Đề thi cuối kì 1 Toán 11 THPT Bình Giang (Hải Dương) năm 2023-2024 (có đáp án)
38 câu hỏi
Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]cho bởi số hạng tổng quát \[{u_n}\] sau, dãy số nào là dãy số tăng?
\[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\].
\[{u_n} = \frac{1}{n}\].
\[{u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}\].
\[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\].
Chọn A
Cách 1:
Ta có: \[{u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\].
Xét hiệu \[{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \left( {\frac{{2n - 1}}{{n + 1}}} \right) = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0\].
Suy ra \[{u_{n + 1}} - {u_n} > 0,n \in \mathbb{N}*\].
Vậy \[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\] là dãy số tăng.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
Sử dụng máy tính cầm tay kiểm tra dãy số tăng, giảm (Nhập hai hàm số kiểm tra một lần).
Quy trình:
- Menu 8 trên máy Casio_580VNX.
- Nhập \[f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\] (Đáp án A)
- Nhập \[g\left( x \right) = \frac{1}{x}\] (Đáp án B)
- Với Start = \(1\) , End =\(10\), Step = \(1\).
Kiểm tra các giá trị của các hàm số, ta thấy\[f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\] nhận các giá trị tăng dần nên chọn đáp án A.
Hàm số nào sau đây liên tục trên \(\mathbb{R}?\)
\(y = \sqrt x \).
\(y = \sqrt {x - 4} \).
\(y = \tan x\).
\(y = {x^3} - 3x + 1\).
Chọn D
Hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là hàm số đa thức có tập xác định \(\mathbb{R}\) nên nó liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Chú ý: Các hàm số đa thức, phân thức, lượng giác thì liên tục trên tập xác định của nó.
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) dưới đây, dãy số nào không bị chặn dưới?
\({u_n} = n - 2\).
\({u_n} = 1 - 2n\).
\({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\).
\({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\).
Chọn B
Ta có:\(\lim {u_n} = \lim \left( {1 - 2n} \right) = - \infty \) nên dãy số \({u_n} = 1 - 2n\) không bị chắn dưới.
Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
Mức giá (Triệu đồng/m2) | \(\left[ {10;14} \right)\) | \(\left[ {14;18} \right)\) | \(\left[ {18;22} \right)\) | \(\left[ {22;26} \right)\) | \(\left[ {26;30} \right)\) |
Số khách hàng | \(54\) | \(78\) | \(120\) | \(45\) | \(12\) |
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần bằng giá trị nào sau đây?
\[20,4\].
\[21,4\].
\[19,4\].
\[18,4\].
Chọn C
Tần số lớn nhất là \(120\) nên nhóm chứa mốt là nhóm thứ \(3 \Rightarrow j = 3\).
Nhóm \(\left[ {18;22} \right)\) có độ dài \(h = 4\).
Ta có: \({a_3} = 18\); \({m_3} = 120\); \({m_2} = 78\); \({m_4} = 45\)
Do đó mốt của mẫu số liệu là
\({M_o} = {a_j} + \frac{{\left( {{m_j} - {m_{j - 1}}} \right)}}{{\left( {{m_j} - {m_{j - 1}}} \right) + \left( {{m_j} - {m_{j + 1}}} \right)}}.h = 18 + \frac{{\left( {120 - 78} \right)}}{{\left( {120 - 78} \right) + \left( {120 - 45} \right)}}.4 = \frac{{758}}{{39}} \approx 19,4\).
Với \(n \in \mathbb{N}*\), cho dãy số có các số hạng đầu là \(0;\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};...\). Số hạng tổng quát của dãy số này là
\({u_n} = \frac{{{n^2} - n}}{{n + 1}}\).
\({u_n} = \frac{{n + 1}}{n}\).
\({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\).
\({u_n} = \frac{{n - 1}}{n}\).
Chọn D
Thay \[n = 1\] vào các đáp án. Loại đáp án B và C
Thay\[n = 2\] vào đáp án A và D. Loại đáp án A
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|}}{x}\) là
\( + \infty \).
\(1\).
\( - \infty \).
\( - 1\)
Chọn D
Cách 1:
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 1} \right) = - 1\).
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Quy trình: như hình
· Trên máy Casio_580VNX.
Với \(\alpha \) là góc bất kì và các biểu thức có nghĩa. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
\[\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \].
\[\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \].
\[\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \].
\[\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \].
Chọn D
Công thức lượng giác góc nhân đôi.
\[\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \].
Ba số hạng nào dưới đây theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?
\(1,\;3,\;5\).
\(3,\;5,\;9\).
