Đề thi cuối kì 1 Toán 11 THPT Ngô Thì Nhậm (Ninh Bình) năm 2023-2024 (có đáp án)
38 câu hỏi
Khi cắt kim tự tháp Ai Cập có đáy là ABCD bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA. Khi đó mặt cắt là hình gì?
Hình ngũ giác.
Tứ giác .
Hình lục giác.
Tam giác.
Chọn A
Gọi mặt phẳng đi qua trung điểm \(M\) của cạnh \(AB\) và song song với \(BD\), \(SA\) là \(\left( \alpha \right)\).
Vì \(\left( \alpha \right)//BD\) nên \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\), \(N \in AD\).
\(\left( \alpha \right)//SA\) nên , \(R \in SB\), \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = NP\), \(P \in SD\). \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = MR\), \(R \in SB\)
Trong mp\(\left( {ABCD} \right)\) ta có \(MN \cap CD = I\). Trong mp\(\left( {SAD} \right)\) ta có \(IP \cap SC = Q\). Khi đó \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = PQ\), \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = \,QR\). Vậy thiết diện là ngũ giác \(MNPQR\).
Người ta phân \(400\) quả trứng thành năm nhóm căn cứ trên khối lượng của chúng (đơn vị là gam). Ta có bảng phân bố tần số ghép nhóm sau đây.
Tìm \(x\) trong bảng phân bố tần số trên.
\(x = 6\).
\(x = 4\).
\(x = 7\).
\(x = 5\).
Chọn A
\[x = 400 - 394 = 6\].
Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \). Mệnh đề đúng là
\(\lim {u_n} = 0\)
\(\lim {u_n} = - \infty \).
\(\lim {u_n} = + \infty \).
\(\lim {u_n} = 1\).
Chọn A
\(\lim {u_n} = \lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = \lim \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = 0\).
Cân nặng của 28 học sinh lớp 11 được thống kê trong bảng tần số ghép nhóm sau:
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {53;57} \right)\)là:
\(56\)
\(55\)
\(57\)
\(53\)
Chọn B
Trong các dãy số sau, dãy số nào tăng?
\(1, - 1,1, - 1,1,...\).
\(1,3,5,7,...\).
\(\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{{27}},\frac{1}{{81}},...\).
\(1, - 1, - 3, - 5,...\).
Chọn B
Theo định nghĩa dãy số tăng.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 3\). Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:
\({u_n} = {2.3^{n - 1}}\).
\({u_n} = {2.3^n}\).
\({u_n} = {3.2^n}\).
\({u_n} = {3.2^{n - 1}}\).
Chọn A
Ta có \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = {2.3^{n - 1}}\).
Cho hàm số\(f\left( x \right) = \frac{{2023x + 2024}}{{{x^2} - 6x + 8}} + \sqrt {x - 3} \) . Khi đó hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên các khoảng nào sau đây?
\[\left( {3;4} \right)\].
\[\left( {3; + \infty } \right)\].
\[\left( { - \infty ;2} \right)\].
\[\left( {2;4} \right)\].
Chọn A
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2023x + 2024}}{{{x^2} - 6x + 8}} + \sqrt {x - 3} \) là \(\left[ {3;4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\). Vì vậy hàm số liên tục trên khoảng \[\left( {3;4} \right)\].
Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài kiểm tra đánh giá thường xuyên ( đơn vị: phút) của một số học sinh thu được kết quả sau:
Thời gian (phút) | \(\left[ {10;11} \right)\) | \(\left[ {11;12} \right)\) | \(\left[ {12;13} \right)\) | \(\left[ {13;14} \right)\) | \(\left[ {14;15} \right)\) |
Số học sinh | 1 | 2 | 5 | 12 | 20 |
Thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài kiểm tra của các em học sinh là:
\(14,5\).
\(13,7\).
\(10,5\).
\(12,3\).
Chọn B
Gọi \(\overline x \)là giá trị trung bìnhcủa bảng phân bố tần số trên. Ta có\(\overline x = \frac{{10,5 + 2.11,5 + 5.12,5 + 12.13,5 + 20.14.5}}{{40}} = 13,725\) . Vậy \(\overline x = 13,7\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\). Hình chiếu song song của điểm \(M\) theo phương \(AC\) lên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là điểm nào sau đây?
Trung điểm của \(BD\).
Trung điểm của \(CD\).
