a) Với $m\ne \mathrm{1,}$  để đường thẳng $\left(d\right):y=\left(m-1\right)x+m$  song song với đường thẳng $\left(d^{\text{'}}\right):y=2x-3$  thì $m-1=2$  và $m\ne -\mathrm{3,}$  tức là $m=3$  (thỏa mãn $m\ne \mathrm{1,}m\ne -3).$

Vậy m = 3

b) ⦁ Với m = 3 ta có hàm số $y=2x+3.$

Cho x = 0 ta có y = 3

Cho x = -1 ta có y = 1    

Đồ thị hàm số $y=2x+3$ là đường thẳng (d)  đi qua hai điểm (0;3) và (-1;1)

⦁ Xét hàm số $y=2x-3.$

Cho x = 0 ta có y = -3

Cho x = 1 ta có y = -1

Đồ thị hàm số $y=2x-3$ là đường thẳng (d')  đi qua hai điểm (0;-3) và (1;-1)

c) Gọi $A\left(x_A;y_A\right)$  là giao điểm của hai đường thẳng $y=x+2;y=\frac{1}{2}x+3.$

Vì A thuộc đường thẳng y = x + 2 nên ta có $y_A=x_A+2.$  Khi đó $A\left(x_A;x_A+2\right).$

Vì A thuộc đường thẳng $y=\frac{1}{2}x+3$  nên ta có $x_A+2=\frac{1}{2}{x}_A+\mathrm{3,}$  suy ra $\frac{1}{2}{x}_A=\mathrm{1,}$  do đó $x_A=2.$

Từ đó ta có $y_A=x_A+2=2+2=4.$

Vì vậy ta được $A\left(2;4\right).$

Để ba đường thẳng $y=x+2;y=\frac{1}{2}x+3$  và $\left(d\right):y=\left(m-1\right)x+m$  đồng quy thì đường thẳng (d)  phải đi qua giao điểm A(2;4) của hai đường thẳng $y=x+2;y=\frac{1}{2}x+3.$

Khi đó $x=\mathrm{2,}y=4$  thỏa mãn hàm số $y=\left(m-1\right)x+m,$  ta được:

$4=\left(m-1\right)\cdot 2+m,$ suy ra $2m-2+m=\mathrm{4,}$  do đó  3m = 6 nên m = 2 (thỏa mãn

Vậy m = 2.

Suy ra $CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 18=9\text{ cm}$  và $BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{ cm}.$

b) Xét $\Delta ACD,$  có CI là đường phân giác của $\widehat{ACD}$  nên $\frac{AG}{GM}=2.$

Mặt khác, do G là trọng tâm của $\Delta ABC$  nên $\frac{AG}{GM}=2.$

Do đó $\frac{AI}{ID}=\frac{AG}{GM}=\mathrm{2,}$  theo định lí Thalès đảo ta có $IG\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BC.$

c) Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó $MB=MC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 15=\mathrm{7,5}\text{ cm}.$

Suy ra $DM=BM-BD=\mathrm{7,5}-6=\mathrm{1,5}\text{ cm}.$

Xét $\Delta ADM$  có $IG\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BC,$  theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{IG}{DM}=\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}.$

Suy ra $IG=\frac{2}{3}DM=\frac{2}{3}\cdot \mathrm{1,5}=1\text{ cm}.$

Đặt các điểm $A,B,C,D,E,M,N,P$  như hình vẽ trên.

⦁ Xét $\Delta AMC$  có  lần lượt là trung điểm của $AC,MC$  (do $EA=EC,PM=PC)$  nên EP là đường trung bình của $\Delta AMC$

Do đó $EP=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{2,7}=\mathrm{1,35}\left(\text{m}\right)$  (tính chất đường trung bình của tam giác).

Hay $x=\mathrm{1,35}\left(\text{m}\right)\text{.}$

⦁ Ta có $MB=MN+NB$  và $MC=MP+PC$

Mà $MN=NB=MP=PC$  nên $MB=MC.$

Xét $\Delta ABC$  có D, M lần lượt là trung điểm của $AB,BC$  (do $DB=DA,MB=MC)$  nên DM là đường trung bình của $\Delta ABC.$

Do đó $DM=\frac{1}{2}AC$  (tính chất đường trung bình của tam giác).

Suy ra $AC=2DM=2\cdot \mathrm{2,8}=\mathrm{5,6}\left(\text{m}\right).$  Hay $y=\mathrm{5,6}\left(\text{m}\right).$

Vậy độ dài của cây chống đứng bên và độ dài của của cánh kèo lần lượt là  $x=\mathrm{1,35}\left(\text{m}\right);$ $y=\mathrm{5,6}\left(\text{m}\right).$