Đề thi cuối kì 1 Toán 11 THPT Chuyên Trần Phú (Hải Phòng) chuyên năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn C

Ta có \({u_4} = {u_1}.{q^3}\)

\(64 = 1.{q^3}\)

\(q = 4\).

Chọn A

Trong \(\left( {BCD} \right)\), gọi \(K = MN \cap CD\) suy ra \(K = MN \cap \left( {ACD} \right)\).

Chọn A

Ta có \(O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\) nên\(O\)nằm trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Chọn D

Xét \(\Delta SAB\) có \(J,{\rm{ }}I\) lần lượt là trung điểm của \(SB,\;SA\) nên \(JI\) là đường trung bình của \(\Delta SAB\)

Suy ra \(JI{\rm{ // }}BA\).

Mặt khác \(ABCD\)là hình bình hành nên \(BA{\rm{ // }}CD\)

Vậy \(JI{\rm{ // }}BA{\rm{ // }}CD\).

Chọn B

Để dãy số là một cấp số cộng thì từ số hạng thứ hai trở đi sẽ bằng số hạng trước cộng với một hằng số không đổi \(d\)(công sai)

Phương án A không phải là một cấp số cộng vì \(\left( { - 2} \right) - 1 \ne \left( { - 4} \right) - \left( { - 2} \right)\).

Phương án B là một cấp số cộng vì \(\left( { - 3} \right) - 1 = \left( { - 7} \right) - \left( { - 3} \right) = \left( { - 11} \right) - \left( { - 7} \right) = \left( { - 15} \right) - \left( { - 11} \right) = - 4\)

Phương án C không phải là một cấp số cộng vì \(\left( { - 3} \right) - 1 \ne \left( { - 6} \right) - \left( { - 3} \right)\).

Phương án D không phải là một cấp số cộng vì \(\left( { - 3} \right) - 1 \ne \left( { - 5} \right) - \left( { - 3} \right)\).

Chọn D

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản sin là

\(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn B

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3x - 1} \right) = 3.2 - 1 = 5\).

Chọn A  

\(\begin{array}{l}\cos x = 1\\ \Leftrightarrow x = k2\pi ,\;k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Chọn D

Nếu \(b{\rm{ // }}\left( \alpha \right)\) và mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa \[b\] thì \(\left( \beta \right)\) sẽ cắt \[\left( \alpha \right)\] theo giao tuyến là đường thẳng song song với \[b\].

Chọn B

Ta có \({u_2} = {u_1} + d = 7 + 2 = 9\).

Chọn B

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0\).

Chọn C

Ta có \[{u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\], ba số hạng đầu của dãy số ứng với \({u_1} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2};\;{u_2} = \frac{1}{{2 + 1}} = \frac{1}{3};\;{u_3} = \frac{1}{{3 + 1}} = \frac{1}{4}\).

Chọn D

Ta thấy số học sinh có thời gian tập thể dục trong khoảng \(\left[ {40;\;60} \right)\) có số lượng đông nhất (\(12\) học sinh) nên nhóm \(\left[ {40;\;60} \right)\) chứa mốt của mẫu số liệu.

Chọn B

Hai điểm \[M,N\] biểu diễn các cung có số đo\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi \],\(k \in \mathbb{Z}\).

Chọn B

Dãy \(2,4,8,16,...\) là một cấp số nhân với \({u_1} = 2\) và \(q = 2\).

Chọn C

Công thức \[\cos \left( {a + b} \right) = \sin a\sin b - \cos a\cos b\] sai.

Sửa lại \[\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\].

Chọn A

Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng.

Chọn D

Từ đồ thị, hàm số liên tục trên \(\left( {1;\;4} \right)\).

Chọn D

Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {20;\;40} \right)\) là \(\frac{{20 + 40}}{2} = 30\).

Chọn C

\(\left( \alpha \right){\rm{ // }}\left( \beta \right)\) nên \[\left( \alpha \right)\]và \(\left( \beta \right)\) không có điểm chung.

Chọn C

Hàm số \(y = \frac{{\sin x + 1}}{{\sin x - 1}}\) xác định khi và chỉ khi \(\sin x - 1 \ne 0\)

\( \Leftrightarrow \sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn D

Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow 100 = - 5 + \left( {n - 1} \right).3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 105 = \left( {n - 1} \right).3\\ \Leftrightarrow n - 1 = 105:3 = 35\\ \Leftrightarrow n = 35 + 1 = 36\end{array}\)

Số \[100\] là số hạng thứ \(36\) của cấp số cộng.

