Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \[{d_1}\] và đường thẳng \[{d_2}\] lần lượt có véc-tơ chỉ phương là \[{\overrightarrow u _{_{{d_1}}}} = \left( {1;\, - 2;\, - 3} \right)\] và \[{\vec u_{{d_2}}} = \left( { - 4;\,1;\,5} \right)\]. Góc giữa hai đường thẳng \[{d_1},\,\,{d_2}\] là
\[{30^0}\].
\[{45^0}\].
\[{90^0}\].
\[{60^0}\].
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d\) có VTCP \[\vec u = \left( {2;2;1} \right).\]Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(d\) và trục \(Ox\). Tính \(\cos \alpha .\)
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(\frac{1}{3}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - {\rm{z}} - 3 = 0\) và \(\left( Q \right):x - {\rm{z}} - 2 = 0.\) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\,\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y - z - 5 = 0\). Hãy tính cosin góc tạo bởi đường thẳng \(\left( d \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).
\(\frac{1}{{\sqrt 6 }}\).
\[\frac{1}{2}\].
\(\frac{{\sqrt {30} }}{6}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 1\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 2}}{2}.\) Biết rằng trong mặt phẳng \((P)\) có hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) cùng đi qua điểm \(A(1; - 1;1)\) và cùng cách đường thẳng \(d\) một khoảng bằng \(1\). Tính \(\sin \varphi \) với \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({d_1},{d_2}.\)
\(\frac{1}{2}.\)
\(1\)
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\(\frac{3}{7}\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 1 = 0\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):4x - 4y + 3z - 2 = 0\). Đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\), có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {m\,;n\,;1} \right)\). Khi \(\Delta \) tạo với \(\left( Q \right)\) một góc lớn nhất thì sin của góc tạo bởi đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) bằng bao nhiêu?
\(\frac{{2\sqrt {41} }}{{41}}\).
\(1\).
\(\frac{{\sqrt {41} }}{{41}}\).
\(\frac{{\sqrt {205} }}{{41}}\).
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], tính góc giữa mặt phẳng \[\left( P \right):2x - 3y - 4 = 0\] và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
\[30^\circ \].
\[90^\circ \].
\[60^\circ \].
\[0^\circ \].
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], góc giữa đường thẳng \(d\) chứa trục \(Ox\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3y - z + 5 = 0\) bằng
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
\(0^\circ \).
\(30^\circ \).
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], tính góc giữa hai đường thẳng \[{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 1 + t\\z = 5\end{array} \right.\] và \[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t'\\y = - 3 + t'\\z = 1 - 2t'\end{array} \right.\].
\(60^\circ \).
\(45^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], tính góc giữa hai đường thẳng \[{d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 5}}{{ - 1}} = \frac{z}{4}\] và \[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 3\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\].
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \)
Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp \(S.ABCD\), có đáy là hình vuông với cạnh dài \(230\;{\rm{m}}\), các cạnh bên bằng nhau và dài \(219\,{\rm{m}}\) (theo britannica.com) (hình vẽ). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\). Tính góc giữa hai đường thẳng \(BG\) và \(SA\) (làm tròn tới hàng đơn vị độ).
\(66^\circ \).
\(69^\circ \).
\(70^\circ \).
\(71^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B\) có \(AB = BC = 4\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), \(SH \bot \left( {ABC} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tạo với mặt đáy một góc \(60^\circ \). Côsin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng
\(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
\(\frac{{\sqrt 5 }}{4}\).
\(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
\(\frac{1}{{\sqrt 7 }}\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,x - 2y + 2z - 1 = 0\)và \(\left( Q \right):\,x - my - 6 + m = 0\). Gọi \[\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \]và \[\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \] lần lượt là vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
[1] Mặt phẳng \(\left( P \right):\,x - 2y + 2z - 1 = 0\) có VTPT là \[\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1\,;\, - 2\,;\,2} \right)\].
[1]\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right|\).
[2] Với \(m = 0\) thì hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) vuông góc nhau.
[3] Tổng các giá trị của \(m\) để góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng \({45^o}\) là \(8\).
Trong không gian, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 3z - 1 = 0\) và đường thẳng \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2t\\z = t\end{array} \right.\).
[1] đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {1; - 2;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 3z - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1; - 1;3} \right)\).
[2]\(\cos \left( {d,\left( P \right)} \right) = \sqrt {\frac{6}{{11}}} \).