\(1,\;3,\;9\).
\(1,\;5,\;9\).
Chọn C
Ta có:\(\begin{array}{l}3 = 1.3\\9 = 3.3\end{array}\)
Suy ra \(1,\;3,\;9\) là một cấp số nhân với \({u_1} = 1\) và \(q = 3\).
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Khi đó hình chiếu song song của điểm \(M\) lên \(\left( {AA'B'} \right)\) theo phương chiếu \(CB\) là
Điểm \(B\).
Trung điểm \(BC\).
Trung điểm \(AB\).
Điểm \(A\).
Chọn C
Ta có:\[\left( {AA'B'} \right) \equiv \left( {ABB'A'} \right)\].
Gọi \[N\] là trung điểm của \[AB\]\[ \Rightarrow MN\parallel AB\].
Vậy \[N\] là hình chiếu chiếu song song của điểm \(M\) lên \(\left( {AA'B'} \right)\) theo phương chiếu \(CB\) .
Cho cấp số nhân \[3,\; - 12,\;48,...\]. Số hạng tổng quát của cấp số nhân đã cho là
\({u_n} = 3{\left( { - 4} \right)^n}\).
\({u_n} = 3.{\left( { - 4} \right)^{n - 1}}\).
\({u_n} = 3.{\left( 4 \right)^{n - 1}}\).
\({u_n} = 3.{\left( { - 4} \right)^{n + 1}}\).
Chọn B
Cấp số nhân có \[{u_1} = 3\] và \[q = - 4\] nên \[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 3.{\left( { - 4} \right)^{n - 1}}\].
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) (Hình vẽ sau).
Phép chiếu song song có phương chiếu \[AA'\], mặt phẳng chiếu \(\left( {ABCD} \right)\)biến điểm \(B'\) thành điểm nào?
\(D\).
\(A\).
\(B\).
\(C\).
Chọn C
Ta có:\[AA'\parallel BB'\] nên phép chiếu song song có phương chiếu \[AA'\] lên \(\left( {ABCD} \right)\)biến điểm \(B'\) thành điểm \(B\).
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau?
Hình vuông.
Hình bình hành.
Hình thang.
Hình thoi.
Chọn C
Theo tính chất của phép chiếu song song:
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau nên hình chiếu của hình vuông không là hình thang.
Cho đường thẳng \(a \subset \left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(b \subset \left( \beta \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right) \Rightarrow a\parallel \left( \beta \right)\)và \(b\parallel \left( \alpha \right)\).
\(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right) \Rightarrow a\parallel b\).
a và b chéo nhau.
\(a\parallel b \Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\).
Chọn A
Theo tính chất của hai mặt phẳng song song.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
\[\left( {BC'D} \right)\].
\[\left( {BDA'} \right)\].
\[\left( {A'C'C} \right)\].
\[\left( {BCA'} \right)\].
Chọn A
Ta có: \[AD'\parallel BC'\] và \[AD' \subset \left( {AB'D'} \right)\]\[ \Rightarrow BC'\parallel \left( {AB'D'} \right)\].
\[AB'\parallel DC'\] và \[AB' \subset \left( {AB'D'} \right)\]\[ \Rightarrow DC'\parallel \left( {AB'D'} \right)\].
Mà \[BC' \cap DC' = \left\{ {C'} \right\}\].
Vậy \(\left( {AB'D'} \right)\parallel \left( {BC'D} \right)\).
Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề sai là:
Hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song songvới mặt phẳng kia.
Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho trước theo hai giao tuyến thì hai giao tuyến song song với nhau.
Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung.
Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Chọn D
Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì hoặc song song với nhau hoặc trùng nhau.
Chú ý: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Nghiệm của phương trình \[\cos x = \,\;\frac{1}{2}\] là
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Chọn B
Ta có:\[\cos x = \,\;\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
Cho \[f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {2 - x} }}{x},x \ne 0\]. Phải bổ sung thêm giá trị \[f\left( 0 \right)\] bằng bao nhiêu thì hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục tại \[x = 0\]?
\[0\].
\[1\].
\[\frac{1}{{\sqrt 2 }}\].
\[\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\]
Chọn C
Ta có:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {2 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {2 - x} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\].
Hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục tại \[x = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\] .
Cho cấp số cộng \(6,x, - 2,y\) theo thứ tự đó. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(x = 4;y = 6\).
\(x = 2;y = - 6\).
\(x = 4;y = - 6\).
\(x = 2;y = 5\).
Chọn B
Vì dãy số \(6,x, - 2,y\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x = 6 - 2\\ - 4 = x + y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 6\end{array} \right.\).
