Đề kiểm tra Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng góc nhị diện (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Góc phẳng nhị diện \(\left[ {B,\,SA,\,C} \right]\) có số đo bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Ta có \(BA \bot SA\) và \(CA \bot SA\) suy ra \[\widehat {BAC}\] là góc phẳng nhị diện \(\left[ {B,\,SA,\,C} \right]\) và bằng \(90^\circ \).
Hình biểu diễn của chiếc gậy dựa vào tường như sau:
Gọi \[\varphi \] là số đo giữa \[OM\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\]. Giá trị biểu thức \[6\sqrt 3 \sin \varphi + 15\] bằng
\(33\).
\(3\sqrt 3 + 15\).
\(24\).
\(6\sqrt 3 + 15\)
Chọn C
Ta có \(\varphi = 60^\circ \).
Vậy \[6\sqrt 3 \sin \varphi + 15 = 6\sqrt 3 \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 15 = 24\].
Trong các hình vẽ sau, có bao nhiêu hình minh họa cho góc nhị diện \[\left[ {P,d,Q} \right]\]?
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
Chọn C
Hình minh họa cho góc nhị diện \[\left[ {P,d,Q} \right]\] là hình 1, hình 2 và hình 3.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \[SA\] vuông góc \[\left( {ABC} \right)\]. Góc giữa \[SB\] với \[\left( {ABC} \right)\] là góc giữa:
\[SB\] và \[AB\].
\[SB\] và\[AC\].
\[SB\] và \[BC\].
\[SB\] và \[SC\]
![Cho hình chóp \(S.ABC\) có \[SA\] vuông góc ( ABC). Góc giữa \[SB\] với ( {ABC} là góc giữa: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid58-1771902930.png)
Chọn A
Ta có: \[AB\] là hình chiếu vuông góc của \[SB\] xuống \[\left( {ABC} \right)\] nên góc giữa \[SB\] với \[\left( {ABC} \right)\] là góc giữa \[SB\] và \[AB\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\), \(SB\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là
\(\widehat {SDC}\).
\(\widehat {SBD}\).
\(\widehat {SDA}\).
\(\widehat {SDB}\).
Chọn D
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}SD \cap \left( {ABCD} \right) = D\\SB \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\) nên \(\widehat {\left( {SD;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SD;BD} \right)} = \widehat {SDB}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\sqrt 2 .\) Tính góc giữa \(SC\) và \(\left( {SAB} \right)\)?
\(90^\circ \).
\(45^\circ \).
\(30^\circ \).
\(60^\circ \).
Chọn C
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SA \bot BC\), mà \(BC \bot AB\) \( \Rightarrow CB \bot \left( {SAB} \right)\) nên góc giữa \(SC\) và \(\left( {SAB} \right)\) bằng góc \(\widehat {CSB}\).
có \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 3 \). có \[SC = \sqrt {S{B^2} + B{C^2}} = 2a\]\[ \Rightarrow \sin \widehat {CSB} = \frac{{BC}}{{SC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {CSB} = 30^\circ \].
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông tại \[B\], \[AB = a\], \[SA \bot \left( {ABC} \right),AC = 2a\]. Tính số đo theo đơn vị độ của góc nhị diện \[\left[ {B,SA,C} \right]\].
\(60^\circ \).
\(75^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
Chọn A
![Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông tại \[B\], \[AB = a\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid61-1771903064.png)
Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SA\\AC \bot SA\end{array} \right.\). Suy ra góc phẳng nhị diện \[\left[ {B,SA,C} \right]\] là góc \[\widehat {BAC}\].
Trong tam giác vuông \[ABC\]: \[\cos \widehat {BAC} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BAC} = 60^\circ \].
Hình biểu diễn của chiếc gậy dựa vào tường như sau:
Gọi \[\varphi \] là số đo giữa \[OM\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\]. Giá trị biểu thức \[2\sqrt 3 \sin \varphi + 1\] bằng
\(2\).
\(\sqrt 3 + 1\).
\(4\).
\(\sqrt 3 \).
Chọn C
Ta có \(\varphi = 60^\circ \).
Vậy \[2\sqrt 3 \sin \varphi + 1 = 2\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1 = 4\].
Trong các hình vẽ sau, có bao nhiêu hình minh họa cho góc nhị diện \[\left[ {P,d,Q} \right]\]?
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
Chọn B
Hình minh họa cho góc nhị diện \[\left[ {P,d,Q} \right]\] là hình 1 và hình 2.
