[MN\] là đường trung bình của tam giác \[SAD\]
\[ \Rightarrow MN//SD\]
Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
Nếu mặt phẳng \((\alpha )\)chứa một đường thẳng song song với mặt phẳng \((\beta )\) thì \((\alpha )\) song song \((\beta )\).
Nếu mặt phẳng \((\alpha )\)chứa hai đường thẳng cắt nhau và một trong hai đường thẳng này song song với mặt phẳng \((\beta )\) thì \((\alpha )\) song song \((\beta )\).
Nếu mặt phẳng \((\alpha )\)chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng \((\beta )\) thì \((\alpha )\) song song \((\beta )\).
Nếu mặt phẳng \((\alpha )\)chứa hai đường thẳng và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng \((\beta )\) thì \((\alpha )\) song song \((\beta )\).
Chọn C
Đây là lý thuyết cơ bản.
Mệnh đề nào sau đây là sai ?
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Phép chiếu song song giữ nguyên độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Chọn B
Phép chiếu song song giữ nguyên độ dài là điều chưa chính xác, nó chỉ bảo toàn tính chất chứ không đảm bảo đẳng cự.
Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2n + 1}}{{1 - 2n}}\)bằng
\( - 1\).
\(1\).
\( - 2\).
\(2\).
Chọn C
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2n + 1}}{{1 - 2n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {\frac{1}{n} - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{\frac{1}{n} - 2}} = - 1\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\), gọi \(M,N,P\) lần lượt trung điểm của \(SA,AB,AD\), mặt phẳng \((MNP)\) song song với mặt phẳng nào ?
\(\left( {SBD} \right)\).
\(\left( {SCD} \right)\).
\(\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SAD} \right)\).
Chọn A
Ta có: \(MN,NP.MP\) lần lượt là đường trung bình của \(SB,BD,SD\) do là trung điểm của các cạnh.
\( \Rightarrow MN//SB,NP//BD,MP//SD\)
\( \Rightarrow \left( {MNP} \right)//\left( {SBD} \right)\)
Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\), hình chiếu song song của điểm \(C\) trên mặt phẳng \((A'B'C')\) theo phương \(CC'\)là
\(A'\).
\(B'\).
\(C'\).
\(A\).
Chọn C
Hình chiếu song song là đặc trưng của lăng trụ tam giác này, nên ta có hình chiếu này là \(C'\).
Trong các mẫu số liệu sau, mẫu nào không phải là mẫu số liệu ghép nhóm ?
Mẫu 1.
Mẫu 4.
Mẫu 2.
Mẫu 3.
Chọn A
Mẫu số liệu ở nhóm đầu tiên là mẫu số liệu rời rạc, không phải mẫu ghép nhóm.
Hình chóp tứ giác có số cạnh là
\(6\).
\(8\).
\(3\).
\(4\).
Chọn B
Hình chóp có đáy là tứ giác có số cạnh là \(8\), gồm \(4\) cạnh bên và \(4\) cạnh đáy.
Cho các dãy số un và vn. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} + {v_n}) = a - b\]
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b\]
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = a.b\]
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} - {v_n}) = b - a\]
Chọn B
Câu \(B\) là đáp án chính xác vì giới hạn tích bằng tích các giới hạn.
Các câu khác sai vì không rõ nghĩa.
Góc có số đo \(\frac{{3\pi }}{4}\) đổi sang độ là
\[{150^0}.\]
\[{60^0}.\]
\[{45^0}.\]
\[{135^0}.\]
Chọn D
\(\frac{{3\pi }}{4} = \frac{{{{3.180}^0}}}{4} = {135^0}\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\), \(AD\). Hỏi đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng nào sau đây ?
\(\left( {SCD} \right)\)
\(\left( {SAB} \right)\).
\(\left( {SAD} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\).
Chọn C
Câu này tương tự câu trên đã sửa, do tính chất đường trung bình mà ra.
Tổng \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + ...\) bằng
\(\frac{1}{2}\).
\( + \infty \).
\(2\).
1.
Chọn C
\(S = 1 + \frac{1}{2} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\)
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 2} \right)\) bằng
\[4\].
\[0\].
\[1\].
\[3,99\].
Chọn A
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 2} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} + 1 + 2 = 4\)
Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + 5n - 3}}{{ - 6n + 3}}\) bằng
\( - 2\).
\( - \infty \).
\( + \infty \).
\(2\).
