20 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài 16. Công thức tính góc trong không gian (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Trong không gian Oxyz, cosin của góc giữa hai mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và \(\left( Q \right):x + y + z - 1 = 0\) bằng
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{9}\).
\(\frac{{ - \sqrt 3 }}{9}\).
\( - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Chọn B
Hai mặt phẳng (P), (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1;1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 - 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = - 1 + 4t\\z = 3t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 8}}{{ - 4}} = \frac{{z + 3}}{{ - 3}}\). Xác định góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.
30°.
90°.
0°.
60°.
Chọn C
Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;4;3} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 4; - 3} \right)\) lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 và d2.
Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + 4.\left( { - 4} \right) + 3.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{26}}{{26}} = 1\).
Suy ra (d1, d2) = 0°.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; 1; 5), C(2; 4; 2). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và AC.
30°.
120°.
150°.
60°.
Chọn D
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Đường thẳng AB và AC lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {AB,AC} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).
Suy ra (AB, AC) = 60°.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 3 = 0 và đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\). Tính sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Chọn A
Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và đường thẳng d nhận \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
150°.
30°.
120°.
60°.
Chọn B
Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và đường thẳng d nhận \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Ta có \[\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\].
Suy ra (d, (P)) = 30°.
Trong không gian Oxyz, góc giữa trục Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng
45°.
60°.
90°.
120°.
Chọn C
Vì Oy ^ (Oxz) nên góc giữa Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \). Biết góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \) bằng 120°. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng
45°.
60°.
30°.
120°.
Chọn C
Ta có \(\left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right) = 120^\circ \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 60^\circ \).
Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (P): x – y + 1 = 0 bằng
60°.
135°.
45°.
90°.
Chọn C
Ta có \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz), \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;0} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Khi đó \(\cos \left( {\left( {Oxz} \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Suy ra ((Oxz), (P)) = 45°.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 và đường thẳng d2 lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 2; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 4;1;5} \right)\).Góc giữa hai đường thẳng d1, d2 là
60°.
30°.
45°.
90°.
Chọn B
\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.\left( { - 4} \right) + \left( { - 2} \right).1 + \left( { - 3} \right).5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2} + {5^2}} }} = \frac{{21}}{{14\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra (d1, d2) = 30°.
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {\frac{8}{3};0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;\frac{8}{3}} \right)\) và \(\Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 5}}{{ - 5}}\). Khi đó góc giữa đường thẳng D và mặt phẳng (ABC) bằng
60°.
30°.
45°.
90°.
Chọn D
Mặt phẳng (ABC) có phương trình \(\frac{{3x}}{8} + \frac{y}{2} + \frac{{5z}}{8} = 1\)\( \Leftrightarrow 3x + 4y + 5z - 8 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;4;5} \right)\).
Đường thẳng D có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 3; - 4; - 5} \right)\).
Khi đó \(\sin \left( {\Delta ,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 3} \right) + 4.\left( { - 4} \right) + 5.\left( { - 5} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{50}}{{50}} = 1\).
Suy ra (D, (ABC)) = 90°.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 3 + t\\z = 4\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0\).
a) \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P).
b) Điểm M(0; 4; 4) thuộc D.
c) Góc giữa D và (P) bằng 60°.
d) Đường thẳng d đi qua điểm M(0; 4; 4), song song với (P) và tạo với D một góc 45° có phương trình là \(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\).
a)\(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P).
b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng D thỏa mãn. Do đó M Î D.
c) Đường thẳng D có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;1;0} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + 1.\left( { - 2} \right) + 0.2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Suy ra (D, (P)) = 45°.
d) Gọi \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {a;b;c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right)\) là một vectơ chỉ phương của d.
Do d // (P) nên \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow n = 0 \Leftrightarrow a - 2b + 2c = 0\) (1).
Vì \(\cos \left( {d,\Delta } \right) = \cos 45^\circ \) nên \(\frac{{\left| { - a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)\( \Leftrightarrow \left| { - a + b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)\( \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)
\( \Leftrightarrow {c^2} = - 2ab\)(2).
Từ (1) và (2) có \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2b + 2c = 0\\{c^2} + 2ab = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b - 2c\\{c^2} + 2\left( {2b - 2c} \right)b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b - 2c\\{\left( {c - 2b} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b - 2c\\c = 2b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - c\\c = 2b\end{array} \right.\).
Chọn b = 1 \( \Rightarrow a = - 2;c = 2\).
Suy ra đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc của đường thẳng d là \(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z - 4}}{2}\) hay \(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 4 + 2t\\z = - 3 - t\end{array} \right.\) và mặt phẳng (P) có phương trình \(2x + y + z - 1 = 0\).
a) Một vectơ chỉ phương của D là \(\overrightarrow u = \left( {3;4; - 3} \right)\).
b)\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
c) Góc giữa D và (P) là 30°.
d) Giao điểm của D và (P) là M(3; 4; −3).
a) Một vectơ chỉ phương của D là \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)\).
b) \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.2 + 2.1 + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}\).
c) \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = 30^\circ \).
d) Gọi M = D Ç (P).
Vì M Î D Þ H(3 + t; 4 + 2t; −3 −t).
Mà M Î (P) nên \(2\left( {3 + t} \right) + 4 + 2t - 3 - t - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow t = - 2\).
Vậy M(1; 0; −1).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 6y - 3z + 2024 = 0\).
a) Một vectơ chỉ phương của D là \(\overrightarrow u = \left( { - 1; - 2;1} \right)\).
b) Một vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
c) Góc giữa D và (P) là 90°.
d) Lấy tùy ý hai điểm phân biệt A, B ÎD. Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P). Khi đó A'B' = 2024.
a) Một vectơ chỉ phương của D là \(\overrightarrow u = \left( { - 1; - 2;1} \right)\).
b) Một vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
c) \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).2 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 1\).