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\), đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh bằng \[a\]. Góc giữa đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] bằng góc nào?
\(\widehat {BSC\,}\).
\(\widehat {SCB\,}\).
\(\widehat {SCA\,}\).
\(\widehat {ASC\,}\).
Chọn A
![Cho hình chóp \[S.ABCD\] có \(SA vuông góc (ABCD)\) và \(SA = a\), đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid64-1771903234.png)
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\].
Hay \[SB\] là hình chiếu vuông góc của \[SC\] lên \[\left( {SAB} \right)\].
Vậy \[\widehat {BSC}\] là góc giữa \[SC\] và \[\left( {SAB} \right)\].
Cho hình chóp \(SABCD\)có đáy \(ABCD\)là hình thoi cạnh \(2a\), \(\widehat {ADC} = 60^\circ \). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\)và \(BD\), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SO = a\). Góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)bằng
\(60^\circ \).
\(75^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
Chọn C
Ta có \(ABCD\)là hình thoi cạnh \(2a\), và \(\widehat {ADC} = 60^\circ \) nên \(\Delta ACD\) đều và \(OD = \frac{{2a.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)là \(\widehat {SDO}\) và \(\tan \widehat {SDO} = \frac{{SO}}{{DO}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Suy ra \(\widehat {SDO} = 30^\circ \).
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại \[B\], \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Tính số đo theo đơn vị độ của góc nhị diện \[\left[ {B,SA,C} \right]\].
\(60^\circ \).
\(75^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
Chọn D
![Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại \[B\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid66-1771903313.png)
Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SA\\AC \bot SA\end{array} \right.\). Suy ra góc phẳng nhị diện \[\left[ {B,SA,C} \right]\] là góc \[\widehat {BAC} = 45^\circ \].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật có cạnh \(AB = 2a,AD = a\), tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(H,K\) lần lượt là trung điểm \(AB\) và \(CD\). Khi đó:
\(SH \bot (ABCD)\)
Góc phẳng nhị diện \([S,AB,C]\) bằng 90°
\(SH = a\sqrt 5 \)
Góc phẳng nhị diện \([S,CD,A]\) bằng 30°
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Gọi \(H,K\) lần lượt là trung điểm \(AB\) và \(CD\). Ta có \(SH \bot AB\) và \(HK\) là đường trung bình của hình chữ nhật \(ABCD\) nên \(HK//AD//BC \Rightarrow HK \bot AB\). (1)
Ta lại có tam giác \(SAB\) đều nên \(SH \bot AB\). (2)
Mặt khác \((SAB) \bot (ABCD)\), suy ra \(SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot HK\).
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {SHK}\) là góc phẳng nhị diện \([S,AB,C]\) và SHK^=90°
Theo câu a), ta có: \(CD \bot HK\). (3)
Mặt khác \(SH \bot (ABCD)\) nên \(CD \bot SH\).
Suy ra \(CD \bot (SHK) \Rightarrow CD \bot SK\). (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {SKH}\) là góc phẳng nhị diện \([S,CD,A]\).
Tam giác \(SAB\) đều cạnh \(2a\) nên đường cao \(SH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Từ câu \(a\)), ta có \(HK = BC = a\) (tính chất đường trung bình của hình chữ nhật).
Do đó tanSKH^=SHHK=a3a=3⇒SKH^=60°
Trong hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có\(AB = AA' = a\), \(BC = 2a\), \(AC = a\sqrt 5 \). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'BC} \right)\) có số đo bằng \(45^\circ \).
Hai mặt phẳng \(\left( {AA'B'B} \right)\) và \(\left( {BB'C} \right)\) vuông góc với nhau.
\(AC' = 2a\sqrt 2 \).
Đáy \(ABC\) là tam giác vuông.
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Xét tam giác \(ABC\) có \[A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2}\]\[ = 5{a^2}\]\[ = A{C^2}\]\( \Rightarrow \) tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).
\( \Rightarrow \) Đáp án D đúng.
Do \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng và tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AB \bot \left( {BB'C} \right)\)\( \Rightarrow \left( {AA'B'B} \right) \bot \left( {BB'C} \right)\)\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.
Do \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng và tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'BC} \right)} \right) = \left( {AB,A'B} \right)\)\( = \widehat {ABA'} = 45^\circ \)\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.
Xét tam giác vuông \(A'AC\) ta có \(A'C = \sqrt {A{{A'}^2} + A{C^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} + 5{a^2}} \)\( = a\sqrt 6 \)\( \Rightarrow \) Đáp án C sai.
