Đề thi cuối kì 1 Toán 11 THPT Cẩm Phả (Quảng Ninh) năm 2023-2024 (có đáp án)
38 câu hỏi
Cho dãy số \[ - \frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2};...\] là một cấp số cộng với:
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{2}\\d = 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 0\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - \frac{1}{2}\\d = \frac{1}{2}\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - \frac{1}{2}\\d = 1\end{array} \right.\].
Chọn C
Ta có \({u_1} = - \frac{1}{2}\) và \(d = {u_2} - {u_1} = 0 - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\).
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy không là hình thang. Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là
\(SI\) (\(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(CD\)).
\(SK\) (\(K\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\)).
\(SO\) (\(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)).
\(SA\).
Chọn C
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) ta có \(SO\) là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
Cho bốn điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên \(AB,\,AD\) lần lượt lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(MN\) cắt \(BD\) tại \(E\). Điểm \(E\) không thuộc mặt phẳng nào sao đây?
\[\left( {ABD} \right)\].
\[\left( {CMN} \right).\]
\[\left( {ACD} \right)\].
\[\left( {BCD} \right)\].
Chọn C
Điểm \(E\) không thuộc mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).
Tập xác định của hàm số \(y = - \tan x\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn A
Tập xác định của hàm số \(y = - \tan x\) là\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 3\). Dãy số nào sau đây là cấp số nhân đó?
\(2;6;18;54;162\)
\(2;6;16;54;108\).
\(2;6;9;12;15\)
\(2;6;18;24;32\)
Chọn A
Công thức tổng quát của cấp số nhân là \({u_n} = {2.3^{n - 1}}\) với \(n \in \mathbb{N}\), \(n \ge 1\). Cho \(n = 1,2,3,4,5\) ta được dãy \(2;6;18;54;162\).
Tất cả các nghiệm của phương trình \(\sin 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) là
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{8} + k2\pi \end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn B
Ta có \(\sin 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.\), \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right):2,{\rm{ }}a,{\rm{ }}6,{\rm{ }}b.\] Tích \[ab\] bằng:
\[32\].
\[40\].
\[12\].
\[22\].
Chọn A
Ta có \[\left( {{u_n}} \right):2,{\rm{ }}a,{\rm{ }}6,{\rm{ }}b\] là CSC nên \(\left\{ \begin{array}{l}6 + 2 = 2a\\a + b = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 8\end{array} \right.\).
Do vậy \(a.b = 32\).
Phương trình \[\left( {\sin x + 1} \right)\left( {\sin x - \sqrt 2 } \right) = 0\] có nghiệm là
\[x = \pm \frac{\pi }{2} + k2\pi \]\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[x = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi \],\(x = - \frac{\pi }{8} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \]\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn D
Ta có \(\left( {\sin x + 1} \right)\left( {\sin x - \sqrt 2 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - 1\\\sin x = \sqrt 2 (VN)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Phương trình \[\sin 3x = \cos x\] có nghiệm là
\(x = k\pi \,;x = k\frac{\pi }{2}\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = k2\pi \,;x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = k\pi \,;x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\,;x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn D
Ta có \(\sin 3x = \cos x \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \\x = 3x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\), \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Công thức nào sau đây đúng?
\[{\cos ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{2}\].
\[{\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2}\].
\[{\cos ^2}a = \frac{{1 - \cos a}}{2}\].
\[{\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos a}}{2}\].
Chọn B
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_2} = 0\), \({u_8} = 30\). Số hạng tổng quát \({u_n}\) là
\({u_n} = 5n\).
\({u_n} = 5n - 10\).
\({u_n} = - 5n\).
\({u_n} = 5n + 10\).
Chọn B
Ta có \({u_8} = {u_2} + 6d \Leftrightarrow 6d = 30 \Leftrightarrow d = 5\), do đó \({u_n} = 5n - 10\).\(\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\).
Cho góc lượng gác \(\alpha \) thỏa mãn \(\cos \alpha = - \frac{3}{4}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính \(\sin \alpha \).
\(\sin \alpha = \frac{1}{4}\).
\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\).
\(\sin \alpha = - \frac{1}{4}\).
\(\sin \alpha = \frac{{ - \sqrt 7 }}{4}\).
Chọn B
Ta có \(\sin \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \pm \frac{{\sqrt 7 }}{4}\), vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\sin \alpha > 0\) suy ra \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\)là hình bình hành.
Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) song song với đường thẳng nào sau đây?
\(BC\).
\(BD\).
\(AB\).
\(AD\).
Chọn C
Vì \(AB{\rm{//}}CD\) nên giao tuyến của hai mphẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) song song với đường thẳng \(AB\).
Chọn khẳng định sai:
Nếu hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và (Q) song song nhau thì mặt phẳng \(\left( R \right)\) đã cắt \(\left( P \right)\) đều phải cắt \(\left( Q \right)\) và các giao tuyến của chúng song song nhau.
Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại.
Hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia.
Nếu mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song với nhau.
