Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 3 lớp 12 (có lời giải) - Đề 5

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có :

Tổng số học sinh tham gia khảo sát là : \(n = 6 + 10 + 14 + 5 + 5 = 40\).

Chiều cao trung bình của học sinh trong lớp là : \(\overline x  = \frac{{152,5.6 + 157,5.10 + 162,5.14 + 167,5.5 + 172,5.5}}{{40}} = 161,625 \approx 161,6\).

Phương sai của mẫu số liệu trên là :

\({s^2} = \frac{{{m_1}{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} +  \ldots  + {m_k}{{\left( {{x_k} - \bar x} \right)}^2}}}{n}\)

\( = \frac{{6{{\left( {152,5 - 161,6} \right)}^2} + 10{{\left( {157,5 - 161,6} \right)}^2} + 14{{\left( {162,5 - 161,6} \right)}^2} + 5{{\left( {167,5 - 161,6} \right)}^2} + 6{{\left( {172,5 - 161,6} \right)}^2}}}{{40}} \approx 36,1\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là \(s = \sqrt {{s^2}}  = \sqrt {36,1}  \approx 6,009\).

Nhận xét 1 sai vì: khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc, các nhận xét 2, 3 đúng.

Nhận xét 1 sai vì: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của mẫu số liệu, nên không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường và có thể dùng đại lượng này để loại giá trị bất thường.

Các nhận xét 2, 3, 4 đúng.

a, Cỡ mẫu: \(n = 30\)

+ Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần ta được:

+ Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là \(29\), và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là \(3\), nên độ dài nhóm là \(29 - 3 = 26\)

+ Chia thành 6 nhóm có độ dài bằng nhau, ta chọn độ dài mỗi nhóm là \(4,5\), ta có mẫu số liệu ghép nhóm như bảng sau:

b, + Tiền thưởng trung bình là: \(\overline X  = \frac{{{m_1}{x_1} + {m_2}{x_2} + ... + {m_6}{x_6}}}{n} = 16,2\)

+ Khoảng biến thiên: \(30 - 3 = 27\).

+ Khoảng tứ phân vị:

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \({x_8}\)thuộc nhóm \(\left[ {7,5;\,12} \right)\) nên nhóm thứ 2 này chứa \({Q_1}\).

Suy ra: \(p = 2,\,{a_2} = 7,5;\,{a_3} = 12;\,{m_2} = 4;\,{m_1} = 6\).

Ta có: \({Q_1} = {a_2} + \frac{{\frac{n}{4} - {m_1}}}{{{m_2}}}\left( {{a_3} - {a_2}} \right) = 7,5 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 6}}{4}\left( {12 - 7,5} \right) = \frac{{147}}{{16}} = 9,2\).

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_3}\) là \({x_{23}}\)thuộc nhóm \(\left[ {21;\,25,5} \right)\) nên nhóm thứ 5 này chứa \({Q_3}\).

Suy ra: \(p = 5,\,{a_5} = 21;\,{a_6} = 25,5;\,{m_5} = 5;\,{m_4} = 4\).

Ta có: \({Q_3} = {a_5} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4}} \right)}}{{{m_5}}}\left( {{a_6} - {a_5}} \right) = 21 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - 20}}{5}.4,5 = \frac{{93}}{4} = 23,3\).

Vậy khoảng tứ phân vị là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 23,3 - 9,2 = 14,1\).

Kết luận: b1, Đúng b2, Sai b3, Sai

a) Đ. Nhóm \(\left[ {31;33} \right)\) có tần số bằng: 4.

b) S.Ta có nhóm \(\left[ {35;37} \right)\)có tần số lớn nhất nên Mốt của mẫu số liệu trên là \({M_0} = u + \frac{{{n_i} - {n_{i - 1}}}}{{2{n_i} - {n_{i - 1}} - {n_{i + 1}}}}.g = 35 + \frac{{13 - 5}}{{2.13 - 5 - 7}}.2 = 36,14\).

c) Đ Ta có số phần tử của mẫu là \(n = 30\).

+ Ta có \(\frac{n}{4} = 7,5\) nên nhóm \(\left[ {33;35} \right)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(7,5\). Nhóm \(\left[ {33;35} \right)\) có \(s = 33;h = 2;\,n = 5\) và nhóm 2 là nhóm \(\left[ {31;33} \right)\) có \(c{f_1} = 5\). Áp dụng công thức ta có tứ phân vị thứ nhất là \({Q_1} = 33 + \frac{{7,5 - 5}}{5}.2 = 34\)(\({}^0C\))

+ Ta có \(\frac{{3n}}{4} = 22,5\) nên nhóm \(\left[ {35;37} \right)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(22,5\). Xét nhóm 4 là nhóm \(\left[ {35;37} \right)\) có \(t = 35;\,l = 2;\,{n_4} = 13\) và nhóm 3 có tần số tích lũy \(c{f_4} = 10\). Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ 3 là \({Q_3} = 35 + \frac{{22,5 - 10}}{{13}}.2 = 36,92\)(\({}^0C\))

 + Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 36,92 - 34 = 2,92\)

d) Đ. Ta có số trụng bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(\overline x  = \frac{1}{{30}}\left( {1.30 + 32.4 + 34.5 + 36.13 + 38.7} \right) = 35,4\) (\({}^0C\))

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \({s^2} = \frac{1}{{30}}{\left( {1(30 - 35,4} \right)^2} + 4{(32 - 35.4)^2} + 5{(34 - 35,4)^2} + 13{(36 - 35.4)^2} + 7{(38 - 35.4)^2}) = 4,57\)

a) Tần số của nhóm \[{\rm{[}}52;54)\] là: \(20\).

