Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \[\Delta \] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( {a,b,c} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\]. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
\[\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{aA + bB + cC}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\].
\[\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\].
\[\cos \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{aA + bB + cC}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\].
\[\cos \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\].
Trong không gian \(Oxyz\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) và \(\left( \alpha \right):y + z - 1 = 0\) bằng:
\({60^0}\).
\({45^0}\).
\({0^0}\).
\({90^0}\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \[\Delta :\frac{{x + 1}}{{ - 5}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{z}{{\sqrt 2 }}\]. Khi đó góc giữa đường thẳng \[\Delta \] và trục \[Oy\] bằng
\[60^\circ \].
\[30^\circ \].
\[45^\circ \].
\[90^\circ \].
Trong không gian \(Oxyz\), góc giữa đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - \sqrt 2 }} = \frac{{z + \sqrt 2 }}{1}\) và mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) bằng:
\({30^0}\).
\({45^0}\).
\({60^0}\).
\({90^0}\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):x + 2y + 2z - 5 = 0\] và \[\left( Q \right):3x - 4y = 1\]. Khi đó số đo góc giữa hai mặt phẳng trên gần bằng số đo nào dưới đây?
\[71^\circ \].
\[65^\circ \].
\[109^\circ \].
\[156^\circ \].
Trong không gian \(Oxyz\), cosin của góc giữa hai đường thẳng: \(\Delta :\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\) và \(\Delta ':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\) bằng:
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\( - \frac{{\sqrt 6 }}{{18}}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{{18}}\).
\( - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 5t\\y = - 2 + t\\z = 1\end{array} \right.\) và \((P):3x - 2y + 5 = 0\). Khi đó góc giữa đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng
\[60^\circ \].
\[30^\circ \].
\[45^\circ \].
\[90^\circ \].
Trong không gian \(Oxyz\),góc giữa hai đường thẳng: \(\Delta :\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\) và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 2 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\)bằng:
\({30^0}\).
\({45^0}\).
\({60^0}\).
\({90^0}\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[A\left( {\frac{8}{3};0;0} \right)\], \[B\left( {0;2;0} \right)\], \[C\left( {0;0;\frac{8}{5}} \right)\] và \[\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = - 1 - 4t\\z = 5 - 5t\end{array} \right.\]. Khi đó góc giữa đường thẳng \[\Delta \] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng
\[60^\circ \].
\[30^\circ \].
\[45^\circ \].
\[90^\circ \].
Trong không gian \(Oxyz\),đường băng của một sân bay thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Một máy bay sau khi chạy đà trên đường băng đó đã cất cánh tại điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\) với vận tốc không đổi trong khoảng thời gian ngắn ban đầu, vectơ vận tốc \(\overrightarrow v = \left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)\). Trong khoảng thời gian ngắn nói trên, góc cất cánh của máy bay bằng:
\({30^0}\).
\({45^0}\).
\({60^0}\).
\({90^0}\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình:\(ax + by + cz - 1 = 0\) với \(c < 0\) đi qua \[2\] điểm \(A\left( {0;\,1;\,0} \right)\), \(B\left( {1;\,0;\,0} \right)\) và tạo với \(\left( {Oyz} \right)\) một góc \(60^\circ \). Tính tổng \(S = a + b + c\)?
\[1 + \sqrt 2 \].
\[1 - \sqrt 2 \].
\[2 + \sqrt 2 \].
\[2 - \sqrt 2 \].
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác cân với \(AB = AC = 1\) và góc \(\widehat {BAC} = {120^o}\) và cạnh bên \(BB' = 1\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(CC'\). Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {AB'I} \right)\).
\(\frac{{\sqrt {30} }}{{10}}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{{10}}\).
\(\frac{{\sqrt {30} }}{{30}}\).
\(\frac{{\sqrt {10} }}{{30}}\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{z}{5}\] và hai mặt phẳng
\[\left( \alpha \right):\; - x + 2y - 2z + 1 = 0\], \[\left( \beta \right):\;2x + my + mz - 1 = 0\]. Xét tính đúng /sai của các mệnh đề sau.
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] là \[\overrightarrow {{n_\alpha }} \left( {1; - 2;2} \right)\], mặt phẳng \[\left( \beta \right)\] là \[\overrightarrow {{n_\beta }} \left( {2\,;\,m\,;\,m} \right)\].
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng \[\Delta \] là \[\overrightarrow {{u_\Delta }} \left( {3\,;\, - 1\,;\,5} \right)\].
Góc giữa đường thẳng \[\Delta \] và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] bằng \(60^\circ \).
