Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 3 lớp 12 (có lời giải) - Đề 5
21 câu hỏi
Phần I: Trắc nghiệm nhiều phương án (12 câu-3điểm)
Khảo sát thời gian xem ti vi trong một ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là
\(\left[ {0;20} \right)\).
\(\left[ {20;40} \right)\).
\(\left[ {40;60} \right)\).
\(\left[ {60;80} \right)\).
Tứ phân vị thứ nhất là \({x_{11}}\). Do \({x_{11}}\) thuộc nhóm \(\left[ {20;40} \right)\) nên nhóm chưa tứ phân vị thứ nhất là \(\left[ {20;40} \right)\).
Cô Hà thống kê lại đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào 6 năm tuổi được trồng ở một lâm trường ở bảng sau.
Đường kính \((cm)\) | \([40;45)\) | \([45;50)\) | \([50;55)\) | \([55;60)\) | \([60;65)\) |
Tần số | 5 | 20 | 18 | 7 | 3 |
Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
25.
30.
6.
69,8.
Chọn A
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(65 - 40 = 25(\;cm).\)
Bạn Chi rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau:
Thời gian (phút) | \([20;25)\) | \([25;30)\) | \([30;35)\) | \([35;40)\) | \([40;45)\) |
Só ngày | 6 | 6 | 4 | 1 | 1 |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
23,75.
27,5.
31,88.
8,125.
Chọn D
Cỡ mẫu \(n = 18\)
Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{18}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian tập nhảy mỗi ngày của bạn Chi được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có:
\({x_1}; \ldots ;{x_6} \in [20;25);{x_7}; \ldots ;{x_{12}} \in [25;30);{x_{13}}; \ldots ;{x_{16}} \in [30;35);{x_{17}}; \in [35;40);{x_{18}} \in [40;45)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_5} \in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{18}}{4}}}{6}(25 - 20) = 23,75\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{14}} \in [30;35)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 30 + \frac{{\frac{{3.18}}{4} - (6 + 6)}}{4}(35 - 30) = 31,875\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 8,125\).
Trong dịp nghỉ hè bạn Lan rất thích đi bơi. Thời gian đi bơi mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Lan được thống kê lại ở bảng sau:
Thời gian (phút) | \[\left[ {30\,;\,35} \right)\] | \[\left[ {35\,;\,40} \right)\] | \[\left[ {45\,;\,50} \right)\] | \[\left[ {50\,;\,55} \right)\] | \[\left[ {55\,;\,60} \right)\] |
Số ngày | 3 | 6 | 4 | 8 | 4 |
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là
\[\left[ {30\,;\,35} \right)\].
\[\left[ {35\,;\,40} \right)\].
\[\left[ {45\,;\,50} \right)\].
\[\left[ {50\,;\,55} \right)\].
Cỡ mẫu là \(n = 25\).
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_6} + {x_7}}}{2}\). Do \({x_6},{x_7}\) đều thuộc nhóm \[\left[ {35\,;\,40} \right)\] nên nhóm này chứa \({Q_1}\).
Khảo sát thời gian tập nghe nhạc trong ngày của học sinh lớp 12B thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Thời gian (phút) | \[\left[ {0;\,20} \right)\] | \[\left[ {20\,;\,40} \right)\] | \[\left[ {40;\,60} \right)\] | \[\left[ {60\,;\,80} \right)\] | \[\left[ {80\,;\,100} \right)\] |
Số học sinh | 5 | 10 | 12 | 9 | 4 |
Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là
\[\left[ {20\,;\,40} \right)\].
\[\left[ {40;\,60} \right)\].
\[\left[ {60\,;\,80} \right)\].
\[\left[ {80\,;\,100} \right)\].
Cỡ mẫu là \(n = 40\).
Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\). Do \({x_{30}},{x_{31}}\) đều thuộc nhóm \[\left[ {60\,;\,80} \right)\] nên nhóm này chứa \({Q_3}.\)
Một nhóm học sinh thi nhau giải khối rubik \(4 \times 4\). Thời gian hoàn thành của nhóm học sinh được thống kê trong bảng sau:
Thời gian giải rubik (giây) | [8; 10) | [10; 12) | [12; 14) | [14; 16) | [16; 18) |
Số học sinh | 4 | 6 | 8 | 4 | 3 |
Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu.