Cho tứ diện đều \[ABCD\], \(M\) là trung điểm \(BC\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
cosin của \(\left( {AM,DM} \right)\)có giá trị bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\)?
cosin của \(\left( {AD,DM} \right)\)có giá trị bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\)?
cosin của \(\left( {AB,DM} \right)\)có giá trị bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\)?
cosin của \(\left( {AB,AM} \right)\)có giá trị bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\)?
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
![Cho tứ diện đều \[ABCD\], \(M\) là trung điểm \(BC\). Các mệnh đề sau đúng hay sai? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid69-1771903464.png)
Ta có:\(\cos \left( {AM,DM} \right) = \frac{{A{M^2} + D{M^2} - A{D^2}}}{{2.AM.DM}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4} - {a^2}}}{{2.\frac{{3{a^2}}}{4}}} = \frac{1}{3}\) nên phương án a sai.
Ta có:\(\cos \left( {AD,DM} \right) = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) nên phương án b sai
Ta có \(\cos \left( {AB,AM} \right) = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) phương án d sai.
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Cạnh \[AB = a\] nằm trong mặt phẳng \[\left( P \right)\], cạnh \(AC = a\sqrt 2 \), \[AC\] tạo với \[\left( P \right)\] một góc \[{60^0}\]. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\[\left( {ABC} \right)\] tạo với \[\left( P \right)\] góc \[{45^0}\].
\[BC\] tạo với \[\left( P \right)\] góc \[{30^0}\].
\[BC\] tạo với \[\left( P \right)\] góc \[{45^0}\].
\[BC\] tạo với \[\left( P \right)\] góc \[{60^0}\].
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
![Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Cạnh \[AB = a\] nằm trong mặt phẳng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid70-1771903526.png)
Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[C\] lên mặt phẳng \[\left( P \right)\].
Khi đó, \[\left( {AC,\left( P \right)} \right) = \left( {AC,AH} \right) = \widehat {CAH} = {60^0}\] và \[\left( {BC,\left( P \right)} \right) = \left( {BC,AH} \right) = \widehat {CBH} = \alpha \].
Tam giác \[AHC\] vuông tại \[H\] nên \[\sin \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AC}} \Rightarrow CH = AC.\sin \widehat {CAH} = a\sqrt 2 .\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\].
Tam giác \[CHB\] vuông tại \[H\] nên \[\sin \alpha = \frac{{CH}}{{BC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = {45^0}\].
Cho hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\) và cạnh bằng \(2a\). Trên đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\) lấy điểm \(S\). Biết góc giữa \[SA\] và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ \). Độ dài \(SO\) bằng
Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)nên \[AO\] là hình chiếu của \(SA\) lên \(mp\left( {ABCD} \right)\). Do đó
\(\left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SAO} = 45^\circ \).
Ta có \(AO = \frac{1}{2}AC = a\sqrt 2 \). Tam giác \(SAO\) vuông cân tại \(O\) nên \(SO = AO = a\sqrt 2 \).
Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Biết số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\) bằng 60°. Tỉ số diện tích của hai tam giác \(ABC\) và \(SBC\)bằng
Kẻ \[AH \bot BC{\rm{ }}(H \in BC)\]. Ta có \[\;SA \bot (ABC)\; = > \;SA \bot BC\], \[AH \bot BC{\rm{ }}\]nên \(\widehat {SHA}\) là góc phẳng nhị diện cần tìm của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\). Vậy SHA^=60°
Ta có SΔABCSΔSBC=12AH.BC12SH.BC=AHSH=cosSHA^=cos60°=12 (đpcm).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\) vuông góc với đáy \(ABCD\). Biết tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\). Có\(BC = a,SB = a\sqrt 7 .\) Tính góc giữa \(SC\) và mặt đáy \(ABCD.\)
Ta có \(\left( {SC,(ABCD)} \right) = (SC,AC) = \widehat {SCA}.\)
Do \[BC \bot AB;BC \bot SA\] nên \(BC \bot SB\) hay tam giác \[SBC\] vuông tại \[B.\]
Do đó \(SC = \sqrt {S{B^2} + B{C^2}} = 2a\sqrt 2 ;AC = a\sqrt 2 .\)
Trong tam giác \(SAC\) ta có \(\cos \widehat {SCA} = \frac{{AC}}{{SC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SCA} = {60^0}.\)
Vậy góc giữa \[SC\]và mặt đáy \[ABCD\] bằng \({60^0}.\)
Trong hình 42, máy tính xách tay đang mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện. Ta gọi số đo góc nhị diện đó là độ mở của màn hình máy tính. Tính độ mở của màn hình máy tính theo đơn vị độ, biết tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh là \(AB = AC = 30\,\,{\rm{cm}}\) và \(BC = 30\sqrt 3 \,{\rm{cm}}\).
