Đề thi cuối kì 1 Toán 11 THPT Đông Hà (Quảng Trị) năm 2023-2024 (có đáp án)
32 câu hỏi
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[{G_1}\] và \[{G_2}\] lần lượt là trọng tâm tam giác \[BCD\] và tam giác \[ACD\]. Chọn khẳng định sai.
\[B{G_1}\], \[A{G_2}\] và \[CD\] đồng qui.
\[{G_1}{G_2} = \frac{2}{3}AB\].
\[{G_1}{G_2}\parallel \left( {ABD} \right)\].
\[{G_1}{G_2}\parallel \left( {ABC} \right)\].
Chọn B
Xét tam giác \[ABE\] ta có \[\frac{{E{G_2}}}{{EA}} = \frac{{E{G_1}}}{{EB}} \Leftrightarrow {G_1}{G_2}\parallel AB\] (Theo định lý Ta – Let trong tam giác)
Mà \[AB \subset \left( {ABD} \right)\] suy ra \[{G_1}{G_2}\parallel \left( {ABD} \right)\].
Dãy số nào sau đây có giới hạn là \[0\] khi \[n \to + \infty \]?
\[{u_n} = {n^2} - 4{n^3}\].
\[{u_n} = \frac{{3{n^3} - {n^4}}}{{{n^7} + 1}}\].
\[{u_n} = 4{n^2} - 3n\].
\[{u_n} = \frac{{{n^2}}}{{2{n^2} + 1}}\].
Chọn B
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } = \frac{{3{n^3} - {n^4}}}{{{n^7} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } = \frac{{\frac{3}{n} - 1}}{{{n^3} + \frac{1}{{{n^4}}}}} = 0\]
Trong các hàm số sau hàm số nào không liên tục trên\[\mathbb{R}\]
\(y = {x^3} - 3{x^6} - 2\).
\(y = \sqrt {{x^2} + 2} \).
\(y = \frac{3}{x}\).
\(y = \sin 2x + \cos 2x\).
Chọn C
Hàm số \(y = \frac{3}{x}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) nên hàm số \(y = \frac{3}{x}\)nào không liên tục trên\[\mathbb{R}\].
Tính\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {2 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}} \right]\]
\[0\].
\[2\].
\[3\].
\[1\].
Chọn B
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {2 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 2 + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 2 + 0 = 2\].
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\left( {AA'D'D} \right)\;\parallel \;\left( {BCC'B'} \right)\).
\(\left( {ABCD} \right)\;\parallel \;\left( {A'B'C'D'} \right)\).
\(\left( {ABB'A'} \right)\;\parallel \;\left( {CDD'C'} \right)\).
\(\left( {BDD'B'} \right)\;\parallel \;\left( {ACC'A'} \right)\).
Chọn D
\(\left( {BDD'B'} \right)\;\)và \(\;\left( {ACC'A'} \right)\) cắt nhau theo giao tuyến \(OO'\).
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {BA'C'} \right)\).
\(\left( {BDA'} \right)\).
\(\left( {ACD'} \right)\).
\(\left( {C'BD} \right)\).
Chọn D
Xét hai mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) và \(\left( {C'BD} \right)\), ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}BD\parallel B'D'\\AB'\parallel DC'\\AD'\parallel BC'\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AB'D'} \right)\parallel \left( {C'BD} \right)\)
Cho \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} + 3x - 2) = a,\mathop {\,\,\,\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{4 - 2x}}{{3x - 2}} = b.\]Tính\[a + b\].
\[ + \infty \].
\[10\].
\[6\].
\[8\].
Chọn B
Ta có
\[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} + 3x - 2) = 8\\\mathop {\,\,\,\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{4 - 2x}}{{3x - 2}} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 10\]
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(AB\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(MN\parallel BD\).
\(MN\) cắt \(BC\).
\(MN\parallel \left( {SAB} \right)\).
\(MN\parallel \left( {SBC} \right)\).
Chọn D
Xét \(\Delta SAB\), ta có \(MN\parallel SB\) (theo tính chất đường trung bình trong tam giác)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}SB \subset \left( {SBC} \right)\\MN \notin \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\) nên \(MN\parallel \left( {SBC} \right)\)
Tính\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3{x^2} - 5x - 1}}{{1 - x}}\]
\(0\).