Chọn B
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + 5n - 3}}{{ - 6n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {2 + \frac{5}{n} - \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}}{{ - 6 + \frac{3}{n}}} = - \infty \)
Phương trình \(\sin 2x = \sin (x + \frac{\pi }{3})\) có nghiệm là
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn D
\(\sin 2x = \sin (x + \frac{\pi }{3}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = x + \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{2x = \pi - x - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x = \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}} \right.\)
Cho hàm số h(x) = x2 +2 khi x ≤14x - 1 khi x > 1Mệnh đề nào sau đây đúng
Hàm số trên liên tục tại \({x_0} = 1\).
Hàm số trên gián đoạn tại \({x_0} = 3\).
Hàm số trên gián đoạn tại \({x_0} = 1\).
Hàm số trên gián đoạn tại \({x_0} = - 2\).
Chọn A
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {4x - 1} \right) = 3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + 2} \right) = 3\)
\(f\left( 1 \right) = {1^2} + 2 = 3\)
Cả \(3\) đại lượng đều bằng nhau nên hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\).
Xét tính liên tục của hàm \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}2&{{\rm{khi }}x < 1}\\{ - 2}&{{\rm{khi }}x \ge 1}\end{array}} \right..\] Khẳng định nào dưới đây đúng ?
Hàm \(f(x)\) liên tục tại \({x_0} = 1\).
Hàm \(f(x)\) liên tục trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Hàm \(f(x)\) liên tục trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Hàm \(f(x)\)gián đoạn tại \({x_0} = 1\).
Chọn D
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = - 2\)
Do \(2\) đại lượng khác nhau nên hàm số gián đoạn tại \({x_0} = 1\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Cạnh \(AB\) song song với mặt nào sau đây ?
\((ADD'A')\).
\((ABB'A')\).
\((DCC'D')\).
\((BCC'{B^'})\).
Chọn A
\(AB//A'B' \to AB//\left( {A'B'C'D'} \right)\)
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân ?
\(5;10;{\rm{15}};20;{\rm{25}};{\rm{ }}...\)
\(15;{\rm{ }}5;{\rm{ }}1;{\rm{ }}\frac{1}{5};{\rm{ }}...\)
\({\rm{ }}2;4;6;8....\)
\(5;{\rm{ 25}};{\rm{ 125}};{\rm{ 625}};{\rm{ }}...\)
Chọn C
Số hạng đầu là \(2\), công bội là \(2\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 1\) và \({u_2} = 3\) . Tìm số hạng \({u_9}\)
\({u_9} = 31\).
\({u_9} = - {3^9}\).
\({u_9} = 32\).
\({u_9} = 23\).
Chọn A
\({u_9} = {u_1} + 8d = - 1 + 8\left( {3 + 1} \right) = 31\)
Phương trình \({x^3} - {x^2} + x - 1 = 0\) có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng nào sau đây
\[\left( { - 3; - 1} \right)\].
\[\left( {0;3} \right)\].
\[\left( { - 2;0} \right)\].
\[\left( {3;5} \right)\].
Chọn B
Câu \(B\) vì dễ thấy tổng hệ số \(1 - 1 + 1 - 1 = 0\) nên luôn có \(1\) nghiệm là \(1 \in \left( {0;3} \right)\)
Cho bảng số liệu về thời gian tập thể dục của 100 học sinh một trường trung học phổ thông dưới đây
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
\(47,5\) .
\(60,75\) .
\(35,5\) .
\(40,75\).
Chọn A
Bảng thu gọn như sau:
Gọi \({x_1},{x_2},{x_3},...,{x_{100}}\) lần lượt là số học sinh theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1},{x_2},...{x_{20}} \in \left[ {0;20} \right),{x_{21}},{x_{22}},...{x_{35}} \in \left[ {20;40} \right),...{x_{90}},{x_{91}},...{x_{100}} \in \left[ {80;100} \right)\)
Tứ phân vị thứ \(2\) (hay còn gọi là trung vị) của mẫu số liệu là
\[{Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 40 + \frac{{\frac{{100}}{2} - 35}}{{40}}.\left( {60 - 40} \right) = 47,5\]
Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 11 được cho ở bảng sau :
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là
\(7,28\).
\(7,15\).
\(6,86\).
\(6,92\).
Chọn B
Bảng thu gọn như sau:
Gọi \({x_1},{x_2},{x_3},...,{x_{100}}\) lần lượt là số học sinh theo thứ tự không giảm.
Ta có: \[{x_1},{x_2},...{x_{35}} \in \left[ {6,5;7} \right),{x_{36}},{x_{37}},...,{x_{60}} \in \left[ {7;7,5} \right),....,{x_{100}} \in \left[ {9,5;10} \right)\]
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu nằm ở
\[{Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 7,15\]
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 1,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = - 2\), Giá trị \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]\) bằng
\[12\].
\[8\].
\[4\].
\[ - 4\].
