Đổi 30 phút = 1/2 giờ.

Gọi chiều dài quãng đường AB là x (km) ( ĐK: x > 0).

Thời gian xe khách đi từ A đến B là $\frac{x}{45}$ giờ.

Thời gian xe tải đi từ A đến B là $\frac{x}{40}$ giờ.

Theo bài ra, ta có phương trình: $\frac{x}{40}-\frac{x}{45}=\frac{1}{2}$.

$\iff \frac{9x}{360}-\frac{8x}{360}=\frac{180}{360}$

$\iff$ 9x – 8x = 180

$\iff$ x = 180 (TMĐK)

Vậy quãng đường AB dài 180 km.

a) Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC² = BC²

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)$

Ta có AD là tia phân giác $\widehat{ABC}$, theo tính chất tia phân giác của tam giác:

$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$$\Rightarrow \frac{AD}{DC+AD}=\frac{AB}{BC+AB}$

$\iff \frac{AD}{AC}=\frac{AB}{BC+AB}$.

Thay số, ta được: $\frac{AD}{8}=\frac{6}{10+6}\Rightarrow AD=\frac{6.8}{10+6}=3\left(cm\right)$.

Þ DC = AC – AD = 8 – 3 = 5 (cm)

Vậy AD = 3 cm, DC = 5 cm.

b) Xét DHBA và DABC có:

$\widehat{AHB}=\widehat{BAC}={90}^o$ 

$\widehat{BAH}=\widehat{ACB}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$).

Do đó DHBA  DABC (g.g)

Suy ra: $\frac{HB}{AB}=\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}$$\Rightarrow \frac{HB}{AB}=\frac{AD}{DC}$         (1)

Mặt khác, BI là tia phân giác $\widehat{ABH}$, áp dụng tính chất tia phân giác, ta có:

$\frac{HB}{AB}=\frac{IH}{IA}$     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{IH}{IA}=\frac{AD}{DC}$ (đpcm).

c) Xét DABD và DHBI có:

$\widehat{BAD}=\widehat{AHB}={90}^o$

$\widehat{ABD}=\widehat{IBH}$ (vì BD là tia phân giác $\widehat{ABC}$)

Do đó DABD  DHBI (g.g)

Suy ra $\frac{AB}{HB}=\frac{BD}{BI}\iff AB.BI=BD.HB$

Lại có DABD  DHBI $\Rightarrow \widehat{BIH}=\widehat{ADI}$ (hai góc tương ứng)

Mà: $\widehat{BIH}=\widehat{AID}$ nên $\widehat{AID}=\widehat{ADI}$

Do đó DAID cân tại A.

Ta có:

x² + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5);

x² + 11x + 30 = (x + 6)(x + 5);

x² + 13x + 42 = (x + 6)(x + 7).

ĐKXĐ: x ≠ − 4; x ≠ − 5; x ≠ − 6; x ≠ − 7.

Phương trình đã cho trở thành:

$\frac{1}{(x+4)(x+5)}+\frac{1}{(x+5)(x+6)}+\frac{1}{(x+6)(x+7)}=\frac{1}{18}$ 

$\iff \frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}$

$\iff \frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}$

$\iff \frac{18(x+7)}{18(x+7)(x+4)}-\frac{18(x+4)}{18(x+7)(x+4)}=\frac{(x+7)(x+4)}{18(x+7)(x+4)}$

Þ 18(x + 7) − 18(x + 4) = (x + 7)(x + 4)

$\iff$18(x + 7 − x − 4) = x² + 11x + 28

$\iff$ x² + 11x + 28 = 54

$\iff$ x² + 11x − 26 = 0

$\iff$ x² − 2x + 13x − 26 = 0

$\iff$ x(x – 2) + 13(x – 2) = 0

$\iff$ (x + 13)(x − 2) = 0

$\iff$ x + 13 = 0 hoặc x − 2 = 0

$\iff$ x = −13 (TM) hoặc x = 2 (TM).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {−13; 2}.