Gọi \(AE\) là đường thẳng chứa bản lề của máy tính ta có \(AB,{\rm{ }}AC\) cùng vuông góc với \(AE\) nên \(\widehat {BAC}\) là góc phẳng nhị diện cần tìm.
Xét tam giác \[ABC\] có \[cos\widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \widehat {BAC} = {120^o}\]
Trong hình 43, xét các góc nhị diện có góc phẳng nhị diện tương ứng là \(\widehat B\), \(\widehat C\), \(\widehat D\), \(\widehat E\) trong cùng mặt phẳng. Lục giác \(ABCDEG\) nằm trong mặt phẳng đó có \(AB = GE = 2\,{\rm{m}}\), \(BC = DE\), \(\widehat A = \widehat G = 90^\circ \), \(\widehat B = \widehat E = x\), \(\widehat C = \widehat D = y\). Biết rằng khoảng cách từ \(C\) và \(D\) đến \(AG\) là \(4\,{\rm{m}}\), \(AG = 12\,{\rm{m}}\) ,\(CD = 1\,{\rm{m}}\). Tìm \(x\), \(y\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).
Kẻ \[CH \bot AG{\rm{ }}(H \in AG),{\rm{ }}DK \bot AG{\rm{ }}(K \in AG)\]
Gọi \[I = BE \cap CH,{\rm{ }}J = BE \cap DK\]. Vì \[ABEG\] là hình chữ nhật nên \[BE = AB = 12{\rm{ }}\left( m \right)\].
Do \[CDKH,{\rm{ }}CDJI\] là hình chữ nhật nên \[IH = JK = AB = 2{\rm{ }}\left( m \right)\]. \[AH = GK = BI = EJ = \frac{{AG - HK}}{2} = \frac{{12 - 1}}{2} = 5,5{\rm{ }}\left( m \right)\]. Khoảng cách từ \(C\) và \(D\) đến \(AG\) là \(4\,{\rm{m}}\) nên \[CI = CH - IH = 2\]. Xét tam giác \[BCI\] vuông tại \(I\) có Vậy ,
Hình bên là hình chụp đền Kukulcan, là một kim tự tháp Trung Mỹ nằm ở khu di tích Chichen Itza, Mexico, được người Maya xây vào khoảng từ thế kỉ IX đến thế kỉ XII. Phần thân của đền, không bao gồm đền nằm phía trên, có dạng một khối chóp cụt tứ giác đều (không tính cầu thang và coi các mặt bên là phẳng) với độ dài đáy dưới là \(55,3\left( {\rm{m}} \right)\), chiều cao là \(24\left( {\rm{m}} \right)\), góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy là \(\alpha \). Tính thể tích cuả phần thân ngôi đền có dạng khối chóp cụt tứ giác đều đó theo đơn vị mét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) biết rằng \(\tan \alpha = \frac{{320}}{{211}}\).
Giả sử khối chóp cụt tứ giác đều cần tính thể tích là \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(O\), \(O'\) lần lượt là tâm của hai đáy. Gọi \(M\), \(M'\) lần lượt là trung điểm của \(BC\), \(B'C'\) như hình vẽ; \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M'\) lên \(OM\).
Khi đó góc phẳng nhị diện của mặt bên \(BCC'B'\) và mặt đáy \(ABCD\) là góc \(\widehat {M'MH} = \alpha \).
Ta có \(\tan \widehat {M'MH} = \frac{{M'H}}{{MH}}\) \( \Rightarrow \frac{{24}}{{MH}} = \frac{{320}}{{211}} \Rightarrow MH = \frac{{24.211}}{{320}} = \frac{{633}}{{40}}\).
\[ \Rightarrow A'B' = 2.O'M' = 2\left( {OM - HM} \right) = 55,3 - \frac{{633}}{{20}} = \frac{{473}}{{20}} = 23,65\].
Do đó thể tích phần thân đền bằng \[V = \frac{{OO'}}{3}\left( {A{B^2} + A'{{B'}^2} + AB.A'B'} \right) = \frac{{24}}{3}\left( {55,{3^2} + 23,{{65}^2} + 55,3.23,65} \right) = 39402,06\left( {{m^3}} \right)\].