Chọn A

Ta có\(S \in \left( {SBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\)

Mà\(BC{\rm{ // }}AD\) nên \(d = \left( {SBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\) là đường thẳng đi qua \(S\) và \(d{\rm{ // }}BC{\rm{ // }}AD\).

Chọn C

\[\tan x = 3 \approx \tan 1,249\]

\( \Leftrightarrow x = 1,249 + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có \(x \in \left( {0;3\pi } \right) \Rightarrow 0 < 1,249 + k\pi < 3\pi \)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 1,249}}{\pi } < k < \frac{{3\pi - 1,249}}{\pi }\)

Mà \(k \in \mathbb{Z}\)nên \(k \in \left\{ {0;\;1;\;2} \right\}\)

Vậy trên khoảng \(\left( {0;3\pi } \right)\) thì phương trình \[\tan x = 3\] có \(3\) nghiệm.

Chọn A

 

Trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\), gọi \(F = IJ \cap DC\)

Ta có\(F \in \left( {AIJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\) và\(A \in \left( {AIJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\) nên \(AF = \left( {AIJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\).

Chọn B

\[\begin{array}{l}C = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {2x + 3} - x}}{{{x^2} - 4x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x + 3 - {x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 3} + x} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 3} + x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2x + 3} + x} \right)}}\\ = \frac{{ - \left( {3 + 1} \right)}}{{\left( {3 - 1} \right)\left( {\sqrt {2.3 + 3} + 3} \right)}} = \frac{{ - 1}}{3}\end{array}\]

Chọn D

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{n^2} + 1} - \sqrt {n + 2} }}{{3n - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {\sqrt {9 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {\frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} } \right)}}{{n\left( {3 - \frac{3}{n}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {9 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {\frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} }}{{3 - \frac{3}{n}}} = \frac{{\sqrt 9 }}{3} = 3\]

Chọn D

Xét\(\Delta ACD\)có \(I,\;J\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\;AC\) nên \(IJ\) là đường trung bình của \(\Delta ACD\)

Suy ra \(IJ{\rm{ // }}CD\)

Ta có \(G \in \left( {IJG} \right) \cap \left( {BCD} \right)\) và \(IJ{\rm{ // }}CD\) nên \(d = \left( {IJG} \right) \cap \left( {BCD} \right)\) là đường thẳng qua \(G\) và \(d{\rm{ // }}IJ{\rm{ // }}CD\).

Chọn D

Tacó\({u_5} = {u_1}.{q^4} = 54\) và \({u_2} = {u_1}.q = - 2\)

Suy ra \(\frac{{{u_5}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_1}.{q^4}}}{{{u_1}.q}} \Rightarrow {q^3} = \frac{{54}}{{ - 2}} = - 27 \Rightarrow q = - 3\)

Thay vào \({u_2} = {u_1}.q = - 2\), suy ra \({u_1} = - 2:\left( { - 3} \right) = \frac{2}{3}\)

\[{S_{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = \frac{2}{3}.\frac{{1 - {{\left( { - 3} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - 3} \right)}} = \frac{{\frac{2}{3}.\left[ {1 - {3^{10}}} \right]}}{4}\]

Chọn A

Do \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình hộp nên \(BB'{\rm{ // }}DD';\;AB{\rm{ // }}C'D'\) và \(BB' = DD';\;AB = C'D'\)

Suy ra \(BB'D'D,\;ABC'D'\) là các hình bình hành

Suy ra \(AD'{\rm{ // }}BC';\;B'D'{\rm{ // }}BD\) hay \(AD'{\rm{ // }}\left( {BC'D} \right);\;B'D'{\rm{ // }}\left( {BC'D} \right)\)

Vậy \[\left( {AB'D'} \right){\rm{ // }}\left( {BC'D} \right)\].

Chọn B

Ta thấy có tất cả \(n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56\) học sinh được điều tra

Do đó số trung vị thuộc nhóm \(\left[ {15,5;\;18,5} \right)\), có \({n_m} = 15\) và \(C = 3 + 12 = 15\)

Số trung vị \({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 15,5 + \frac{{28 - 15}}{{15}}\left( {18,5 - 15,5} \right) = 18,1\).