\({Q_1} = 10,75;\,{Q_3} = 14,375\).
\({Q_1} = 11,0625;\,{Q_3} = 14,375\).
\({Q_1} = 10,75;\,{Q_3} = 13,83\).
\({Q_1} = 10,85;\,{Q_3} = 14,75\).
Cỡ mẫu là \(n = 25\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{{{x_6} + {x_7}}}{2} \in \) [10; 12). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{Q_1} = 10 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 4}}{6}\left( {12 - 10} \right) = 10,75\].
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{{{x_{19}} + {x_{20}}}}{2} \in \) [14; 16). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{Q_3} = 14 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - \left( {4 + 6 + 8} \right)}}{4}\left( {16 - 14} \right) = 14,375\].
Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: \(km\)) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:
Quãng đường \((km)\) | \([2,7;3,0)\) | \([3,0;3,3)\) | \([3,3;3,6)\) | \([3,6;3,9)\) | \([3,9;4,2)\) |
Số ngày | 3 | 6 | 5 | 4 | 2 |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
\(0,9\).
\(0,975\).
\(0,5\).
\(0,575\).
Chọn D
Cỡ mẫu \(n = 20\)
Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{20}}\)là mẫu số liệu gốc về quãng đường đi bộ mỗi ngày của bác Hương trong 20 ngày được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1}; \ldots ;{x_3} \in [2,7;3,0);{x_4}; \ldots ;{x_9} \in [3,0;3,3);{x_{10}}; \ldots ;{x_{14}} \in [3,3;3,6);\)\(;{x_{15}}; \ldots ;{x_{18}} \in [3,6;3,9){\rm{;}}{x_{19}};{x_{20}} \in [3,9;4,2).\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right) \in [3,0;3,3)\).
Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 3,0 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{6}(3,3 - 3,0) = 3,1\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right) \in [3,6;3,9)\).
Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_3} = 3,6 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - (3 + 6 + 5)}}{4}(3,9 - 3,6) = 3,675\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 0,575\)
Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một của hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
Doanh thu | \([5;7)\) | \([7;9)\) | \([9;11)\) | \([11;13)\) | \([13;15)\) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
\([7;9)\).
\([9;11)\).
\([11;13)\).
\([13;15)\).
Chọn B
Bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện là
Doanh thu | \([5;7)\) | \([7;9)\) | \([9;11)\) | \([11;13)\) | \([13;15)\) |
Giá trị đại diện | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Số trung bình: \(\bar x = \frac{{2.6 + 7.8 + 7.10 + 3.12 + 1.14}}{{20}} = 9,4\).
Một siêu thị thống kê số tiền (đơn vị: chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày. Số liệu được ghi lại trong Bảng 18.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
53,2.
46,1.
30.
11.
Chọn B
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\bar x = \frac{{4.42,5 + 14.47,5 + 8.52,5 + 10.57,5 + 6.62,5 + 2.67,5}}{{44}} = \frac{{585}}{{11}}\)
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\begin{array}{l}{s^2} = \frac{{4{{\left( {42,5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2} + 14{{\left( {47,5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2} + 8{{\left( {52,5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2} + 10{{\left( {57,5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2}}}{{44}}\\ + \frac{{ + 6{{\left( {62,5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2} + 2.{{\left( {67,5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2}}}{{44}}\\ \approx 46,12\end{array}\)
Khảo sát chiều cao ( đơn vị \(cm\)) của học sinh lớp 12A, ta thu được kết quả như sau:
Kết quả đo (\(cm\)) | \(\left[ {150;155} \right)\) | \(\left[ {155;160} \right)\) | \(\left[ {160;165} \right)\) | \(\left[ {165;170} \right)\) | \(\left[ {170;175} \right)\) |
Số học sinh | \(6\) | 10 | 14 | 5 | 5 |
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc khoảng nào sau đây:
\(\left( {5,5;6} \right)\).
