Đề kiểm tra Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng góc nhị diện (có lời giải) - Đề 2

Ta có: \(SA \bot (ABC)\) nên \(AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \((ABC)\).

Suy ra \((SB,(ABC)) = (SB,AB) = \widehat {SBA}\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có: \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 {\rm{. }}\)

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có: \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \)

Gọi \(H\) là trung điểm \(AC\) thì \(BH \bot AC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(B\)). (1)

Ta lại có \(SA \bot (ABC) \Rightarrow BH \bot SA\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BH \bot (SAC)\) hay \(SH\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \((SAC)\).

Vậy \((SB,(SAC)) = (SB,SH) = \widehat {BSH}\).

Ta có: \(BH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), suy ra \(\sin \widehat {BSH} = \frac{{BH}}{{SB}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA({\rm{ do }}SA \bot (ABC))}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB} \right.\).

Vì vậy \((SB,AB) = \widehat {SBA}\) chính là góc phẳng nhị diện \([S,BC,A]\) với \(\tan \widehat {SBA} = \sqrt 2 \) (theo câu a)).

Suy ra $\widehat{SBA}\approx 54,{74}^{°}$

Có \[A'A \bot \left( {ABCD} \right)\] suy ra \(AB\) là hình chiếu vuông góc của \[A'B\] trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Suy ra góc giữa \[A'B\] và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc giữa \[A'B\] và \(AB\).

Vì tam giác \[A'AB\] vuông tại A nên \(\widehat {A'BA}\) là góc nhọn.

 Vậy góc giữa \[A'B\] và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc giữa \[A'B\] và \(AB\) bằng \(\widehat {A'BA} = 45^\circ \).

Ta có: \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) lên \(\left( {ABHK} \right)\)

Suy ra \(KB\) là hình chiếu vuông góc của \(BD\) lên \(\left( {ABHK} \right)\)

Suy ra góc giữa \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {ABHK} \right)\) là góc \[\widehat {DBK}\]

Ta có: \[AK = \sqrt {A{D^2} - D{K^2}}  = \sqrt {3,{5^2} - {2^2}}  = \frac{{\sqrt {33} }}{2}\]

Mặt khác: \[BK = \sqrt {A{B^2} + A{K^2}}  = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt {33} }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {37} }}{2}\].

Trong tam giác vuông \[DBK\]: \[\tan \varphi  = \frac{{DK}}{{BK}} = \frac{2}{{\frac{{\sqrt {37} }}{2}}} = \frac{{4\sqrt {37} }}{{37}}\].

Gọi \[\Delta ABC\] là mặt cắt ngang của mái nhà, \(A\) là điểm cao nhất của mái ngói và \(B\,,\,C\) là hai mép mái ngói. Gọi \(H\)là hình chiếu của \(A\)lên mặt phẳng đáy nằm ngang (chứa 2 mép ngói)

Ta có: \(BC = 5m\), \(H\)là trung điểm của \(BC \Rightarrow BH = 2,5m\). \(AH = 1,75\,m\).

\(BH\) là hình chiếu của mái nhà \(AB\) lên mặt phẳng nằm ngang. Góc tạo bởi mái nhà với mặt phẳng nằm ngang là \(\widehat {ABH}\).

Độ dốc của mái nhà là: \(tan\left( {ABH} \right) = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{1,75}}{{2,5}} = \frac{7}{{10}}\).

Vậy độ dốc của mái nhà là \(\frac{7}{{10}}\).

Gọi điểm tiếp xúc 3 chân của tripod với mặt đất là \(A\,,\,B\,,\,C\) và 3 chân của tripod là \(SA\,,\,SB\,,\,SC\).

Ta có \(\Delta ABC\) đều cạnh \(50\,cm\), \(SA = SB = SC = 143\,cm\). Hình chóp \(S.ABC\)là hình chóp đều.

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(M\)là trung điểm của \(BC\).

Ta có: \(AM = \frac{{50\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3 \). \(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{50\sqrt 3 }}{3}\).

\(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{{143}^2} - {{\left( {\frac{{50\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  \approx 140\,\left( {cm} \right)\).

Ta có: \(AH\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) lên \(\left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SA\,,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA\,;\,AH} \right)\).

Xét \(\Delta SAH\) vuông tại \(H\), ta có: \(\cos \left( {SAH} \right) = \frac{{AH}}{{SA}} = \frac{{50\sqrt 3 }}{{429}} \Rightarrow \widehat {SAH} \approx 78^\circ \).

Vậy tripod cao \(1\,,\,4\,m\) và góc tạo bởi 1 chân của tripod với mặt đất là \(78^\circ \).