Trọng tâm tam giác \(BCD\).
Điểm\(D\).
Chọn B
Từ \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(CD\) tại \(N\)thì \(N\)là hình chiếu song song của điểm \(M\) theo phương \(AC\) lên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Vì \(M\) là trung điểm của \(AD\)nên \(N\) là trung điểm của \(CD\)
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 3x - 4} \right)\) ta được kết quả bằng
\(0\).
\(6\).
\(1\).
\(4\).
Chọn B
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 3x - 4} \right) = 6\)
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của \(20\) học sinh lớp lá như sau:
Chiều cao (cm) | \(\left[ {70;79} \right)\) | \(\left[ {79;88} \right)\) | \(\left[ {88;97} \right)\) | \(\left[ {97;106} \right)\) | \(\left[ {106;115} \right)\) |
Số học sinh | 1 | 2 | 4 | 10 | 3 |
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({M_e} = \frac{{907}}{{10}}\).
\({M_e} = \frac{{997}}{{10}}\).
\({M_e} = \frac{{1087}}{{10}}\).
\({M_e} = \frac{{1123}}{{10}}\).
Chọn B
Cỡ mẫu là 20, gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{20}}\)là chiều cao của 20 học sinh đã được xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó trung vị \({M_e} = \frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\). Nhóm chứa Trung vị là nhóm thứ 4 vậy ta có:\({M_e} = 97 + \frac{{10 - 7}}{{10}}\left( {106 - 97} \right) = \frac{{997}}{{10}}\)
Cho hình chóp\(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(SA,SC,BC\) và \(AB\). Khẳng dịnh nào sau đây đúng?
\(MN\) và \(PQ\) cắt nhau.
\(MN\) và \(PQ\) chéo nhau.
\(MN//\left( {SBD} \right)\).
\(MN//PQ\).
Chọn D
Ta có \[MN//AC,PQ//AC \Rightarrow MN//PQ\].
Biết \(m\) có giá trị thỏa mãn để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x \le 1\\\frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x > 1\,.\end{array} \right.\) liên tục trên R. Khẳng định nào đúng?
\(m \in \left( { - 5; - 2} \right)\).
\(m \in \left( {3;8} \right)\).
\(m \in \left( {2;5} \right)\).
\(m \in \left( { - 2;2} \right)\).
Chọn D
Ta có: \(f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\). Hàm số liên tục trên \(R\) khi và chỉ khi hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = 3\) nên hàm số liên tục trên \(R\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \Leftrightarrow 2 + m = 3 \Leftrightarrow m = 1\). Vậy \(m \in \left( { - 2;2} \right)\).
Cho hình chóp \(SABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\). Khẳng định nào sao đây đúng?
\(CM\)và \(BD\) cắt nhau.
\(CM\)và \(AD\) cắt nhau.
\(CM\)và \(SO\) cắt nhau.
\(CM\)và \(SB\) cắt nhau.
Chọn C
Ta có \(CM,\,SO\) là hai đường trung tuyến trong tam giác \(SAC\) nên \(CM,\,SO\)cắt nhau.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(ABCD\)\(\left( {AD//BC} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm \(CD\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MSB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là:
\[SO\], \[O\] là giao điểm \[AC\] và \[BD\].
\[SI\], \[I\] là giao điểm \[AC\] và \[BM\].
\[SP\], \[P\] là giao điểm \[AB\] và \[CD\].
\[SJ\], \[J\] là giao điểm \[AM\] và \[BD\].
Chọn B
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), \(AC\)cắt \(BM\) tại \(I\). \(\left( {MSB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SI\).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0\,,\,\,\forall k\).
Ta nói dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] có giới hạn là số \[a\] (hay \[{u_n}\] dần tới \[a\]) khi \[n \to + \infty \], nếu \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + a} \right) = 0\].
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{c}{n} = 0\)(\(c\)là hằng số).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0,\) với \(\left| q \right| > 1\)
Chọn C
Khảo sát khối lượng 30 củ khoai tây ngẫu nhiên thu hoạch được ở một nông trường
Khối lượng (gam) | Số củ khoai tây |
[70;80) [80;90) [90;100) [100;110) [110;120) | 4 5 12 6 3 |
Cộng | 30 |
Số củ khoai tây đạt chuẩn loại I (từ 90 gam đến dưới 100 gam) là
\(6\).