[3] Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng song song với \(\left( P \right)\), khi đó giá trị sin của góc giữa \(d\) và \(\left( Q \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt {66} }}{{11}}\).
[4] Có đúng một mặt phẳng đi qua gốc toạ độ, vuông góc với \(\left( P \right)\) và tạo với \(d\) một góc \({30^o}\).
Trong không gian , cho các đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 2 - 3t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\), \(\Delta ':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 2}}{2}\) và \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 1 = 0\) và \(\left( Q \right):2x + 3z - 2 = 0\).
Gọi \[\overrightarrow u \] và \[\overrightarrow {u'} \] lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\). Khi đó\(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \frac{{\overrightarrow {u.} \overrightarrow {u'} }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\).
Côsin góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và trục \[Ox\]bằng \(\frac{{\sqrt {14} }}{{14}}\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\). Khi đó \(\cos \alpha = \frac{5}{{\sqrt {238} }}\).
Góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta '\) bằng \({90^0}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật,\(AB = 1,\;BC = \sqrt 3 ,\;SA = 1\) và \(SA\) vuông góc với mặt đáy. Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:
Tọa độ các điểm \(B,C\) là \(B\left( {1;\;0;\;0} \right),C\left( {1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\) .
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(SB\) là \(\overrightarrow u = \left( {1;\; - 1;\;1} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {\sqrt 3 ;\;1;\;\sqrt 3 } \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(\left( {SBC} \right)\). Khi đó \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], góc tạo bởi trục \[Oz\] và mặt phẳng α: 2x−y+z−7=0 ( kết quả làm tròn đến hàng phần mười). Giá trị \[a\] là
24,1
Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\]có chiều cao bằng 5, đáy là tam giác vuông cân tại \[A\], cạnh bằng 3. \[M\] là trung điểm của \[BC\]. Góc tạo bởi đường thẳng \[A'M\] và \[AB\] bằng \[a^\circ \] ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Giá trị \[a\] là
74
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho \[\left( P \right):x - y + z - 2 = 0\], \[d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{2}\]và điểm \[A\left( {2\,;\,1\,;\,1} \right) \in \left( P \right)\] . Đường thẳng \[\Delta \] qua \[A\], nằm trong \[\left( P \right)\] và tạo với \[d\] một góc nhỏ nhất. Biết \[\Delta \cap \left( {Oxy} \right) = B\left( {m\,;\,n\,;\,p} \right)\]. Giá trị \[T = 7m + 7n + p\]bằng
18
Trong không gian \[Oxyz\], góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 10 = 0\) và mặt phẳng
\(\left( Q \right):x + y + 4z + 10 = 0\) bằng \(a^\circ \). Tính giá trị biểu thức \(T = 1 - 2{\cos ^2}a\,\)
Một chiếc bàn gấp gọn đã được thiết lập hệ tọa độ\[Oxyz\]. Điểm A là chân bàn tiếp xúc với mặt đất thuộc đường thẳng \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t\\y = 1 + t\\z = - 2 + 4t\end{array} \right.\) cắt mặt bàn \(\left( P \right):x + y - 2z + 6 = 0\) tại điểm F. Độ dài chân bàn \(FA = 40\sqrt 3 \,cm\), khi đó độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là bao nhiêu cm?
![Một chiếc bàn gấp gọn đã được thiết lập hệ tọa độ\[Oxyz\]. Điểm A là chân bàn tiếp xúc với mặt đất thuộc (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid34-1770300505.png)
40
Một kỹ sư Strong thiếp lập một hệ tọa độ \[Oxyz\] để theo dõi vị trí lắp đặt của 2 mái nhà đã được gắn với nhau tạo thành hình chữ V vào các thanh đà sao cho chuẩn xác nhất. Biết phương trình mặt phẳng chứa 2 mái là \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 6 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 2y + z - 5 = 0\), điểm A là nóc ngói, 2 điểm B, F là rìa đuôi ngói của mỗi mái tiếp xúc giữa mái và thanh đà như hình vẽ (các thanh đà dài như nhau) khi cố định phần dưới của ngôi nhà. Khoảng cách \(BF = 20\,m\), khi đó tỉ số độ dài của thanh đà AF và khoảng cách BF bằng
![Một kỹ sư Strong thiếp lập một hệ tọa độ \[Oxyz\] để theo dõi vị trí lắp đặt của 2 mái nhà đã được gắn (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid36-1770300557.png)
0,92