\( - 3\).
\( + \infty \).
\( - \infty \).
Chọn D
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 - x} \right) = 0,1 - x > 0\] với mọi \(x < 1\)và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {3{x^2} - 5x - 1} \right) = - 3 < 0\]. Do đó \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3{x^2} - 5x - 1}}{{1 - x}} = - \infty \].
Cho đường thẳng \(a\) nằm trong \(mp\left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(b \not\subset \left( \alpha \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Nếu \(b\parallel \left( \alpha \right)\) thì \(b\parallel a\).
Nếu \(b\) không có điểm chung với \(\left( \alpha \right)\) thì \(a\), \(b\) chéo nhau.
Nếu \(b\parallel a\) thì \(b\parallel \left( \alpha \right)\).
Nếu \(b\) cắt \(\left( \alpha \right)\) thì \(b\) cắt \(a\).
Chọn C
Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?
Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.
Chọn D
Qua phép chiếu song song, tính chất nào không được bảo toàn?
Thẳng hàng.
Chéo nhau.
Song song.
Đồng qui.
Chọn B
Cho đường thẳng \(a \subset \left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(b \subset \left( \beta \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right) \Rightarrow a\parallel b\).
\(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right) \Rightarrow a\parallel \left( \beta \right)\)và \(b\parallel \left( \alpha \right)\).
a và b chéo nhau.
\(a\parallel b \Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\).
Chọn B
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x khi x khác 1 2mx + 5 khi x = 1 . Tìm giá trị của m sao cho hàm số liên tuch tại x0 = 1
\(m = \frac{7}{2}\).
\(m = \frac{{ - 3}}{2}\).
\(m = \frac{{ - 7}}{2}\).
\(m = \frac{3}{2}\).
Chọn B
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2x} \right) = 2\]; \[f\left( 1 \right) = 2m + 5\]
Hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục tại \({x_o} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2m + 5 = 2 \Leftrightarrow m = - \frac{3}{2}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \({\rm{\Delta }}\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\). Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) song song với đường thẳng nào dưới đây?
Đường thẳng \(AD\).
Đường thẳng \(SA\).
Đường thẳng \(AC\).
Đường thẳng \(AB\).
Chọn A
Ta có: \(AD\parallel BC\) và \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = S\) nên đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) song song \(AD\) và \(BC\).
Trong không gian, phát biểu nào dưới đây đúng?
Một đường thẳng và một mặt phẳng có tối đa một điểm chung.
Qua hai điểm có một và chỉ một mặt phẳng.
Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng sẽ có vô số điểm chung.
Qua ba điểm không thẳng hàng có vô số mặt phẳng.
Chọn C
Cho dãy số \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}};...\). Số hạng tổng quát của dãy số này là
\({u_n} = \frac{{ - 1}}{{{2^n}}}\).
\({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\).
\({u_n} = \frac{1}{{{{\left( { - 2} \right)}^n}}}\).
\({u_n} = \frac{1}{n}\).
Chọn B
Ta có: dãy số \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}};...\). Là một cấp số nhân với \({u_1} = \frac{1}{2}\) và \(d = \frac{1}{{{2^n}}}\)
nên \({u_n} = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{{2^n}}}\)
Trong không gian cho tứ diện \[ABCD\]. \[M,N\]lần lượt là trung điểm \[DA,\,DC\]. Cặp đường thẳng nào sau đây chéo nhau?
\[AD\]và \[MB\].
\[MN\]và \[BC\].
\[BN\]và \[CD\].
\[MN\] và \[AC\].
Chọn B
Ta có \[MN\]và \[BC\] không cùng nằm trong một mặt phẳng, suy ra \[MN\]và \[BC\] chéo nhau.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_3} = 2\), công bội \(q = 4\). Tìm \({u_4}\)
\({u_4} = 12\).
\({u_4} = 10\)
\({u_4} = 32\).
\({u_4} = 8\).
Chọn D
Ta có: \({u_4} = {u_3}.q = 2.4 = 8\).
Hình nào trong các hình sau là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác?
Hình \(1\).
Hình \(2\).
Hình \(3\).