Chọn C

Xét\(\Delta SAC\) có\(M,\;N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\;SC\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta SAC\)

Suy ra \(MN{\rm{ // }}AC\)

Mà \(AC \subset \left( {ABCD} \right)\) nên \(MN{\rm{ // }}\left( {ABCD} \right)\).

Chọn A

\({u_2} = 3.{u_1} + 2 = 3.\left( { - 1} \right) + 2 = - 1\)

\({u_3} = 3{u_2} + 3 = 3.\left( { - 1} \right) + 3 = 0\).

Chọn C

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + x} \right) = {1^2} + 1 = 2\); \(f\left( 1 \right) = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{m^2}x + 1} \right) = {m^2} + 1\)

Để hàm số liên tục tại \(x = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 2\)

Suy ra \({m^2} + 1 = 2 \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\)

Vậy \(S = 1 + \left( { - 1} \right) = 0\).

Chọn B

Theo lý thuyết về hai mặt phẳng song song ta có \(\left( P \right){\rm{ // }}\left( Q \right) \Rightarrow a{\rm{ // }}\left( Q \right)\)và\(b{\rm{ // }}\left( P \right)\).

Các trường hợp ở các ý A, C, D có trường hợp sai.

Đặt \({u_n} = {x_n} - \frac{3}{4},\forall n = 1,2, \ldots \) Khi đó \({u_{n + 1}} = {x_{n + 1}} - \frac{3}{4}\).

Thay vào giả thiết ta được

\({x_{n + 1}} - \frac{3}{4} = 5\left( {{x_n} - \frac{3}{4}} \right) + 3,\forall n = 1,2, \ldots \)

\( \Leftrightarrow {x_{n + 1}} = 5{x_n},\forall n = 1,2, \ldots \)

Vậy \(({x_n})\) là cấp số nhân có cộng bội \(q = 5\), số hạng đầu

\({x_1} = {u_1} + \frac{3}{4} = - 3 + \frac{3}{4} = - \frac{9}{4}.\)$

Do đó \({x_n} = {x_1}{q^{n - 1}} = - \frac{9}{4}{.5^{n - 1}},\forall n = 1,2, \ldots \)

Suy ra \({u_n} = - \frac{3}{4} - \frac{9}{4}{.5^{n - 1}},\forall n = 1,2, \ldots \)

Xét hàm số \(P(x) = {x^3} + nx - 1\) liên tục và tăng nghiêm ngặt trên \(\mathbb{R}\)

Ta có \(P(0) = - 1 < 0\) và \(P(1) = n \ge 1\), do đó tồn tại duy nhất \({a_n} \in [0,1]\) sao cho \(P\left( {{a_n}} \right) = 0\).

Ta có \(a_n^3 + n{a_n} - 1 = 0\) cho nên \[0 \le {a_n} = \frac{{1 - a_n^3}}{n} \le \frac{1}{n},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall n = 1,2, \ldots \]

Do \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\) nên từ \((*)\) suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a_n} = 0\).

Gọi \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép vị tự \({V_{(I, - 3)}}\), khi đó \(d'\) song song hoặc trùng với \(d\), do đó phương trình của \(d'\) có dạng \(d':2x - y + C = 0\).

Xét điểm \(M(0;1)\) thuộc \(d\). Giả sử \({V_{(I, - 3)}}(M) = M'\). Khi đó

\(\overrightarrow {IM'} = - 3\overrightarrow {IM} \Leftrightarrow \left( {{x_{M'}} - {x_I};{y_{M'}} - {y_I}} \right) = - 3\left( {{x_M} - {x_I};{y_M} - {y_I}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{M'}} - {x_I} = - 3({x_M} - {x_I}) = - 3}\\{{y_{M'}} - {y_I} = - 3({y_M} - {y_I}) = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{M'}} = - 4}\\{{y_{M'}} = 5.}\end{array}} \right.\)

Vậy \(M'( - 4;5)\). Mà \(M' \in d'\) nên \(2( - 4) - 5 + C = 0 \Leftrightarrow C = 13\).

Do đó ảnh của \(d\) qua \({V_{(I, - 3)}}\) là đường thẳng \(d':2x - y + 13 = 0\).