\(\left( {6;6,5} \right)\).
\(\left( {6,5;7} \right)\).
\(\left( {7;7,5} \right)\).
Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có :
Giá trị đại diện | \(152,5\) | \(157,5\) | \(162,5\) | \(167,5\) | \(172,5\) |
Số học sinh | \(6\) | 10 | 14 | 5 | 5 |
Tổng số học sinh tham gia khảo sát là : \(n = 6 + 10 + 14 + 5 + 5 = 40\).
Chiều cao trung bình của học sinh trong lớp là : \(\overline x = \frac{{152,5.6 + 157,5.10 + 162,5.14 + 167,5.5 + 172,5.5}}{{40}} = 161,625 \approx 161,6\).
Phương sai của mẫu số liệu trên là :
\({s^2} = \frac{{{m_1}{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} + \ldots + {m_k}{{\left( {{x_k} - \bar x} \right)}^2}}}{n}\)
\( = \frac{{6{{\left( {152,5 - 161,6} \right)}^2} + 10{{\left( {157,5 - 161,6} \right)}^2} + 14{{\left( {162,5 - 161,6} \right)}^2} + 5{{\left( {167,5 - 161,6} \right)}^2} + 6{{\left( {172,5 - 161,6} \right)}^2}}}{{40}} \approx 36,1\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là \(s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {36,1} \approx 6,009\).
Có bao nhiêu nhận xét đúng trong các nhận xét sau :
1.Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm luôn luôn bằng khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.
2.Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm.
3.Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
\(0\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Nhận xét 1 sai vì: khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc, các nhận xét 2, 3 đúng.
Nhận xét nào sai trong các nhận xét sau :
1.Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường trong mẫu số liệu.
2.Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc.
3.Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mã̃u số liệu càng phân tán.
4.Khoảng tứ phân vị được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm.
Nhận xét 1.
Nhận xét 2.
Nhận xét 3.
Nhận xét 4.
Nhận xét 1 sai vì: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của mẫu số liệu, nên không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường và có thể dùng đại lượng này để loại giá trị bất thường.
Các nhận xét 2, 3, 4 đúng.
Phần II: Trắc nghiệm đúng-sai (5 câu-5 điểm)
Số tiền thưởng cuối năm của nhân viên công ty X được thống kê như sau (đơn vị triệu đồng):
3 | 5 | 7 | 12 | 15 | 11 | 4 | 5 | 8 | 15 |
16 | 18 | 20 | 22 | 15 | 29 | 28 | 22 | 24 | 26 |
16 | 21 | 25 | 26 | 29 | 6 | 8 | 10 | 17 | 18 |
a, Hãy chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm với 6 nhóm có độ dài bằng nhau.
b, Các câu sau là Đúng hay Sai? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
b1, Tiền thưởng trung bình của các nhân viên là \(16,2\).
b2, Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 26.
b3, Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \(14,5\).
a, Cỡ mẫu: \(n = 30\)
+ Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần ta được:
3 | 4 | 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 8 | 10 | 11 |
12 | 15 | 15 | 15 | 16 | 16 | 17 | 18 | 18 | 20 |
21 | 22 | 22 | 24 | 25 | 26 | 26 | 28 | 28 | 29 |
+ Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là \(29\), và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là \(3\), nên độ dài nhóm là \(29 - 3 = 26\)
+ Chia thành 6 nhóm có độ dài bằng nhau, ta chọn độ dài mỗi nhóm là \(4,5\), ta có mẫu số liệu ghép nhóm như bảng sau:
Nhóm | \(\left[ {3;\,7,5} \right)\) | \(\left[ {7,5;\,12} \right)\) | \(\left[ {12;\,16,5} \right)\) | \(\left[ {16,5;\,21} \right)\) | \(\left[ {21;\,25,5} \right)\) | \(\left[ {25,5;\,30} \right)\) |
Tần số | 6 | 4 | 6 | 4 | 5 | 5 |
b, + Tiền thưởng trung bình là: \(\overline X = \frac{{{m_1}{x_1} + {m_2}{x_2} + ... + {m_6}{x_6}}}{n} = 16,2\)
+ Khoảng biến thiên: \(30 - 3 = 27\).