Chọn B
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right] = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 2.1 - 3.\left( { - 2} \right) = 8\)
Cho \(\tan \alpha = - \frac{2}{3}\)và 90°<\(\alpha \)< 180°. Tính \(\cos \alpha \).
\(\cos \alpha = \frac{{3\sqrt {13} }}{{13}}\).
\(\cos \alpha = \frac{9}{{13}}\).
\(\cos \alpha = - \frac{9}{{13}}\).
\(\cos \alpha = - \frac{{3\sqrt {13} }}{{13}}\).
Chọn D
\(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \to \cos \alpha = \pm \frac{3}{{\sqrt {13} }}\)
Do 90°<\(\alpha \)< 180°.
Nên \(\cos \alpha < 0\)
\( \to \cos \alpha = - \frac{{3\sqrt {13} }}{{13}}\)
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = 3\] và \[q = 2.\] Tính tổng \(10\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho là
\({S_{10}} = 3069.\)
\({S_{10}} = 1025.\)
\({S_{10}} = 3068.\)
\({S_{10}} = 1024.\)
Chọn A
\({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3.\left( {1 - {2^{10}}} \right)}}{{1 - 2}} = 3069\)
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) chứa điểm \({x_0}\). Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục tại điềm \({x_0}\) nếu thỏa mãn điều kiện nào sau đây
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f\left( {{x_0}} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = - f\left( {{x_0}} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = {x_o}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) \ne f\left( {{x_0}} \right)\).
Chọn C
Áp dụng theo lý thuyết!
Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {2x + 3} - 3}}{{ - 3x + 9}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {2x + 3} - 3}}{{ - 3x + 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(\sqrt {2x + 3} - 3)(\sqrt {2x + 3} + 3)}}{{( - 3x + 9)(\sqrt {2x + 3} + 3)}}\)
\(\begin{array}{l}\mathop { = \lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x - 6}}{{( - 3x + 9)(\sqrt {2x + 3} + 3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2(x - 3)}}{{ - 3(x - 3)(\sqrt {2x + 3} + 3)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{2}{{ - 3(\sqrt {2x + 3} + 3)}} = - \frac{1}{9}\end{array}\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang (\(AD//BC\)). Gọi \(M\)là trọng tâm tam giác\(SAD\);\(N\)là điểm thuộc \(AC\) sao cho \(NA = \frac{1}{2}NC\);\(P\)là điểm thuộc \(CD\) sao cho \(PD = \frac{1}{2}PC\).Chứng minh rằng
a.\(MN//(SBC)\).
b.\((MNP)//(SBC)\)
a. Gọi I là trung điểm của AD và K là giao điểm của IN với BC.
Ta có\(\frac{{NA}}{{NC}} = \frac{{NI}}{{NK}} = \frac{1}{2} = \frac{{IM}}{{MS}}\)
do đó \(MN//SK\) hay \(MN//(SBC)\)
b. Ta có\(\frac{{NA}}{{NC}} = \frac{1}{2} = \frac{{PD}}{{PC}}\)
hay \(NP//DA//BC\) nên\(NP//(SBC)\).Kết hợp với câu a ta có \((MNP)//(SBC)\)
Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc \(100mg\). Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn \(7\% \).
a. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 7.
b. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.
a. Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày đầu tiên là \(100mg\).
Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn \(7\% \).
Do đó, lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là \(100 + 100 \cdot 7\% = 100(1 + 0,07)\)
Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ ba là
\(100 + 100(1 + 0,07) \cdot 7\% = 100 + 100\left( {0,07 + 0,{{07}^2}} \right) = 100\left( {1 + 0,07 + 0,{{07}^2}} \right)\)
Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ tư là
\(100 + 100\left( {1 + 0,07 + 0,{{07}^2}} \right) \cdot 7\% = 100\left( {1 + 0,07 + 0,{{07}^2} + 0,{{07}^3}} \right)\)
Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ bảy là
\(\begin{array}{l} = 100\left( {1 + 0,07 + 0,{{07}^2} + 0,{{07}^3} + 0,{{07}^4} + 0,{{07}^5} + 0,{{07}^6}} \right)\\ \approx 107,527(mg).\end{array}\)
b. Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là
\(S = 100\left( {1 + 0,07 + 0,{{07}^2} + 0,{{07}^3} + 0,{{07}^4} + \ldots } \right)\)
Lại có \(1 + 0,07 + 0,{07^2} + 0,{07^3} + 0,{07^4} + \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = 0,07\).
Do đó, \(1 + 0,07 + 0,{07^2} + 0,{07^3} + 0,{07^4} + \ldots = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - 0,07}} = \frac{{100}}{{93}}\).
Suy ra \(S = 100 \cdot \frac{{100}}{{93}} = \frac{{10000}}{{93}}\).
