(Trả lời ngắn) 9 bài tập Công thức tính góc trong không gian (có lời giải)

Đáp án: \[45\]

\[\left( P \right)\]qua O và nhận \[\overrightarrow {OH}  = \left( {2;1;2} \right)\]làm VTPT

\[\left( Q \right):x - y - 11 = 0\] có VTPT \[\overrightarrow n  = \left( {1;1;0} \right)\]

Ta có cosP,Q^=OH→.n→OH.n→=12⇒P,Q^=450

Đáp án: 2

Mặt phẳng \[(P)\], \[(Q)\] có vectơ pháp tuyến lần lượt là\[\overrightarrow {{n_p}}  = \left( {1; - 2;2} \right)\], \[\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;0;2m - 1} \right)\]

Vì \[(P)\] tạo với \[(Q)\] góc \[\frac{\pi }{4}\] nên

\[\begin{array}{l}{\rm{cos}}\frac{\pi }{4} = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{n_p}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {1 + 2(2m - 1)} \right|}}{{3.\sqrt {1 + {{(2m - 1)}^2}} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2{\left( {4m - 1} \right)^2} = 9\left( {4{m^2} - 4m + 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4{m^2} - 20m + 16 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 4\end{array} \right..\end{array}\]

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cạnh hình lập phương là \(1\), ta được tọa độ các điểm như sau :

\(M\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{6}} \right)\)\(,C'\left( {0;1;0} \right)\)\(,D'\left( {1;1;0} \right)\) và \(A\left( {1;0;1} \right)\)\(,B\left( {0;0;1} \right)\).

Khi đó \({\overrightarrow n _{\left( {MC'D'} \right)}} = \left( {0;1;3} \right)\)\(;{\overrightarrow n _{\left( {MAB} \right)}} = \left( {0;5;3} \right)\) nên \(\cos \widehat {\left( {\left( {MAB} \right),\left( {MC'D'} \right)} \right)}\)\( = \frac{{\left| {5.1 + 3.3} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }}\) \( = \frac{{7\sqrt {85} }}{{85}}\).

Suy ra \[\sin \widehat {\left( {\left( {MAB} \right),\left( {MC'D'} \right)} \right)}\]\[ = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{7\sqrt {85} }}{{85}}} \right)}^2}} \]\( = \frac{{6\sqrt {85} }}{{85}}\).

Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với \(O \equiv A\) như hình vẽ, chọn \(a = 1\) đơn vị, khi đó ta có tọa độ điểm \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\) suy ra trung điểm của \(BC\) là \(H\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\), vì \(H\) là hình chiếu của \(A'\) nên suy ra tọa độ của \(A'\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\sqrt 5 } \right)\). Ta tìm tọa độ \(B'\), gọi tọa độ \(B'\left( {x;y;z} \right)\) khi đó ta có \(\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow {OB} \) nên tọa độ \(B'\left( {\frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\sqrt 5 } \right)\). Ta cũng có \(\overrightarrow {B'C}  = \left( { - \frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 5 } \right)\) và \(\overrightarrow {A'B}  = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 5 } \right)\). Từ đó ta có \(\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {B'C} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {A'B} } \right|.\left| {\overrightarrow {B'C} } \right|}}\) \( = \frac{7}{{2.\sqrt 6 .\sqrt 8 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{{24}}\).

Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên \(A'C'\) là hình chiếu vuông góc của \(A'C\) trên (ABCD)⇒(A'C,(ABCD))=(A'C,A'C')=CA'C'^=300.

Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = a\sqrt 3 ;\tan \widehat {CA'C'} = \frac{{CC'}}{{A'C'}} \Rightarrow CC' = a.\)

Kết hợp với giả thiết ta được \(ABB'A'\) là hình vuông và có \(H\) là tâm.

Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(K\) trên \(A'D'\& A'A.\)

Ta có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt 6 }}{3};\)\(A'K = \sqrt {A'{A^2} - A{K^2}}  = \frac{a}{{\sqrt 3 }};\)

\(\frac{1}{{K{F^2}}} = \frac{1}{{K{A^2}}} + \frac{1}{{A'{K^2}}} \Rightarrow KF = \frac{{a\sqrt 2 }}{3};KE = \sqrt {A'{K^2} - K{F^2}}  \Rightarrow KE = \frac{a}{3}.\)

Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) thỏa mãn \(O \equiv A'\) còn \(D',{\rm{ }}B',{\rm{ }}A\) theo thứ tự thuộc các tia \(Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz.\) Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là:

\(A(0;0;a),B'(0;a;0),H(0;\frac{a}{2};\frac{a}{2}),K(\frac{{a\sqrt 2 }}{3};0;\frac{a}{3}),E(\frac{{a\sqrt 2 }}{3};0;0),F(0;0;\frac{{a\sqrt 2 }}{3}).\)

Mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) là mặt phẳng \((yOz)\) nên có VTPT là \({\overrightarrow n _1} = (1;0;0);\)

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AK} ,\overrightarrow {AH} } \right] = \frac{{{a^2}}}{6}{\overrightarrow n _2},{\rm{ }}{\overrightarrow n _2}(2;\sqrt 2 ;\sqrt 2 ).\)

Mặt phẳng \((AKH)\)có VTPT là \({\overrightarrow n _2} = (2;\sqrt 2 ;\sqrt 2 );\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng\(\left( {AHK} \right)\) và \(\left( {ABB'A'} \right)\).

Ta có cosα=cos(n→1,n→2)=12⇒α=450.

Lấy \[H\] là trung điểm của \[BC\].

Ta có: \[{V_{ABC.A'BC'}} = CC'.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4} \Rightarrow CC = a\]vì \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}\].

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ. Ta có \[M \equiv O\].

\[M\left( {0\,;0\,;0} \right),{\rm{ }}A'\left( {\frac{a}{2}\,;0\,;0} \right),{\rm{ }}B'\left( {0\,;\frac{{\sqrt 3 a}}{2}\,;0} \right),{\rm{ C'}}\left( {0; - \frac{{\sqrt 3 a}}{2};0} \right);{\rm{ }}A\left( {\frac{a}{2};0\,;a} \right);{\rm{ }}N\left( {0\,; - \frac{{\sqrt 3 a}}{2};\frac{a}{2}} \right)\].

Ta có: \[\left( {ABC} \right) \bot Oz\] nên \[\left( {ABC} \right)\] có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow {MA}  = \left( {\frac{a}{2};0;a} \right)\], \[\overrightarrow {MN}  = \left( {0; - \frac{{\sqrt 3 a}}{2};\frac{a}{2}} \right)\].

Gọi \[{\overrightarrow v _1} = \frac{a}{2}\overrightarrow {MA}  \Rightarrow {\overrightarrow v _1} = \left( {1;0;2} \right)\], \[{\overrightarrow v _2} = \frac{a}{2}\overrightarrow {MN}  \Rightarrow {\overrightarrow v _2} = \left( {0; - \sqrt 3 ;1} \right)\].

Khi đó mặt phẳng \[\left( {AMN} \right)\] song song hoặc chứa giá của hai vectơ không cùng phương là \({\overrightarrow v _1}\) và \({\overrightarrow v _2}\) nên có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n  = \left[ {{{\overrightarrow v }_1},{{\overrightarrow v }_2}} \right] = \left( {2\sqrt 3 ; - 1; - \sqrt 3 } \right)\].

Vậy \[\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow k ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].

Chọn hệ trục tọa độ sao cho \[B\left( {0;0;0} \right)\], \[A\left( {a\sqrt 2 ;0;0} \right)\], \[C\left( {0;a\sqrt 2 ;0} \right)\], \[S\left( {x;y;z} \right)\].