Cho hai đường thẳng phân biệt \(a,\,b\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thỏa mãn \[a\parallel \left( \alpha \right)\] và \(b \subset \left( \alpha \right)\). Khi đó
\(a,\,b\) chéo nhau.
\(a\parallel b\) hoặc \(a,\,b\) chéo nhau.
\(a,\,b\) cắt nhau.
\(a\parallel b\).
Chọn B
Do \[\left\{ \begin{array}{l}a\parallel \left( \alpha \right)\\b \subset \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \cap b = \emptyset \]. Suy ra \(a\parallel b\) hoặc \(a,\,b\) chéo nhau.
Cho hai dường thẳng \(a,b\) cắt nhau tại điểm \(A\) và điểm \(B\)(\(B\) không thuộc mặt phẳng \(\left( {a,b} \right)\)). Từ \(a,b\) và \(B\) có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng?
\(3\).
\(4\).
\(5\).
\(2\).
Chọn A
Ta xác định được\(3\) mặt phẳng là: \(\left( {a,b} \right)\); \(\left( {B,a} \right)\); \(\left( {B,b} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\), có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(SA,SD\). Mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SCD} \right)\).
\(\left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
Chọn A
\[\left\{ \begin{array}{l}ON\parallel SB\\SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow ON\parallel \left( {SBC} \right)\].
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}OM\parallel SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM\parallel \left( {SBC} \right)\].
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}OM\parallel \left( {SBC} \right)\\ON\parallel \left( {SBC} \right)\\OM \cap ON = \left\{ O \right\}\\OM,ON \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\].
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\pi {\rm{ rad }} = 180^\circ \).
\(\pi {\rm{ rad }} = \left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^\circ \)
\(\pi {\rm{ rad }} = 1^\circ \).
\(\pi {\rm{ rad }} = 60^\circ \).
Chọn A
\(1\pi {\rm{ rad }} = 180^\circ \).
Cho tứ diện \[ABC{\rm{D}}\] có \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,AC\]. Mặt phẳng nào sau đây song song với đường thẳng \[MN\]?
\[\left( {ABC} \right)\].
\[\left( {BCD} \right)\].
\[\left( {ACD} \right)\].
\[\left( {ABD} \right)\].
Chọn B
Ta có \[MN\] là đường trung bình trong \[\Delta ABC\] nên \[MN\parallel BC\].
Mà \[BC \subset \left( {BCD} \right)\] và \[MN \notin \left( {BCD} \right)\]. Vậy \[MN\parallel \left( {BCD} \right)\].
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được cho bởi công thức nào dưới đây là một cấp số nhân?
\(2 + n\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = n{u_n}\end{array} \right.\).
\({u_n} = 2n\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = 2{u_n}\end{array} \right.\).
Chọn D
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = 2{u_n}\end{array} \right. \Rightarrow \)\(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\q = 2\end{array} \right.\).
Cho cấp số cộng \( - 2,\;3,\;8,...\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
\(5\).
\( - 1\).
\(1\).
\( - 5\).
Chọn A
Ta có: \(d = {u_2} - {u_1} = 3 - \left( { - 2} \right) = 5\).
Cho tứ diện \[ABCD\], gọi \[{G_1},\,{G_2},\,{G_3}\] theo thứ tự là trọng tâm các tam giác \[ABC,\,ACD, ABD\]. Mặt phẳng \[\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)\] song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
\(\left( {BC{G_2}} \right)\).
\(\left( {BCD} \right)\).
\(\left( {ABC} \right)\).
\(\left( {ACD} \right)\).
Chọn B
Gọi \[M\], \[N\], \[P\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[BC\], \[CD\] và \[BD\].
Ta có: \[\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{{A{G_2}}}{{AN}} = \frac{{A{G_3}}}{{AP}} = \frac{2}{3}\] (vì \[{G_1}\], \[{G_2}\], \[{G_3}\] là trọng tâm của các \[\Delta ABC\], \[\Delta ACD\], \[\Delta ABD\]).
Suy ra \[{G_1}{G_2}\parallel MN\] mà \[MN \subset \left( {BCD} \right)\] nên \[{G_1}{G_2}\parallel \left( {BCD} \right)\]
và \[{G_1}{G_3}\parallel MP\] mà \[MP \subset \left( {BCD} \right)\] nên \[{G_1}{G_3}\parallel \left( {BCD} \right)\].
Vậy \[\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)\parallel \left( {BCD} \right)\].
Dãy số nào dưới đây là dãy số tăng?
