Đề thi cuối kì 1 Toán 11 THPT Chuyên Trần Phú (Hải Phòng) chuyên năm 2023-2024 (có đáp án)

Chọn B

Ta có \({u_2} = {u_1} + d = 7 + 2 = 9\).

Chọn B

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0\).

Chọn C

Ta có \[{u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\], ba số hạng đầu của dãy số ứng với \({u_1} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2};\;{u_2} = \frac{1}{{2 + 1}} = \frac{1}{3};\;{u_3} = \frac{1}{{3 + 1}} = \frac{1}{4}\).

Chọn D

Ta thấy số học sinh có thời gian tập thể dục trong khoảng \(\left[ {40;\;60} \right)\) có số lượng đông nhất (\(12\) học sinh) nên nhóm \(\left[ {40;\;60} \right)\) chứa mốt của mẫu số liệu.

Chọn B

Hai điểm \[M,N\] biểu diễn các cung có số đo \[x = \frac{\pi }{3} + k\pi \],\(k \in \mathbb{Z}\).

Chọn B

Dãy \(2,4,8,16,...\) là một cấp số nhân với \({u_1} = 2\) và \(q = 2\).

Chọn C

Công thức \[\cos \left( {a + b} \right) = \sin a\sin b - \cos a\cos b\] sai.

Sửa lại \[\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\].

Chọn A

Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng.

Chọn D

Từ đồ thị, hàm số liên tục trên \(\left( {1;\;4} \right)\).

Chọn D

Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {20;\;40} \right)\) là \(\frac{{20 + 40}}{2} = 30\).

Chọn C

\(\left( \alpha \right){\rm{ // }}\left( \beta \right)\) nên \[\left( \alpha \right)\] và \(\left( \beta \right)\) không có điểm chung.

Chọn C

Hàm số \(y = \frac{{\sin x + 1}}{{\sin x - 1}}\) xác định khi và chỉ khi \(\sin x - 1 \ne 0\)

\( \Leftrightarrow \sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn D

Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow 100 = - 5 + \left( {n - 1} \right).3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 105 = \left( {n - 1} \right).3\\ \Leftrightarrow n - 1 = 105:3 = 35\\ \Leftrightarrow n = 35 + 1 = 36\end{array}\)

Số \[100\] là số hạng thứ \(36\) của cấp số cộng.

Chọn A

Ta có \(S \in \left( {SBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\)

Mà \(BC{\rm{ // }}AD\) nên \(d = \left( {SBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\) là đường thẳng đi qua \(S\) và \(d{\rm{ // }}BC{\rm{ // }}AD\).

Chọn C

\[\tan x = 3 \approx \tan 1,249\]

\( \Leftrightarrow x = 1,249 + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có \(x \in \left( {0;3\pi } \right) \Rightarrow 0 < 1,249 + k\pi < 3\pi \)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 1,249}}{\pi } < k < \frac{{3\pi - 1,249}}{\pi }\)

Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;\;1;\;2} \right\}\)

Vậy trên khoảng \(\left( {0;3\pi } \right)\) thì phương trình \[\tan x = 3\] có \(3\) nghiệm.

Chọn A

Trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\), gọi \(F = IJ \cap DC\)

Ta có \(F \in \left( {AIJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\) và \(A \in \left( {AIJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\) nên \(AF = \left( {AIJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\).

Chọn B

\[\begin{array}{l}C = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {2x + 3} - x}}{{{x^2} - 4x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x + 3 - {x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 3} + x} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 3} + x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2x + 3} + x} \right)}}\\ = \frac{{ - \left( {3 + 1} \right)}}{{\left( {3 - 1} \right)\left( {\sqrt {2.3 + 3} + 3} \right)}} = \frac{{ - 1}}{3}\end{array}\]

Chọn D

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{n^2} + 1} - \sqrt {n + 2} }}{{3n - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {\sqrt {9 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {\frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} } \right)}}{{n\left( {3 - \frac{3}{n}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {9 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {\frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} }}{{3 - \frac{3}{n}}} = \frac{{\sqrt 9 }}{3} = 3\]

Chọn D

Xét \(\Delta ACD\) có \(I,\;J\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\;AC\) nên \(IJ\) là đường trung bình của \(\Delta ACD\)

Suy ra \(IJ{\rm{ // }}CD\)

Ta có \(G \in \left( {IJG} \right) \cap \left( {BCD} \right)\) và \(IJ{\rm{ // }}CD\) nên \(d = \left( {IJG} \right) \cap \left( {BCD} \right)\) là đường thẳng qua \(G\) và \(d{\rm{ // }}IJ{\rm{ // }}CD\).