\(12\).
\[5\].
\[4\].
Chọn B
Trong Hình 57, khi cắt bánh sinh nhật, mặt cắt và mặt khay đựng bánh lần lượt gợi nên hình ảnh mặt phẳng \(\left( Q \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\); mép trên và mép dưới của lát cắt lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong đó \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Cho biết hai đường thẳng \(a,b\) xảy ra trường hợp nào
a và b không đồng phẳng.
a và b cắt nhau.
a và b song song .
a và b chéo nhau.
Chọn C
Giá trị của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 - 5x - {x^3}}}{{{x^3} - x + 1}}\] bằng
\[ - 1\].
\(1\).
\( - \infty \).
\(0\).
Chọn A
Biết rằng \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sqrt {2x + 1} - \sqrt[3]{{{x^2} + x + 8}}}}{x} = \frac{a}{b}\] với \[a,\,b \in \mathbb{Z}\], \[b > 0\] và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(a - 2b\).
\(10\).
\( - 1\).
\(11\).
\( - 11\).
Chọn B
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sqrt {2x + 1} - \sqrt[3]{{{x^2} + x + 8}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sqrt {2x + 1} - 2 + 2 - \sqrt[3]{{{x^2} + x + 8}}}}{x}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\left( {\sqrt {2x + 1} - 1} \right) + \left( {2 - \sqrt[3]{{{x^2} + x + 8}}} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\left( {\sqrt {2x + 1} - 1} \right)}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {2 - \sqrt[3]{{{x^2} + x + 8}}} \right)}}{x}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\left( {\sqrt {2x + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {2 - \sqrt[3]{{{x^2} + x + 8}}} \right)\left( {4 + 2\sqrt[3]{{{x^2} + x + 8}} + \sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + x + 8} \right)}^2}}}} \right)}}{{x\left( {4 + 2\sqrt[3]{{{x^2} + x + 8}} + \sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + x + 8} \right)}^2}}}} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4x}}{{x\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{8 - \left( {{x^2} + x + 8} \right)}}{{x\left( {4 + 2\sqrt[3]{{{x^2} + x + 8}} + \sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + x + 8} \right)}^2}}}} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{4}{{\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 1 - x}}{{\left( {4 + 2\sqrt[3]{{{x^2} + x + 8}} + \sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + x + 8} \right)}^2}}}} \right)}} = 2 - \frac{1}{{12}} = \frac{{23}}{{12}}\]
Vậy \(a = 23,\,b = 12\). \(a - 2b = - 1\).
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(\left( {m;n} \right),a \in \left( {m;n} \right)\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a).\)
Hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = f(a).\)
Hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = f(a).\)
Hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \(x = a\) khi và chỉ khi\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x).\)
Chọn C
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2023\) và \({u_n} = {u_{n - 1}} - 3\) với \(n \ge 2\), \(n \in \mathbb{N}\). Số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho là
\({u_n} = 3n + 2026\,\,\left( {n \ge 2,n \in \mathbb{N}} \right)\).
\({u_n} = 3n + 2014\,\,\left( {n \ge 2,n \in \mathbb{N}} \right)\).
\({u_n} = - 3n + 2020\,\,\left( {n \ge 2,n \in \mathbb{N}} \right)\).
\({u_n} = - 3n + 2026\,\,\left( {n \ge 2,n \in \mathbb{N}} \right)\).
Chọn D
Ta có \({u_1} = 2023,\,d = - 3\). Nên \({u_n} = 2023 + \left( {n - 1} \right)\,d = 2023 - 3\left( {n - 1} \right)\, = 2026 - 3n\).
Vậy \({u_n} = - 3n + 2026\,\,\left( {n \ge 2,n \in \mathbb{N}} \right)\).
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[{G_1}\] và \[{G_2}\] lần lượt là trọng tâm các tam giác \[BCD\] và \[ACD\]. Chọn mệnh đề sai?
\[{G_1}{G_2}{\rm{//}}\left( {ABC} \right)\].
\[{G_1}{G_2} = \frac{1}{3}AB\].
\[B{G_1}\], \[A{G_2}\] và \[CD\] đồng qui.
\[{G_1}{G_2}\]và AD chéo nhau.
Chọn B
Ta có\[{G_1}{G_2} = \frac{1}{3}AB\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm của \(SB\). \(I\) là giao điểm của \(DM\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\). Khẳng định nào sao đây đúng?