Hình \(4\).
Chọn A
Tìm công sai \[d\]của cấp số cộng\[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = - 3;\,\,{u_2} = 3\]
\(d = 6\).
\(d = 0\).
\(d = 8\).
\(d = - 6\).
Chọn A
Ta có: \[d = {u_2} - {u_1} = 3 - \left( { - 3} \right) = 6\].
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
\(y = \cot x + \tan x\).
\(y = \tan x + x\).
\(y = \cos x + {x^2}\).
\(y = \sin x\).
Chọn C
Ta có \(y = \cos x\) và hàm số \(y = {x^2}\) hàm số chẵn nên \(y = \cos x + {x^2}\).
Khảo sát về thời gian xem tivi trong tuần trước (đơn vị: giờ) của một số học sinh thu được kết quả sau:
Thời gian (giờ) | \[\left[ {0;\;4} \right)\] | \[\left[ {4;\,8} \right)\] | \[\left[ {8;\;12} \right)\] | \[\left[ {12;\,16} \right)\] | \[\left[ {16;\,20} \right)\] |
Số học sinh | 3 | 15 | 10 | 8 | 4 |
Tính tổng số học sinh được khảo sát.
\(41\).
\(5\).
\(20\).
\(40\).
Chọn D
Tổng số học sinh được khảo sát là: \[3 + 15 + 10 + 8 + 4 = 40\].
Giải phương trình \(\cos x = \cos \frac{\pi }{4}\)
\(x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,{\rm{ }}(k \in \mathbb{Z})\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,{\rm{ }}(k \in \mathbb{Z})\).
\(x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,{\rm{ }}(k \in \mathbb{Z})\).
\(x = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi ,{\rm{ }}(k \in \mathbb{Z})\).
Chọn D
Ta có: \(\cos x = \cos \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi ,{\rm{ }}(k \in \mathbb{Z})\).
Chọn khẳng định đúng
\[\cot \left( {\pi - \alpha } \right) = \cot \alpha \].
\[\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = \sin \alpha \].
\[\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = \tan \alpha \].
\[\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = \cos \alpha \].
Chọn B
Ta có: \[\begin{array}{l}\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha \\\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = - \tan \alpha \\\cot \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cot \alpha \end{array}\].
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2\) và công sai \(d = 1.\) Gọi \({S_5}\) là tổng \(5\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\({S_5} = 5\).
\({S_5} = 10\).
\({S_5} = 20\).
\({S_5} = 15\).
Chọn C
\({S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.d \Rightarrow {S_5} = 5.2 + \frac{{5\left( {5 - 1} \right)}}{2}.1 = 20\).
Hai đường thẳng trong không gian có bao nhiêu vị trí tương đối?
\(3\).
\(2\).
\(5\).
\(4\).
Chọn D
Hai đường thẳng trong không gian có \(4\)vị trí tương đối: Cắt nhau, song song, trùng nhau, chéo nhau.
Trong mẫu số liệu ghép nhóm, số đặc trưng nào sau đây chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa \(50\% \) giá trị?
Tứ phân vị.
Số trung vị.
Mốt.
Số trung bình.
Chọn B
Cho \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \]. Chọn khẳng định đúng
\[\sin a > 0\], \[cosa < 0\].
\[\sin a < 0\], \[cosa > 0\].
\[\sin a > 0\], \[\cos a > 0\].
\[\sin a < 0\], \[cosa < 0\].
Chọn A
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Qua đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng xác định một mặt phẳng.
Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.
Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng.
Qua 4 điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.
Chọn D
Tính các giới hạn sau
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} - n - 2}}{{{n^2} + n}}\) b)\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2 - \sqrt {x + 1} }}{{{x^2} - 9}}.\] c) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{13}}{{1 - {x^{13}}}} - \frac{1}{{1 - x}}} \right).\]
a) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} - n - 2}}{{{n^2} + n}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2 - \frac{1}{n} - 2.\frac{1}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{{2 - 0 - 0}}{{1 + 0}} = 2\).