Vậy (D, (P)) = 90°.
d) Vì D ^ (P) nên A' trùng B'. Do đó A'B' = 0.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{2}\); \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 3 + t\\z = 2 - mt\end{array} \right.\).
a) Khi m = 0, số đo góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng 135°.
b) \(\cos \left( {{d_1},Ox} \right) = - \frac{1}{3}\).
c) Đường thẳng D đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với (P): 2x + 2y + z – 4 = 0 tạo với đường thẳng d1 một góc α có \(\cos \alpha = \frac{4}{9}\).
d) Khi \(m = \frac{a}{b},a,b \in \mathbb{Z},\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, số đo góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng 90°. Giá trị biểu thức \({a^2} + {b^2} = 13\).
Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1; - 2;2} \right)\)
a) Khi m = 0, đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1;0} \right)\).
Khi đó \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).1 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Suy ra (d1, d2) = 45°.
b) Trục Ox có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\).
\(\cos \left( {{d_1},Ox} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).0 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{3}\).
c) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;2;1} \right)\),
Đường thẳng D đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow n = \left( {2;2;1} \right)\).
Khi đó \(\cos \left( {{d_1},\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).2 + \left( { - 2} \right).2 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}\).
d) Số đo góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng 90° khi hai đường thẳng vuông góc.
Khi đó \(\overrightarrow {{u_1}} \bot \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow v = 0 \Leftrightarrow - 3 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{3}{2}\).
Suy ra \(a = - 3;b = 2\). Vậy \({a^2} + {b^2} = 13\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2024}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2025}}{{ - 2}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 1 = 0\). Xét các vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow n = \left( {2;2;; - 1} \right)\).
a) \(\overrightarrow u \) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng D.
b) \(\overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
c) \(\cos \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{8}{9}\).
d) Góc giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng khoảng 63° (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).
a) \(\Delta :\frac{{x - 2024}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2025}}{{ - 2}}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\).
b) \(\left( P \right):2x + 2y - z + 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;2;; - 1} \right)\).
c) Ta có \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 1.2 - 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{8}{9}\).
Suy ra \({\cos ^2}\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = 1 - {\sin ^2}\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = 1 - \frac{{64}}{{81}} = \frac{{17}}{{81}}\)\( \Rightarrow \cos \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\sqrt {17} }}{9}\).
d) \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{8}{9} \Rightarrow \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) \approx 63^\circ \).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{2}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1\\z = 1 - t\end{array} \right.\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng d1, d2. Giá trị \(\cos \varphi \) có dạng \(\frac{{a\sqrt c }}{b}\). Tính giá trị biểu thức \(P = b - 3a + c\).
Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;2;2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;0; - 1} \right)\) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1, d2.
Khi đó \(\cos \varphi = \frac{{\left| { - 1.2 + 2.0 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{3\sqrt 5 }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{{15}}\).
Suy ra \(a = 4;b = 15;c = 5 \Rightarrow b - 3a + c = 15 - 3.4 + 5 = 8\).
Trả lời: 8.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\) và \(\left( P \right): - x + 2y + 2z + 5 = 0\). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(−1; 0; −1) cắt đường thẳng D1 và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất. Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). Tính tổng \(a + 2b - 3c\).
Giả sử đường thẳng d cắt đường thẳng D1 tại B, ta có \(B\left( {1 + 2t;2 + t; - 2 - t} \right) \in {\Delta _1}\).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2t + 2;t + 2; - t - 1} \right)\) mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 1;2;2} \right)\).
Gọi φ là góc giữa d và (P), ta có \(\sin \varphi = \frac{{\left| { - 2t - 2 + 2t + 4 - 2t - 2} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} = \frac{{\left| {2t} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} \ge 0\).
Suy ra d tạo với mặt phẳng (P) một góc φ nhỏ nhất khi φ = 0° hay sinφ = 0 Þ t = 0.
Khi đó đường thẳng d đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2; - 1} \right)\).
Vậy \(a = 2;b = 2;c = - 1 \Rightarrow a + 2b - 3c = 2 + 2.2 - 3.\left( { - 1} \right) = 9\).
Trả lời: 9.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz - 1 = 0\) với c < 0 đi qua 2 điểm A(0; 1; 0); B(1; 0; 0) và tạo với (Oyz) một góc 60°. Tính tổng a + b + c (làm tròn đến hàng phần trăm).
Mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A, B nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}b - 1 = 0\\a - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 1\).
(P) tạo với (Oyz) một góc 60° nên \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right) = \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {2 + {c^2}} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow c = - \sqrt 2 \).
Khi đó \(a + b + c = 2 - \sqrt 2 \approx 0,59\).
Trả lời: 0,59.
Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí A(2; −1; 3) đến vị trí B(8; 7; 1). Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;4; - 1} \right)\), mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).
Góc α giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)).
Ta có \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {26} }} \Rightarrow \alpha \approx 11^\circ \).
Trả lời: 11.
Bản vẽ thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục tọa độ Oxyz. Sân nhà của công trình thuộc mặt phẳng (Oxy), đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm A(1; 2; −1) và \(B\left( {5;6; - 2} \right)\). Góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sân bằng bao nhiêu độ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đường thẳng ống thoát nước nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {4;4; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Khi đó \(\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {16 + 16 + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {33} }} \Rightarrow \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx 10^\circ \).
Trả lời: 10.