Chọn D
Vì thiếu điều kiện hai đường thẳng đó phải cắt nhau.
Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa \(a\) và cắt mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến \(d\). Kết luận nào sau đây đúng?
\(a\) và \(d\) song song.
\(a\) và \(d\) trùng nhau.
\(a\) và \(d\) chéo nhau.
\(a\) và \(d\) cắt nhau.
Chọn A
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {ABA'} \right)\) song song với mặt phẳng nào sau đây:
\[\left( {AA'C'} \right)\].
\[\left( {CC'D'} \right)\].
\[\left( {ADD'} \right)\].
\[\left( {BB'A'} \right)\].
Chọn B
Mặt phẳng \(\left( {ABA'} \right)\) song song với \[\left( {CC'D'} \right)\].
Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \(G,K\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(BCD\) và \(ACD\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(GK\) và \(BC\) cắt nhau.
\(GK{\rm{//}}AB\).
\(GK\) và \(AB\) cắt nhau.
\(GK\) và \(AB\) chéo nhau.
Chọn B
Gọi \(I\) là trung điểm \(CD\), ta có \(\frac{{IG}}{{IA}} = \frac{{IK}}{{IB}} = \frac{1}{3}\), do đó \(KG{\rm{//}}AB\).
Trong không gian cho đường thẳng \(a,\,\,b,\,\,c\), biết \(a\) song song với \(b\) và \(b\) song song với \(c\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(a,\,\,c\) cắt nhau.
\(a,\,\,c\) song song.
\(a,\,\,c\) trùng nhau.
\(a,\,\,c\) song song hoặc trùng nhau.
Chọn D
Cho bảng khảo sát về khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch ở một nông trường như sau:
Mẫu số liệu được ghép thành bao nhiêu nhóm?
\[3\]
\[4\]
\[5\]
\[6\]
Chọn C
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\). Các điểm \(M,\,N\) lần lượt thuộc các cạnh \(AB\), \(SC\) (không trùng với các đầu mút của các cạnh). Phát biểu nào sau đây đúng?
Đường thẳng \(MN\) không cắt mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
Giao điểm của \(MN\) với \(\left( {SBD} \right)\) là giao điểm của \(MN\) với \(SI\), trong đó \(I\) là giao điểm của \(CM\) với \(BD\).
Giao điểm của \(MN\) với \(\left( {SBD} \right)\) là \(M\).
Giao điểm của \(MN\) với \(\left( {SBD} \right)\) là giao điểm của \(MN\) với \(BD\).
Chọn B
Gọi \(I = CM \cap BD\), trong mặt phẳng \(\left( {SCM} \right)\)\(SI \cap MN = E\) ta có \(E\) là giao điểm của \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC\) và \(ABD\), \[M\] và \[N\] lần lượt là trung điểm của \[BC\] và \[BD\].
Mệnh đề nào dưới đây sai?
\(IJ \subset \left( {AMN} \right)\).
\(IJ//\left( {BCD} \right)\).
\(IJ = \frac{2}{3}CD\).
\(IJ//\left( {ACD} \right)\).
Chọn C
Từ giả thiết ta có \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\)\(IJ = \frac{2}{3}MN = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}CD = \frac{1}{3}CD\).
Phát biểu nào sau đây là sai?
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0\)\(\left( {k > 1} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = c\) (\({u_n} = c\)là hằng số).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\)\(\left( {\left| q \right| > 1} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\).
Chọn C
Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {20;{\rm{ }}40} \right)\] là
\[20\].
\[30\].
\[40\].
\[10\].
Chọn B
Khảo sát thời gian xem ti vi trong một ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là
\(\left[ {20;40} \right)\).
\(\left[ {40;60} \right)\).
\(\left[ {60;80} \right)\).
\(\left[ {80;100} \right)\).
Chọn B
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{2{x^2} + x - 6}}{{{x^2} - 4}}\)bằng bao nhiêu?
\(\frac{5}{4}\).
2.
\(\frac{7}{4}\).
\( - \frac{7}{4}\).
Chọn C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{2{x^2} + x - 6}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{2x - 3}}{{x - 2}} = \frac{7}{4}\).
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4n + 2023}}{{2n + 2024}}\).
\(\frac{{2023}}{{2024}}\).
\(\frac{1}{2}\).
4.
2.
Chọn D
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4n + 2023}}{{2n + 2024}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4 + \frac{{2023}}{n}}}{{2 + \frac{{2024}}{n}}} = 2\).
Cho phương trình \({x^5} + a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(1)\) trong đó \[a,\,b,\,c\] là các tham số thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nhất một nghiệm với mọi \[a,\,b,\,c\].
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nhất hai nghiệm với mọi \[a,\,b,\,c\].
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nhất ba nghiệm với mọi \[a,\,b,\,c\].
Phương trình \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm với mọi \[a,\,b,\,c\].
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^5} + a{x^2} + bx + c} \right) = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^5} + a{x^2} + bx + c} \right) = - \infty \) nên \({x^5} + a{x^2} + bx + c = 0\) có ít nhất một nghiệm.