\(DM = 2ID\).
\(ID = 3IM\).
\(ID = IM\).
\(ID = 2IM\).
Chọn D
Ta có\(I\) là trọng tâm của tam giác \(SBD\) nên \(ID = 2IM\).
Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = \frac{{{n^2} + n + 6}}{{{n^2} + 1}}\). Mệnh đề đúng là
\(\lim {u_n} = 2\).
\(\lim {u_n} = 3\).
\(\lim {u_n} = 6\).
\(\lim {u_n} = 1\).
Chọn D
Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
\(2;5;8;11;14.\)
\(15;10;5;0; - 4.\)
\(1;2;3;4;5;7.\)
\(2;4;8;10;14.\)
Chọn A
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết điều nào sau đây?
Một đường thẳng và một điểm thuộc nó.
Ba điểm mà nó đi qua.
Hai đường thẳng nằm trên mặt phẳng.
Ba điểm không thẳng hàng.
Chọn D
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) có \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\); \({v_n} = \frac{3}{{n + 3}}\). Tính \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\).
\(\frac{1}{3}\).
\( + \infty \).
\(0\).
\(3\).
ChọnA
\(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \lim \frac{{n + 3}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{3}\).
Gọi \(S\)là tập hợp các tham số nguyên \[a\] thỏa mãn \[\lim \left( {\frac{{3n + 2}}{{n + 2}} + {a^2} - 4a} \right) = 0\]. Tổng các phần tử của \[S\] bằng
\(2\).
\(4\).
\(5\).
\(3\).
Chọn B
\[\lim \left( {\frac{{3n + 2}}{{n + 2}} + {a^2} - 4a} \right) = 0 \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 3\end{array} \right.\]. Vậy \(S = 4\).
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} - x}}{{2x - 1}}\)ta được kết quả bằng
\(0\).
\( - \infty \).
\( - 1\).
\( - \frac{1}{2}\).
Chọn C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} - x}}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} - x}}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} - 1}}{{2 - \frac{1}{x}}} = - 1\)
Trong các dãy số sau, dãy nào lập thành một cấp số nhân?
\[4;\,3;\,2;\,1;\,0\].
\[1;3;5;7;9\].
\[16;8;4;2;1\].
\[1;2;4;8;10\].
Chọn C
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(SA\) và \(SC\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) là
đường thẳng \(d\) qua \(B\) song song với \(MN\) và \(AC\).
đường thẳng \(AB\).
đường thẳng \(SO\).
đường thẳng \(BD\).
Chọn A
Hai mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) có điểm \(B\)chung và lần lượt chứa hai đường thẳng song song \(MN\)và\(AC\) nên giao tuyến của chúng là đường thẳng \(d\) qua \(B\) song song với \(MN\) và \(AC\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {a{x^2} + 1} - bx - 2}}{{4{x^3} - 3x + 1}}\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ne \frac{1}{2}\\\frac{c}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\,,\,\,\left( {a,\,b,\,c \in \mathbb{R}} \right)\). Biết hàm số liên tục tại \(x = \frac{1}{2}\)Tính \(S = abc\).
\(S = - 18\).
\(S = - 36\).
\(S = 36\).
\(S = 18\).
Chọn B
Vì hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = \frac{1}{2}\)nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{\sqrt {a{x^2} + 1} - bx - 2}}{{4{x^3} - 3x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{\sqrt {a{x^2} + 1} - bx - 2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} = \frac{c}{2}\). Do đótử thức nhận \(x = \frac{1}{2}\)làm nghiệm kép.
Vậy yêu cầu bài toán tương đương với \(a,\,\,b\) phải thoả mãn các điều kiện: \(\sqrt {\frac{{a + 4}}{4}} - \frac{b}{2} - 2 = 0\) (1) và \(\sqrt {a{x^2} + 1} - bx - 2 = 0\) (2) có nghiệm kép \(x = \frac{1}{2}\)
(2) \( \Leftrightarrow \sqrt {a{x^2} + 1} - bx - 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {a{x^2} + 1} = bx + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + 1 = {\left( {bx + 2} \right)^2}\\\frac{b}{2} + 2 \ge 0\end{array} \right.\)có nghiệm kép\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + 1 = {\left( {bx + 2} \right)^2}\\\frac{b}{2} + 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + 1 = {b^2}{x^2} + 4bx + 4\\\frac{b}{2} \ge - 2\end{array} \right.\)có nghiệm kép.