b) Ta có
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2 - \sqrt {x + 1} }}{{{x^2} - 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{4 - (x + 1)}}{{(x - 3)(x + 3)(2 + \sqrt {x + 1} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - (x - 3)}}{{(x - 3)(x + 3)(2 + \sqrt {x + 1} )}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 1}}{{(x + 3)(2 + \sqrt {x + 1} )}} = \frac{{ - 1}}{{24}}\\\end{array}\]
c) Ta có
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{13}}{{1 - {x^{13}}}} - \frac{1}{{1 - x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{13 - (1 + x + {x^2} + ... + {x^{12}})}}{{1 - {x^{13}}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{12 - x - {x^2} - ... - {x^{12}}}}{{1 - {x^{13}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - x + 1 - {x^2} + ... + 1 - {x^{12}}}}{{1 - {x^{13}}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(1 - x)\left[ {1 + (1 + x) + (1 + x + {x^2}) + ... + (1 + x + {x^2} + ... + {x^{11}})} \right]}}{{(1 - x)(1 + x + {x^2} + ... + {x^{12}})}}\end{array}\]
\[\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 + (1 + x) + (1 + x + {x^2}) + ... + (1 + x + {x^2} + ... + {x^{11}})}}{{(1 + x + {x^2} + ... + {x^{12}})}}\\ = \frac{{1 + 2 + 3 + ... + 12}}{{13}} = \frac{{13.6}}{{13}} = 6\end{array}\]
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình thang với đáy lớn \(AB,\,AB = 3CD\). Gọi \[I, J,\,K\]lần lượt là trung điểm \(SA,\,SB,BC.\)
a) Tìm giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right).\)
b) Chứng minh \[IJ\parallel \left( {SCD} \right)\].
c) Lấy \(M\)là điểm nằm giữa \(S,J\); \(N\)là điểm nằm trên cạnh \(AB\) sao cho\(AN = 2NB\). Xác định giao điểm của \(ID\) và mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\).
a) Tìm giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right).\)
\[S \in (SAC) \cap (SBD)\,\,(1)\]
\[\begin{array}{l}Trong\,(ABCD)\,:AC \cap \,BD = O\\\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \Rightarrow O \in (SAC)\\O \in BD \Rightarrow O \in (SBD)\end{array} \right. \Rightarrow O \in (SAC) \cap (SBD)\,\,(2)\end{array}\]
Từ \[\,(1),\,(2)\,\]\[ \Rightarrow (SAC) \cap (SBD) = SO\].
b) Chứng minh \[IJ\parallel \left( {SCD} \right)\].
Ta có\[\,IJ \not\subset (SCD)\,(3)\]
\(CD \subset (SCD)\,(4)\)
Mà\[{\rm{ }}IJ\parallel AB\,\,\](\[IJ\,\]là đường trung bình của \[\Delta SAB\]),\[CD\parallel AB\,\,\]( giả thiết )\[ \Rightarrow IJ\parallel CD\,(5)\]
Từ \[\,(3),\,(4)\,,(5)\]\[ \Rightarrow IJ{\rm{//}}(SCD)\].
c) Xác định giao điểm của \(ID\) và mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\).
*\[Trong\,\left( {SAB} \right)\,:SA \cap \,MN = H \Rightarrow H \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNK} \right)\,\,(6)\]
Lấy \[P\,\]là trung điểm\[AN\].
\[{\rm{ + }}KN\parallel CP\,\,\](\[KN\]là đường trung bình của \[\Delta BCP\] ) ,\[CP\parallel AD\,\,\]( \[APCD\] là hình bình hành vì có cặp cạnh đối \[AP\] và \[CD\]song song và bằng nhau )\[ \Rightarrow KN\parallel AD\,(7)\]
+\[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{KN}} \subset \left( {KMN} \right)\\AD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right.(8)\]
Từ \[(\,6),(7),(8)\]\[ \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNK} \right) = d(d\,\,qua\,H,d{\rm{//}}AD,{\rm{//}}KN)\]
\[\begin{array}{l} + DI \subset \left( {SAD} \right)\\ + \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNK} \right)\, = d\\ + DI \cap d = Q\\\left\{ \begin{array}{l}Q \in DI\\Q \in d \subset \left( {MNK} \right) \Rightarrow Q \in \left( {MNK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow DI \cap \left( {MNK} \right) = Q\end{array}\]
