(Đúng sai) 33 bài tập Công thức tính góc trong không gian (có lời giải)

a) Chọn Sai

a) Chọn đúng

A∈Oy⇒A0; −2; 0

b) Vì \(OB\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(OB = 2\sqrt 3 \)\( \Rightarrow B'\left( {2\sqrt 3 ;\,0;\,6} \right)\);

c)\(A'\left( {0; - 2;7} \right)\), \(B'\left( {2\sqrt 3 ;\,0;\,6} \right)\), \(C'\left( {0;\,2;\,5} \right)\)

\[\overrightarrow {A'B'}  = \left( {2\sqrt 3 ;\,2;\, - 1} \right)\], \[\overrightarrow {A'C'}  = \left( {0;\,4;\, - 2} \right)\]

Khi đó \(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;\,4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right) = 4\sqrt 3 \left( {0;1;2} \right)\)

Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) là \(\vec u = \left( {0;1;2} \right)\);

Chọn đúng

d) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sàn nhà \(\vec j = \left( {0;\,0;\,1} \right)\)

Gọi \(\varphi \)là góc giữa mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà. Khi đó cosφ=0+1.0+2.11.5=25⇒φ≈26o34'Chọn đúng

b) Chọn Sai

c) Chọn Đúng

Ta có: \(\vec u = (2;3;6)\) là một vectơ chì phương của đường thẳng \(\Delta \), \(\vec n = (1; - 2; - 2)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

\(\sin \alpha  = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 1 + 3 \cdot ( - 2) + 6 \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {6^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{16}}{{21}}.\) Suy ra α≈50°

Chọn đúng

Ta có: \(\vec u = (2;3;6)\) là một vectơ chì phương của đường thẳng \(\Delta \), \(\vec n = (1; - 2; - 2)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

\(\sin \alpha  = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 1 + 3 \cdot ( - 2) + 6 \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {6^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{16}}{{21}}.\) Suy ra α≈50°

a) Chọn đúng

Ta có: \({\vec n_1} = (2; - 3; - 6)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\), \({\vec n_2} = (2;2;1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_2}} \right)\).

\(\cos \alpha  = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|2 \cdot 2 + ( - 3) \cdot 2 + ( - 6) \cdot 1|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 6)}^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{{21}}.\) Suy ra α≈68°

b) Chọn Sai

c) Chọn đúng

Ta có: \({\vec n_1} = (2; - 3; - 6)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\), \({\vec n_2} = (2;2;1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_2}} \right)\).

\(\cos \alpha  = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|2 \cdot 2 + ( - 3) \cdot 2 + ( - 6) \cdot 1|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 6)}^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{{21}}.\) Suy ra α≈68°

d) Chọn Sai

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta '\) có tọa độ là \(\left( { - 1;\,0;\,1} \right)\);

Chọn Sai

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\);

Chọn đúng

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\);

Chọn đúng

c) Gọi \(\vec u\), \(\overrightarrow {u'} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\). Khi đó, công thức tính góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) là \(\cos \left( {\Delta ,\,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\vec u,\,\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\vec u.\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\);

Chọn Sai

d) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;\,1;\,0} \right)\);

Đường thẳng \(\Delta '\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'}  = \left( { - 1;\,0;\,1} \right)\);

Khi này \(\cos \left( {\Delta ,\,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\vec u,\,\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.( - 1) + 1.0 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{{( - 1)}^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}\)

Do vậy, góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \), \(\Delta '\) là 60⁰Chọn đúng

a) \(\vec n = \left( {1;\, - 1;\,2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\);

Chọn đúng

b) Trục \(Ox\) có vectơ đơn vị \(\vec i = \left( {1;\,0;\,0} \right)\)

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)\)

Khi đó \(\cos \varphi  = \frac{{\left| 1 \right|}}{{1.\sqrt 6 }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\);

Chọn đúng

c) Thay tọa độ của điểm \(E\left( { - 1;\,2;\,1} \right)\) vào phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\), ta thấy: \( - 1 - 2 + 2.1 \ne 1\)

Do đó, \(E\left( { - 1;\,2;\,1} \right)\) không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\);