Ta có \[\left( {ABC} \right):z = 0\], \[\overrightarrow {AS}  = \left( {x - a\sqrt 2 ;y;z} \right)\], \[\overrightarrow {CS}  = \left( {x;y - a\sqrt 2 ;z} \right)\]

Do \[\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AB}  = 0\]\[ \Rightarrow \left( {x - a\sqrt 2 } \right)a\sqrt 2  = 0\]\[ \Rightarrow x = a\sqrt 2 \], \[d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = 2a\]\[ \Rightarrow z = 2a\] \[\left( {z > 0} \right)\]

\[\overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CB}  = 0\]\[ \Rightarrow \left( {y - a\sqrt 2 } \right)a\sqrt 2  = 0\]\[ \Rightarrow y = a\sqrt 2 \]\[ \Rightarrow S\left( {a\sqrt 2 ;a\sqrt 2 ;2a} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow {AS}  = \left( {0;a\sqrt 2 ;2a} \right)\], \[\overrightarrow {CS}  = \left( {a\sqrt 2 ;0;2a} \right)\], \[\overrightarrow {BS}  = \left( {a\sqrt 2 ;a\sqrt 2 ;2a} \right)\].

\[\left( {SBC} \right)\] có 1 vtpt \[\vec n = \left( { - \sqrt 2 ;0;1} \right)\], \[\left( {SAB} \right)\] có 1 vtpt \[\vec m = \left( {0;\sqrt 2 ; - 1} \right)\]\[ \Rightarrow \cos \varphi \]\[ = \frac{1}{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }}\]\[ = \frac{1}{3}\].

Gọi \(O\) là trung điểm \(BC\).

Ta có: BO=AB.cos30o⇔AB=BOcos30o=a32.32=a=AC và AO=AB.sin30o=a2

Theo đề bài:

2CM→=3CC'→⇔CM→=32CC'→⇔CC'→+C'M→=32CC'→⇔C'M→=12CC'→⇒C'M=a2

Coi \(a = 1\).

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\)như hình vẽ với \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,\frac{1}{2};\,0} \right)\), \(B\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,0} \right)\), \(C\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,0} \right)\), \(B'\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,1} \right)\), \(M\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,\frac{3}{2}} \right)\).

Khi đó \(\left( {ABC} \right) \equiv \left( {Oxy} \right):z = 0 \Rightarrow \left( {ABC} \right)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k  = \left( {0;\,0;\,1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB'}  = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \frac{1}{2};\,1} \right)\), \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \frac{1}{2};\,\frac{3}{2}} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}}  = 4\left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AM} } \right] = \left( {1;\,5\sqrt 3 ;\,2\sqrt 3 } \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {AB'M} \right)\).

Vậy \[{\rm{cos}}\alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} } \right|}} = \frac{{\left| {2\sqrt 3 } \right|}}{{1.2\sqrt {22} }} = \sqrt {\frac{3}{{22}}}  \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha  = \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }  = \sqrt {\frac{{19}}{{22}}}  = \frac{{\sqrt {418} }}{{22}}\].

Dựng \[AO \bot \left( {BCD} \right)\] khi đó \[O\] là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật \[BCDO\].

Góc giữa đường thẳng \(AD\) và \(BC\) là góc giữa đường thẳng \(AD\) và \(OD\) và bằng ADO^=600Xét tam giác ADO vuông tại O: tan600=OAOD⇒OA=33.

Gắn hệ tọa độ \[Oxyz\] vào hình chóp như hình vẽ.

Ta có:

\[O\left( {0;0;0} \right)\]; \[B\left( {4;0;0} \right)\]; \[D\left( {0;3;0} \right)\]; \[C\left( {4;3;0} \right)\]; \[A\left( {0;0;3\sqrt 3 } \right)\].

\[\overrightarrow {AB}  = \left( {4;0; - 3\sqrt 3 } \right)\]; \[\overrightarrow {BC}  = \left( {0;3;0} \right)\]; \[\overrightarrow {AD}  = \left( {0;3; - 3\sqrt 3 } \right)\]; \[\overrightarrow {CD}  = \left( { - 4;0;0} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] nhận véctơ \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {9\sqrt 3 ;0;12} \right)\] làm véctơ pháp tuyến.

Mặt phẳng \[\left( {ADC} \right)\] nhận véctơ \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {0;12\sqrt 3 ;12} \right)\] làm véctơ pháp tuyến.

Nên \[\cos \left( {\left( {ABC} \right);\left( {ADC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{4}{{\sqrt {43} .2}} = \frac{{2\sqrt {43} }}{{43}} \cdot \]