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{5^n} - 1}}{{{3^n} + 1}}\) bằng:
\( - \infty \).
1.
0.
\( + \infty \).
Chọn D
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{5^n} - 1}}{{{3^n} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{5}{3}} \right)^n}.\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 - \frac{1}{{{5^n}}}}}{{1 + \frac{1}{{{3^n}}}}} = + \infty \).
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{x^3} + 5{x^2} - 4} \right)\)bằng
\(68\).
\( + \infty \).
\(0\).
\(34\).
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{x^3} + 5{x^2} - 4} \right) = {3^3} + {5.3^2} - 4 = 68\).
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - {n^3} + 2n + 4} \right)\]bằng
\[ - \infty \].
\[ - 1\].
\[ + \infty \].
\[\frac{2}{5}\].
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - {n^3} + 2n + 4} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^3}.\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - 1 + \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{4}{{{n^3}}}} \right) = - \infty \).
Hàm số \[y = f(x)\]có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm nào?
\[x = 1.\]
\[x = 2.\]
\[x = 3.\]
\[x = 0.\]
Chọn A
Hàm số nào sau đây liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = \tan x\).
\(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 2}}\).
\(y = {x^2} - 3x + 2\).
\(y = \sqrt {x + 2} \).
Chọn C
Hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) là hàm đa thức liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2x + 1} - 1}}{x}\].
1.
2.
5.
4.
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2x + 1} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{\sqrt {2x + 1} + 1}} = 1\).
Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 - x + {x^2}}}{{x + 4}}\)là
\(1\).
\(0\).
\( + \infty \).
\( - \infty \).
Chọn C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 - x + {x^2}}}{{x + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x.\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{x} + 1}}{{1 + \frac{4}{x}}} = - \infty \).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{x} + 1}}{{1 + \frac{4}{x}}} = 1 > 0\)
Cho \(a,\,b \in \mathbb{R}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {an - \sqrt {{n^2} + bn + 2} } \right) = 2\). Tính giá trị biểu thức \(S = a + b\).
\(S = 2\).
\(S = 7\).
\(S = - 5\).
\(S = - 3\).
Chọn D
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {an - \sqrt {{n^2} + bn + 2} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a^2}{n^2} - {n^2} - bn - 2}}{{an + \sqrt {{n^2} + bn + 2} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {{a^2} - 1} \right){n^2} - bn - 2}}{{an + \sqrt {{n^2} + bn + 2} }}\).
Từ đây ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {an - \sqrt {{n^2} + bn + 2} } \right) = 2\)
Do vậy \(S = a + b = - 3\).
Tính giới hạn sau:
a)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3{n^3} - 2{n^2} + 4}}{{ - 2{n^3} + 5n - 1}}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{3{x^2} + 5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\)
a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3{n^3} - 2{n^2} + 4}}{{ - 2{n^3} + 5n - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3 - \frac{2}{n} + \frac{4}{{{n^3}}}}}{{ - 2 + \frac{5}{{{n^2}}}n - \frac{1}{{{n^3}}}}} = - \frac{3}{2}\]
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{3{x^2} + 5x - 2}}{{4 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {2 - x} \right)}} = \frac{{ - 7}}{4}\)
Tìm\(m\) để hàm số f(x) = x2 - 3x -4x+1 khi x > -13mx - 2 m2 khi x≤-1liên tục tại x = -1
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
Giá trị \(f\left( { - 1} \right) = - 3m - 2{m^2}\)
Giới hạn trái\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \left( {3mx - 2{m^2}} \right) = - 3m - 2{m^2}\]
Giới hạn phải\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {x - 4} \right) = - 5\]
Hàm số liên tục tại \(x = - 1\) khi và chỉ khi\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\]
\( \Leftrightarrow - 3m - 2{m^2} = - 5 \Leftrightarrow 2{m^2} + 3m - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\).
Vậy các giá trị của \(m\) là \(m \in \left\{ { - \frac{5}{2};1} \right\}\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình bình hành. Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CD,SD,SC.\)
a) Chứng minh \(NP\) song song với \(\left( {SBC} \right).\)
b) Gọi là \(K\) giao điểm của \(AQ\)với \(\left( {MNP} \right).\) Tính tỉ số \(\frac{{AK}}{{AQ}}.\)
Từ giả thiết ta có \(MP\) là đường trung bình của tam giác \(\Delta SCD\),
nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MP//SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\\MP \not\subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MP//\left( {SBC} \right).\)
b) Gọi là \(K\) giao điểm của \(QD\)với \(\left( {MNP} \right).\) Tính tỉ số \(\frac{{DK}}{{DQ}}.\)
\[E = MN \cap AC\] vì \[Ex//SC,\,\,Ex \cap AQ = K\] nên \[AQ \cap \left( {MNP} \right) = K\] suy ra \(\frac{{AK}}{{AQ}} = \frac{{AE}}{{AC}} = ... = \frac{3}{4}\)