Tần suất của nhóm \[{\rm{[}}52;54)\] là: \(\frac{{20}}{{100}}.100\%  = 20\% \).

b) Trung vị của mẫu số liệu là \({x_3} \in [54;56)\). Do đó, trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{M_e} = {Q_2} = 54 + \frac{{\frac{{2.100}}{4} - (15 + 20)}}{{45}}(56 - 54) = \frac{{164}}{3} = 54,667\].

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 60 - 50 = 10\).

d) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm của công ty là:

\(\overline x  = \frac{{51.15 + 53.20 + 55.45 + 57.15 + 59.5}}{{100}} = 54,5\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của công ty là:

\({s^2} = \frac{{15 \cdot {{\left( {51 - 54,5} \right)}^2} + 20 \cdot {{\left( {53 - 54,5} \right)}^2} + 45 \cdot {{\left( {55 - 54,5} \right)}^2} + 15 \cdot {{\left( {57 - 54,5} \right)}^2} + 5.{{(59 - 54,4)}^2}}}{{100}} = 4,35\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của công ty là: \(s = \sqrt {{s^2}}  = \sqrt {4,35}  \approx 2,085665\).

\(\)Ta có

a. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục của Bình là \(40 - 15 = 25\) (phút).

b. Ở bạn Bình. Ta có cở mẫu \(n = 30\).

Vì \(\frac{n}{4} = \frac{{30}}{4} = 7,5\) và \(5 < 7,5 < 5 + 8\)nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm \(\left[ {20;25} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là \({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 5}}{8}.5 = \frac{{345}}{{16}}\).

c. Ở bạn Chi. Ta có cở mẫu \(n = 30\).

Vì \(\frac{n}{4} = \frac{{30}}{4} = 7,5\) và \(7,5 < 10\)nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm \(\left[ {15;20} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là \({Q_1} = 15 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 0}}{{10}}.5 = 18,75\).

Vì \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.30}}{4} = 22,5\) và \(10 + 10 < 22,5 < 10 + 10 + 5\)nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm \(\left[ {25;30} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là \({Q_3} = 25 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - \left( {10 + 10} \right)}}{5}.5 = 27,5\).

Vậy khoảng tứ phân vị là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 28,75\).

d. Thời gian trung bình bạn Bình tập thể dục buổi sáng là

\(\overline x  = \frac{{17,5.5 + 22,5.8 + 27,5.10 + 32,5.4 + 37,5.3}}{{30}} = \frac{{157}}{6} \approx 26,17\).

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bạn Bình là

\(s_B^2 = \frac{{5{{\left( {17,5 - \frac{{157}}{6}} \right)}^2} + 8{{\left( {22,5 - \frac{{157}}{6}} \right)}^2} + 10{{\left( {27,5 - \frac{{157}}{6}} \right)}^2} + 4{{\left( {32,5 - \frac{{157}}{6}} \right)}^2} + 3{{\left( {37,5 - \frac{{157}}{6}} \right)}^2}}}{{30}} = \frac{{314}}{9}\)

a) Với số liệu của học sinh lớp 12A, có khoảng biến thiên: \({R_A} = 175 - 145 = 30\).

Với số liệu của học sinh lớp 12B, có khoảng biến thiên: \({R_B} = 175 - 150 = 25\).

Vậy ta có \({R_A} > {R_B}\) nên chiều cao của học sinh lớp 12A phân tán hơn lớp 12B.

b)

 Với mẫu số liệu ghép nhóm của học sinh lớp 12A:

Cỡ mẫu là \(n = 2 + 1 + 15 + 11 + 9 + 3 = 41\). Gọi \({x_1}\,,\,{x_2}\,,\,{x_3}\,,...,\,{x_{41}}\) là mẫu số liệu gốc gồm chiều cao của học sinh lớp 12A được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{10}} + {x_{11}}} \right) \in \left[ {155\,;\,160} \right)\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {155\,;\,160} \right)\) và \({Q_1} = 155 + \frac{{\frac{{41}}{4} - 3}}{{15}}.5 \approx 157,42\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{31}} + {x_{32}}} \right) \in \left[ {165\,;\,170} \right)\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {165\,;\,170} \right)\) và \({Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.41}}{4} - 29}}{9}.5 \approx 165,97\).

Suy ra \(\Delta {Q_A} = {Q_3} - {Q_1} \approx 8,55\).