\(\frac{1}{4},\,\,\frac{1}{3},\;\frac{1}{2}\).
\(3,\,\,3,\;3\).
\(\frac{1}{2},\,\,\frac{1}{3},\;\frac{1}{4}\).
\(2,\,\,4,\;3\).
Chọn A
Ta có: \(\frac{1}{4} < \,\,\frac{1}{3} < \;\frac{1}{2}\) nên dãy số \(\frac{1}{4},\,\,\frac{1}{3},\;\frac{1}{2}\) là dãy số tăng.
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - 2\left( {x + 3} \right)} \right]\) là:
\( - 2\).
\( - 6\).
\( - \infty \).
\( + \infty \).
Chọn D
Cách 1:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + 3} \right) = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 2} \right) = - 2 < 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - 2\left( {x + 3} \right)} \right] = + \infty \).
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Quy trình:
Trên máy Casio_580VNX.
CALC biểu thức \( - 2\left( {x + 3} \right)\) với giá trị \(x = - {10^{30}}\) như hình.
Tập xác định \[D\] của hàm số \[y = \tan x\]là
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\frac{\pi }{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Chọn B
Hàm số \[y = \tan x\] xác định \[ \Leftrightarrow \cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \[{u_3} = - 2;\,\,\,{u_{n + 1}} = {u_n} + 3,\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]. Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
\({u_n} = 2n - 8\).
\({u_n} = n - 5\).
\({u_n} = 3n - 11\).
\({u_n} = 3n - 8\).
Chọn C
Ta có: \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \[{u_{n + 1}} = {u_n} + 3 \Rightarrow d = 3\].
Mà \[{u_3} = - 2\] nên \[{u_1} + 2d = - 2 \Leftrightarrow {u_1} = - 2 - 6 = - 8\].
Số hạng tổng quấ của cấp số cộng: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 8 + \left( {n - 1} \right)3 = 3n - 11\).
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{x - 5}}{{x - 2}}\) là
\(2\).
\(1\).
\( - 1\).
\(0\).
Chọn D
Cách 1:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{x - 5}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{5 - 5}}{{5 - 2}} = \frac{0}{3} = 0\).
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Quy trình:
Trên máy Casio_580VNX.
CALC biểu thức \(\frac{{x - 5}}{{x - 2}}\) với giá trị \(x = 5\) như hình.
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{1 + x}}{{x - 2}}} \right)\) là
\(0\).
\( + \infty \).
\( - \infty \).
\( - \frac{1}{2}\).
Chọn C
Cách 1:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1} \right) = 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 2} \right) = 0\\x - 2 < ,\forall x < 2\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = - \infty \).
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Quy trình:
Trên máy Casio_580VNX.
CALC biểu thức \(\frac{{1 + x}}{{x - 2}}\) với giá trị \(x = 2 - {10^{ - 9}}\) như hình.
Tính tổng \(S = 1 + 3 + 5 + ..... + 2023\).
\(1.024143\).
\(1024144\).
\(1024145\).
\(1024146\).
Chọn B
Cách 1:
Ta thấy\(S\) là tổng của \(n\) số tự nhiên lẻ liên tiếp:\({S_n} = {n^2}\)
Ta có: \(1,2,3,...,2023\) có \(1012\) số hạng.
Do đó: \(S = 1 + 3 + 5 + ..... + 2023 = {1012^2} = 1024144\).
Cách 2:
Ta có:\(S = 1 + 3 + 5 + ..... + 2023\) là tổng của 1012 số hạng đầu của cấp số cộng với \({u_1} = 1\) và \({u_n} = 2023\)
Ta có: \({s_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} \Rightarrow {S_{1012}} = \frac{{1012\left( {1 + 2023} \right)}}{2} = 1024144\).
Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau?
Vô số.
\[3\].
\(2\).
\(1\).
Chọn A
Qua hai đường thẳng chéo nhau ta xác định được một mặt phẳng nên có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi hệ thức truy hồi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_n} = 3{u_{n - 1}} + n\end{array} \right.\;\;\;\left( {n \ge 2} \right)\). Giá trị của \({u_3}\) bằng
\(0\).
\(3\).
\(2\).
\(1\).
Chọn A
Ta có: \({u_n} = 3{u_{n - 1}} + n \Rightarrow {u_2} = 3.{u_1} + 2 = 3.\left( { - 1} \right) + 2 = - 1\)
\( \Rightarrow {u_3} = 3.{u_2} + 3 = 3.\left( { - 1} \right) + 3 = 0\).
Tính giới hạn\(M = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 2{n^3} + 2n}}{{3{n^3} + 1}}\).