Chọn D

Ta có\({u_5} = {u_1}.{q^4} = 54\) và \({u_2} = {u_1}.q = - 2\)

Suy ra \(\frac{{{u_5}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_1}.{q^4}}}{{{u_1}.q}} \Rightarrow {q^3} = \frac{{54}}{{ - 2}} = - 27 \Rightarrow q = - 3\)

Thay vào \({u_2} = {u_1}.q = - 2\), suy ra \({u_1} = - 2:\left( { - 3} \right) = \frac{2}{3}\)

\[{S_{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = \frac{2}{3}.\frac{{1 - {{\left( { - 3} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - 3} \right)}} = \frac{{\frac{2}{3}.\left[ {1 - {3^{10}}} \right]}}{4}\]

Chọn A

Do \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình hộp nên \(BB'{\rm{ // }}DD';\;AB{\rm{ // }}C'D'\) và \(BB' = DD';\;AB = C'D'\)

Suy ra \(BB'D'D,\;ABC'D'\) là các hình bình hành

Suy ra \(AD'{\rm{ // }}BC';\;B'D'{\rm{ // }}BD\) hay \(AD'{\rm{ // }}\left( {BC'D} \right);\;B'D'{\rm{ // }}\left( {BC'D} \right)\)

Vậy \[\left( {AB'D'} \right){\rm{ // }}\left( {BC'D} \right)\].

Chọn B

Ta thấy có tất cả \(n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56\) học sinh được điều tra

Do đó số trung vị thuộc nhóm \(\left[ {15,5;\;18,5} \right)\), có \({n_m} = 15\) và \(C = 3 + 12 = 15\)

Số trung vị \({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 15,5 + \frac{{28 - 15}}{{15}}\left( {18,5 - 15,5} \right) = 18,1\).

Chọn A

\({u_2} = 3.{u_1} + 2 = 3.\left( { - 1} \right) + 2 = - 1\)

\({u_3} = 3{u_2} + 3 = 3.\left( { - 1} \right) + 3 = 0\).

Chọn C

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + x} \right) = {1^2} + 1 = 2\); \(f\left( 1 \right) = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{m^2}x + 1} \right) = {m^2} + 1\)

Để hàm số liên tục tại \(x = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 2\)

Suy ra \({m^2} + 1 = 2 \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\)

Vậy \(S = 1 + \left( { - 1} \right) = 0\).

Chọn B

Theo lý thuyết về hai mặt phẳng song song ta có \(\left( P \right){\rm{ // }}\left( Q \right) \Rightarrow a{\rm{ // }}\left( Q \right)\) và \(b{\rm{ // }}\left( P \right)\).

Các trường hợp ở các ý A, C, D có trường hợp sai.

Đặt \({u_n} = {x_n} - \frac{3}{4},\forall n = 1,2, \ldots \) Khi đó \({u_{n + 1}} = {x_{n + 1}} - \frac{3}{4}\).

Thay vào giả thiết ta được

\({x_{n + 1}} - \frac{3}{4} = 5\left( {{x_n} - \frac{3}{4}} \right) + 3,\forall n = 1,2, \ldots \)

\( \Leftrightarrow {x_{n + 1}} = 5{x_n},\forall n = 1,2, \ldots \)

Vậy \(({x_n})\) là cấp số nhân có cộng bội \(q = 5\), số hạng đầu

\({x_1} = {u_1} + \frac{3}{4} = - 3 + \frac{3}{4} = - \frac{9}{4}.\)$

Do đó \({x_n} = {x_1}{q^{n - 1}} = - \frac{9}{4}{.5^{n - 1}},\forall n = 1,2, \ldots \)

Suy ra \({u_n} = - \frac{3}{4} - \frac{9}{4}{.5^{n - 1}},\forall n = 1,2, \ldots \)

Xét hàm số \(P(x) = {x^3} + nx - 1\) liên tục và tăng nghiêm ngặt trên \(\mathbb{R}\)

Ta có \(P(0) = - 1 < 0\) và \(P(1) = n \ge 1\), do đó tồn tại duy nhất \({a_n} \in [0,1]\) sao cho \(P\left( {{a_n}} \right) = 0\).

Ta có \(a_n^3 + n{a_n} - 1 = 0\) cho nên \[0 \le {a_n} = \frac{{1 - a_n^3}}{n} \le \frac{1}{n},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall n = 1,2, \ldots \]

Do \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\) nên từ \((*)\) suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a_n} = 0\).

Gọi \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép vị tự \({V_{(I, - 3)}}\), khi đó \(d'\) song song hoặc trùng với \(d\), do đó phương trình của \(d'\) có dạng \(d':2x - y + C = 0\).

Xét điểm \(M(0;1)\) thuộc \(d\). Giả sử \({V_{(I, - 3)}}(M) = M'\). Khi đó

\(\overrightarrow {IM'} = - 3\overrightarrow {IM} \Leftrightarrow \left( {{x_{M'}} - {x_I};{y_{M'}} - {y_I}} \right) = - 3\left( {{x_M} - {x_I};{y_M} - {y_I}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{M'}} - {x_I} = - 3({x_M} - {x_I}) = - 3}\\{{y_{M'}} - {y_I} = - 3({y_M} - {y_I}) = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{M'}} = - 4}\\{{y_{M'}} = 5.}\end{array}} \right.\)

Vậy \(M'( - 4;5)\). Mà \(M' \in d'\) nên \(2( - 4) - 5 + C = 0 \Leftrightarrow C = 13\).

Do đó ảnh của \(d\) qua \({V_{(I, - 3)}}\) là đường thẳng \(d':2x - y + 13 = 0\).