Pt \(\left( {a - {b^2}} \right){x^2} - 4bx - 3 = 0\) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne {b^2}\\4{b^2} + 3\left( {a - {b^2}} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow {b^2} + 3a = 0\) (3). Kết hợp (1) và (3) ta có hpt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{a + 4}}{4} = {\left( {\frac{b}{2} + 2} \right)^2}\\{b^2} + 3a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {b^2} + 8b + 12\\{b^2} + 3a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {b^2} + 8b + 12\\{\left( {b + 3} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = - 3\end{array} \right.\).
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{\sqrt { - 3{x^2} + 1} + 3x - 2}}{{4{x^3} - 3x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{\sqrt { - 3{x^2} + 1} + 3x - 2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{\sqrt { - 3{x^2} + 1} + 3x - 2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{\left( {\sqrt { - 3{x^2} + 1} + 3x - 2} \right)\left( {\sqrt { - 3{x^2} + 1} - 3x + 2} \right)}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt { - 3{x^2} + 1} - 3x + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{ - 3{x^2} + 1 - 9{x^2} + 12x - 4}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt { - 3{x^2} + 1} - 3x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{ - 12{x^2} + 12x - 3}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt { - 3{x^2} + 1} - 3x + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{ - 3{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt { - 3{x^2} + 1} - 3x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{ - 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt { - 3{x^2} + 1} - 3x + 2} \right)}} = - 2\).
Vậy\(c = - 4\), \(abc = - 36\).
Hàm số nào dưới đây liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)?
\(y = 2x + 1\).
\(y = \sqrt {x + 3} \).
\(y = x - \frac{4}{x}\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\).
Chọn A
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
\(\left( {BDA'} \right)\).
\(\left( {BCA'} \right)\).
\(\left( {A'C'C} \right)\) .
\(\left( {BC'D} \right)\).
Chọn D
Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 3}}\,\,\,khi{\rm{ }}\,x \ne 3\\\,\,\,\,4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi{\rm{ }}\,x = 3\end{array} \right.\) tại \(x = 3\)
Ta có \(x = 3\), thì \(f(3) = 4\).
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x + 1)(x - 3)}}{{x - 3}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x + 1) = 4\].
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = f(3) = 4\] nên \(f(x)\) liên tục tại điểm \(x = 3\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\], đáy là hình bình hành tâm \[O\]. Gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[SA\] và \[CD\].
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \[\left( {OMN} \right)\]với các mặt của hình chóp.
b) Chứng minh \(\left( {OMN} \right)//\left( {SBC} \right)\)
a. \[\left( {OMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = ON\].
Trong mp\(\,\left( {ABCD} \right)\) ta có \[ON \cap AB = E\].
\[\left( {OMN} \right) \cap \left( {SAB} \right) = ME\]. Giao tuyến của mp\[\left( {OMN} \right)\] và mp\[\left( {SAD} \right)\] là \(MI\), \(MI//AD\), \(I \in SD\)
\[\left( {OMN} \right) \cap \left( {SAD} \right) = MI\], \[\left( {OMN} \right) \cap \left( {SCD} \right) = NI\].
Các đoạn giao tuyến trên tạo nên tứ giác \[MINE\].
b. Do \(O,M\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,SA\) nên \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\)nên \(OM//SC \Rightarrow OM//\left( {SBC} \right)\) (1)
Tương tự \(ON//BC \Rightarrow ON//\left( {SBC} \right)\) (2)
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \(\left( {OMN} \right)//\left( {SBC} \right)\).
Tính: \(\lim \left[ {\frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + \ldots + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n + n\sqrt {\left( {n + 1} \right)} }}} \right]\).
Ta có \(\lim \left[ {\frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + \ldots + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n + n\sqrt {\left( {n + 1} \right)} }}} \right]\) \( = \lim \left[ {\frac{{2\sqrt 1 - 1\sqrt 2 }}{{2.1}} + \frac{{3\sqrt 2 - 2\sqrt 3 }}{{3.2}} + \ldots + \frac{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n - n\sqrt {n + 1} }}{{\left( {n + 1} \right).n}}} \right]\)\( = \lim \left[ {\sqrt 1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \ldots + \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right] = \lim \left[ {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right] = 1\)