Chọn Sai

d) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)\)

\(\vec n = \left( {1;\, - 1;\,2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Khi đó \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.( - 1) + ( - 1).2} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{1}{2}\)

Do vậy, góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng 30⁰Chọn đúng

a) Thay tọa độ của điểm \(F\left( {0;\, - 1;\,3} \right)\) vào phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\), ta thấy:

\(0 + 2.( - 1) - 3 + 1 =  - \,4 \ne 0\)

Do vậy, \(F\left( {0;\, - 1;\,3} \right)\) không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\);

Chọn đúng

b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec j = \left( {0;\,1;\,0} \right)\)

Khi này, \(\cos \varphi  = \frac{{\left| 2 \right|}}{{1.\sqrt 6 }} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)\( \Rightarrow \sin \varphi  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\varphi }  = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\);

Chọn Sai

c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)\)

Khi \(m = 2\), mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n' = \left( {1;\, - 1;\,2} \right)\)

Do đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.( - 1) + 2.( - 1)} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{1}{2}\)

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) bằng 60⁰ khi \(m = 2\);

Chọn đúng

d) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)\)

Khi \(m = 1\), mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n' = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)\)

Khi đó \(\vec n.\vec n' = 1.1 + 2.( - 1) + ( - 1).(1) =  - 2 \ne 0\).

Do vậy, hai mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) không vuông góc với nhau khi \(m = 1\).

Chọn Sai

a) Gọi \(C\left( {x;\,y;\,z} \right)\)

Vì đáy \(OBCD\) là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {BC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y - 0 = 2\\z - 0 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 0\end{array} \right.\)

Vậy \(C\left( {1;\,2;\,0} \right)\).

Chọn Sai

b) \(\overrightarrow {OB}  = \left( {1;\,0;\,0} \right)\), \(\overrightarrow {SC}  = \left( {1;\,2;\,3} \right)\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(OB\) và \(SC\). Khi đó:  \(\cos \varphi  = \frac{{\left| 1 \right|}}{{1.\sqrt {14} }} = \frac{1}{{\sqrt {14} }}\);

Chọn đúng

c) \[\overrightarrow {SB}  = \left( {1;\,0;\,3} \right)\], \(\overrightarrow {SD}  = \left( {0;\,2;\,3} \right)\)

Khi đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) là \(\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( { - 6; - 3;2} \right)\);

Chọn sai

d) \(\overrightarrow {SO}  = \left( {0;\,0;\,3} \right)\)

Góc giữa đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\): \(\sin \left( {SO,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3} \right|}}{{3.7}} = \frac{2}{7}\)

Do vậy, góc giữa đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng 16o36'Chọn đúng

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;\, - 3;\, - 4} \right)\), \(\overrightarrow {AD}  = \left( {3;\,0;\, - 4} \right)\)

Khi đó \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {12;\, - 12;\,9} \right) = 3\left( {4; - 4;3} \right)\).

Do vậy \({\vec n_1} = \left( {4;\, - 4;\,3} \right)\)là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\);

Chọn đúng

b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) là \({\vec n_1} = \left( {4;\, - 4;\,3} \right)\)

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(\overrightarrow i  = \left( {1;\,0;\,0} \right)\)

Khi đó cosABD,Oyz=41.41=441⇒ABD,Oyz≈51o20'Chọn Sai

c) \(\overrightarrow {AC}  = \left( {0;\,3;\, - 4} \right)\), \(\overrightarrow {AD}  = \left( {3;\,0;\, - 4} \right)\)

Khi đó \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( { - 12;\, - 12;\, - 9} \right) =  - 3\left( {4;4;3} \right)\)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) là \({\vec n_2} = \left( {4;4;3} \right)\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\). Khi đó: \(\cos \varphi  = \frac{{\left| {4.4 - 4.4 + 3.3} \right|}}{{\sqrt {41} .\sqrt {41} }} = \frac{9}{{41}}\);

Chọn đúng

d) CB→=0; −6;0, CD→=3; −3; 0cosBCD^=cosCB→,CD→=0.3−6.(−3)6.32=22⇒BCD^=45oChọn đúng