Ta có: \(M = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 2{n^3} + 2n}}{{3{n^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 2 + \frac{2}{{{n^2}}}}}{{3 + \frac{1}{{{n^3}}}}}\). Vậy \(M = - \frac{2}{3}\) .
Tìm \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x = 1\\\frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x \ne 1\,.\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
- Khi \(x \ne 1\) thì \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\) là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,1} \right),(1; + \infty )\) nên liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,1} \right)\) và \(\left( {1;\, + \infty } \right)\).
- Xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x = 1\), ta có:
+ \[f\left( 1 \right) = 2 + m\], \[\mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,1} \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,1} \left( {{x^2} + 2} \right) = 3\].
- Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \) hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\)
Û\[\mathop {\lim }\limits_{x\, \to \,1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\]Û\[m + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 1\].
Vậy với \(m = 1\)thì hàm số đã cho liên tục tại \(x = 1\).
a) Cho hình vuông \(\left( {{C_1}} \right)\) có cạnh bằng \(a\). Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\)(Hình vẽ).
Từ hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông \({C_1}\),\({C_2}\), \({C_3}\),., \({C_n}\)... Gọi \({S_i}\) là diện tích của hình vuông \({C_i}\left( {i \in \left\{ {1,2,3...} \right\}} \right)\). Đặt \(T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ...\). Biết \(T = \frac{{32}}{3}\), tính \(a\)?
b) Đầu năm \(2022\) thầy Thu mua một chiếc ô tô \(5\) chỗ giá \(700\) triệu đồng để đi làm .
Trung bình sau mỗi tháng sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi \(0,4{\rm{\% }}\) (so với tháng trước đó). Biết rằng mỗi tháng thầy làm ra được \(18\) triệu đồng (số tiền làm ra mỗi tháng không đổi). Hỏi sau \(3\) năm tổng số tiền (bao gồm giá tiền xe ô tô và tổng số tiền thầy Thu làm ra) thầy Thu có được là bao nhiêu?
a) Ta có:
\({s_1} = {a^2}\), Cạnh của hình vuông C(2) là: a2 = (34a)2+ (14a)2 = 10a4.
Do đó diện tích S2=58 a2 = 58 S1 .
Cạnh của hình vuông (C3) là: 
Do đó diện tích 
Tương tự ta có :\({s_1},{s_2},...,{s_n},...\)Lập thành csn lùi vô hạn có số hạng đầu là :\({s_1} = {a^2}\), công bội \(q = \frac{5}{8}\)
Vậy: \(T = {s_1} + {s_2} + {s_3} + ... + {s_n} + ... = \frac{{{s_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{a^2}}}{{1 - \frac{5}{8}}} = \frac{{8{a^2}}}{3} = \frac{{32}}{3} \Leftrightarrow a = 2\)
b) Sau \(1\) tháng giá trị của ô tô còn lại là:
\[{u_1}\; = {\rm{ 7}}00{\rm{ }}--{\rm{ 7}}00.0,4\% {\rm{ }} = {\rm{ 7}}00.\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right){\rm{ }}\](triệu đồng).
Sau \(2\) tháng giá trị của ô tô còn lại là:
\[{u_2}\; = {\rm{ 7}}00.\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right){\rm{ }}--{\rm{ 7}}00.\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right).0,4\% {\rm{ }} = {\rm{ 7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^2}\;\] (triệu đồng).
Sau \(3\) tháng giá trị của ô tô còn lại là:
\[{u_3}\; = {\rm{ 7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^2}{\rm{ }}--{\rm{ 7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^2}.0,4\% {\rm{ }} = {\rm{ 7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^3}\;\](triệu đồng).
Gọi \({u_n}\) là giá trị của ô tô sau \(n\)tháng sử dụng.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là giá trị đầu của ô tô là\[{u_1}\; = {\rm{7}}00.\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right){\rm{ }}\]triệu đồng và công bội \[q = 1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% {\rm{ }}\].
Khi đó công thức tổng quát để tính \[{u_n}\; = {\rm{7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^n}{\rm{ }}\].
Sau \(3\) năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là:\[{u_{36}}\; = {\rm{ 7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^{36}}\; \approx {\rm{ 605,95}}\] (triệu đồng).
Sau \(3\) năm thầy Thu làm ra \(18.36 = 648\)(triệu đồng).
Sau \(3\) năm tổng số tiền (bao gồm giá tiền xe ô tô và tổng số tiền thầy Thu làm ra) thầy Thu có được là \(648 + 605,95 = 1253,95\)(triệu đồng).