Có hai giá trị của tham số \[m\]thỏa mãn góc giữa đường thẳng \[\Delta \] và mặt phẳng \[\left( \beta \right)\] bằng \(60^\circ \).
Trong không gian với hệ tọa độ \[{\rm{O}}xyz\], cho hai mặt phẳng \((P):x + 2y - 2z + 1 = 0,\) \((Q):x + my + (m - 1)z + 2019 = 0\).
Với \(m = 1\) thì góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) bằng \(30^\circ \).
Điểm \(H\left( {2;\,2;\,1} \right)\) là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ \(O\) xuống mặt phẳng \(\left( R \right)\), côsin góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( R \right)\) là \(\frac{4}{9}\).
\({m_1},\,{m_2}\) là hai giá trị của \(m\) để góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\], \[\left( Q \right)\] bằng \(60^\circ \). Khi đó \({m_1} + {m_2} = - 1\).
Với \(m = 1\) thì hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] tạo với nhau một góc nhỏ nhất.
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {1;0;0} \right);{\rm{ }}B\left( {0;\sqrt 2 ;0} \right)\] và các đường thẳng \[{d_1}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - \sqrt 2 }} = \frac{{z - 2}}{1}\] ,\[{d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\],\[\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + \sqrt 2 t\\z = 2 + mt\end{array} \right.\]. Xét tính đúng /sai của các mệnh đề sau.
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng \[{d_1}\] và \[{d_2}\] lần lượt là \[{\overrightarrow u _{_1}} = \left( {1\,;\, - \sqrt 2 \,;\,1} \right)\], \[{\overrightarrow u _{_2}} = \left( {1\,;\, - 2\,;\,1} \right)\].
Góc giữa hai đường thẳng \[{d_1}\] và \[{d_2}\] là \(60^\circ \)
Có hai giá trị của tham số \[m\]thỏa mãn góc giữa đường thẳng \[\Delta \] và đường thẳng \[{d_1}\] bằng \(60^\circ \).
Có hai giá trị của tham số \[m\]thỏa mãn góc giữa đường thẳng \[\Delta \] và đường thẳng \[AB\]bằng \(45^\circ \).
Trong không gian với hệ tọa độ \[{\rm{O}}xyz\], cho lăng trụ tứ diện đều \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh đáy bằng \(1\) và chiều cao bằng \(x\) sao cho \(O \equiv {D_1}\), \({C_1}\) thuộc tia \(Ox\), \({A_1}\) thuộc tia \(Oy\), \(D\) thuộc tia \(Oz\).
![Trong không gian với hệ tọa độ Oxy], cho lăng trụ tứ diện đều \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh đáy bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid14-1770298834.png)
Một vectơ pháp tuyến của \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\,0;\, - 1} \right)\).
Với \(x = 3\) thì góc của \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) bằng \(60^\circ \).
Với \(x = 2\) thì góc giữa mặt phẳng \(\left( {C{B_1}{D_1}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)bằng \(45^\circ \).
Với \(x = 4\) thì góc giữa đường thẳng \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là lớn nhất.
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \[{d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = 1 - 2t}\\{z = - 3t\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.,\,\,\,{d_2}:\frac{x}{{ - 4}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{5}.\] Góc giữa hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) bằng bao nhiêu độ?
30
Trong không gian với hệ toạ độ \[{\rm{O}}xyz\], cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z + 3 = 0\) và \(\left( Q \right):\,x - 2y + 2z + 1 = 0\). Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có giá trị là ....
\(\frac{4}{9}\).
Khi gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\)(đơn vị mỗi trục tính theo km) vào mỗi sân bay, mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] trùng với mặt sân bay. Một máy bay ở vị trí \[A\left( {7; - 4;\frac{4}{5}} \right)\] sẽ hạ cánh ở vị trí \[B\left( {7;11;0} \right)\]trên đường băng. Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng \[AB\]) và sân bay (một phần của mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kế quả đến hàng đơn vị)?
2
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Trong một bể hình lập phương cạnh \(1\,{\rm{m}}\) có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành \(ABCD\) và khoảng cách từ các điểm \(A\), \(C\) đến đáy bể tương ứng là \(25\,{\rm{cm}}\), \(75\,{\rm{cm}}\).
Tìm khoảng cách từ điểm B đến mặt đáy bể khi góc giữa mặt nước và mặt đáy bể đạt giá trị nhỏ nhất.
50
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\left( d \right):\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y + z + 2 = 0\) cắt nhau. Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(\left( d \right)\) và tạo với \(\left( P \right)\) một góc nhỏ nhất là \(x - 4y + z + m = 0\). Khi đó \(m\) bằng bao nhiêu?
4
Gợi ý cho bạn
Xem tất cả
Ngân hàng đề thi