 Với mẫu số liệu ghép nhóm của học sinh lớp 12B:

Cỡ mẫu là \(n = 1 + 16 + 11 + 10 + 4 = 42\). Gọi \({x_1}\,,\,{x_2}\,,\,{x_3}\,,...,\,{x_{42}}\) là mẫu số liệu gốc gồm chiều cao của học sinh lớp 12B được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{11}} \in \left[ {155\,;\,160} \right)\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {155\,;\,160} \right)\) và \({Q_1} = 155 + \frac{{\frac{{42}}{4} - 1}}{{16}}.5 \approx 157,97\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{32}} \in \left[ {165\,;\,170} \right)\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {165\,;\,170} \right)\) và \({Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.42}}{4} - 28}}{{10}}.5 = 166,75\).

Suy ra \(\Delta {Q_B} = {Q_3} - {Q_1} \approx 8,78\).

Do \(\Delta {Q_A} < \Delta {Q_B}\) nên học sinh lớp 12A có chiều cao phân tán ít hơn học sinh lớp 12B.

c) Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta được bảng:

Chiều cao trung bình của học sinh lớp 12A là: \({\bar x_A} = \frac{1}{{41}}\left[ {2 \cdot 147,5 + 1 \cdot 152,5 + 15 \cdot 157,5 + 11 \cdot 162,5 + 9 \cdot 167,5 + 3 \cdot 172,5} \right] \approx 161,52\).

Chiều cao trung bình của học sinh lớp 12B là: \({\bar x_B} = \frac{1}{{42}}\left[ {0 \cdot 147,5 + 1 \cdot 152,5 + 16 \cdot 157,5 + 11 \cdot 162,5 + 10 \cdot 167,5 + 4 \cdot 172,5} \right] = 162,5\).

Phương sai của mẫu số liệu lớp 12A là

\(S_A^2 \approx \frac{1}{{41}}\left[ {2 \cdot {{147,5}^2} + 1 \cdot {{152,5}^2} + 15 \cdot {{157,5}^2} + 11 \cdot {{162,5}^2} + 9 \cdot {{167,5}^2} + 3 \cdot {{172,5}^2}} \right] - {\left( {161,52} \right)^2} \approx 35,83\) Phương sai của mẫu số liệu lớp 12B là

\(S_B^2 = \frac{1}{{42}}\left[ {0 \cdot {{147,5}^2} + 1 \cdot {{152,5}^2} + 16 \cdot {{157,5}^2} + 11 \cdot {{162,5}^2} + 10 \cdot {{167,5}^2} + 4 \cdot {{172,5}^2}} \right] - {\left( {162,50} \right)^2} \approx 27,38\)Vậy dựa vào phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm thì chiều cao của học sinh lớp 12A phân tán hơn học sinh lớp 12B.

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 12A là \(S_A^{} \approx \sqrt {35,83}  \approx 5,99\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 12B là \(S_B^{} \approx \sqrt {27,38}  \approx 5,23\).

Vậy học sinh lớp 12B có chiều cao đồng đều hơn học sinh lớp 12A vì có độ lệch chuẩn nhỏ hơn.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \[R = 115 - 85 = 30\].

Cỡ mẫu là \[n = 1 + 4 + 8 + 12 + 3 + 2 = 30\].

Tứ phân vị thứ nhất \[{Q_1} = 95 + \left[ {\frac{{\frac{{30}}{4} - 5}}{8}} \right].\left( {100 - 95} \right) \approx 96,56\].

Tứ phân vị thứ ba \[{Q_3} = 100 + \left[ {\frac{{\frac{{3.30}}{4} - 13}}{{12}}} \right]\,.\left( {105 - 100} \right) \approx 103,96\].

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là \[{\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 103,96 - 96,56 = 7,4\].

+ Phương sai: \(s_x^2 = \frac{{{n_1}{{({c_1} - \bar x)}^2} + {n_2}{{({c_2} - \bar x)}^2} + {n_3}{{({c_3} - \bar x)}^2} + {n_4}{{({c_4} - \bar x)}^2} + {n_5}{{({c_5} - \bar x)}^2} + {n_6}{{({c_6} - \bar x)}^2}}}{n}\)\[ = \frac{{5{{(5 - 32,3)}^2} + 9{{(15 - 32,3)}^2} + 11{{(25 - 32,3)}^2} + 15{{(35 - 32,3)}^2} + 12{{(45 - 32,3)}^2} + 8{{(55 - 32,3)}^2}}}{{60}}\]

\( \approx 219,6\)

Cỡ mẫu: \(n = 100\)

Số trung bình: \(\bar x = \frac{{13.19,25 + 45.19,75 + 24.20,25 + 12.20,75 + 6.21,25}}{{100}} = 20,015\)

Phương sai: \[\begin{array}{l}{s^2} = \frac{{13.{{\left( {19,25 - 20,015} \right)}^2} + 45.{{\left( {19,75 - 20,015} \right)}^2} + 24.{{\left( {20,25 - 20,015} \right)}^2} + 12.{{\left( {20,75 - 20,015} \right)}^2} + 6.{{\left( {21,25 - 20,015} \right)}^2}}}{{100}}\\ \approx 0,28\end{array}\]

Độ lệch chuẩn: \(\sigma  = \sqrt {0,28}  \approx 0,53\).