+ Khoảng tứ phân vị:
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \({x_8}\)thuộc nhóm \(\left[ {7,5;\,12} \right)\) nên nhóm thứ 2 này chứa \({Q_1}\).
Suy ra: \(p = 2,\,{a_2} = 7,5;\,{a_3} = 12;\,{m_2} = 4;\,{m_1} = 6\).
Ta có: \({Q_1} = {a_2} + \frac{{\frac{n}{4} - {m_1}}}{{{m_2}}}\left( {{a_3} - {a_2}} \right) = 7,5 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 6}}{4}\left( {12 - 7,5} \right) = \frac{{147}}{{16}} = 9,2\).
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_3}\) là \({x_{23}}\)thuộc nhóm \(\left[ {21;\,25,5} \right)\) nên nhóm thứ 5 này chứa \({Q_3}\).
Suy ra: \(p = 5,\,{a_5} = 21;\,{a_6} = 25,5;\,{m_5} = 5;\,{m_4} = 4\).
Ta có: \({Q_3} = {a_5} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4}} \right)}}{{{m_5}}}\left( {{a_6} - {a_5}} \right) = 21 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - 20}}{5}.4,5 = \frac{{93}}{4} = 23,3\).
Vậy khoảng tứ phân vị là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 23,3 - 9,2 = 14,1\).
Kết luận: b1, Đúng b2, Sai b3, Sai
Bảng 1 biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ (\({}^0C\)) của tỉnh Nghệ An tháng 5 năm 2024
Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số | Tần số tích lũy |
\(\left[ {29;31} \right)\) | 30 | 1 | 1 |
\(\left[ {31;33} \right)\) | 32 | 4 | 5 |
\(\left[ {33;35} \right)\) | 34 | 5 | 10 |
\(\left[ {35;37} \right)\) | 36 | 13 | 26 |
\(\left[ {37;39} \right]\) | 38 | 7 | 33 |
|
| \(n = 30\) |
|
Trong mỗi ý a),b),c),d) chọn đúng hoặc sai ( làm tròn đến hàng phần trăm)
a) Nhóm \(\left[ {31;33} \right)\) có tần số bằng: 4
b) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là: 13
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng: 2,92
d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng: 4,57
a) Đ. Nhóm \(\left[ {31;33} \right)\) có tần số bằng: 4.
b) S.Ta có nhóm \(\left[ {35;37} \right)\)có tần số lớn nhất nên Mốt của mẫu số liệu trên là \({M_0} = u + \frac{{{n_i} - {n_{i - 1}}}}{{2{n_i} - {n_{i - 1}} - {n_{i + 1}}}}.g = 35 + \frac{{13 - 5}}{{2.13 - 5 - 7}}.2 = 36,14\).
c) Đ Ta có số phần tử của mẫu là \(n = 30\).
+ Ta có \(\frac{n}{4} = 7,5\) nên nhóm \(\left[ {33;35} \right)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(7,5\). Nhóm \(\left[ {33;35} \right)\) có \(s = 33;h = 2;\,n = 5\) và nhóm 2 là nhóm \(\left[ {31;33} \right)\) có \(c{f_1} = 5\). Áp dụng công thức ta có tứ phân vị thứ nhất là \({Q_1} = 33 + \frac{{7,5 - 5}}{5}.2 = 34\)(\({}^0C\))
+ Ta có \(\frac{{3n}}{4} = 22,5\) nên nhóm \(\left[ {35;37} \right)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(22,5\). Xét nhóm 4 là nhóm \(\left[ {35;37} \right)\) có \(t = 35;\,l = 2;\,{n_4} = 13\) và nhóm 3 có tần số tích lũy \(c{f_4} = 10\). Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ 3 là \({Q_3} = 35 + \frac{{22,5 - 10}}{{13}}.2 = 36,92\)(\({}^0C\))
+ Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 36,92 - 34 = 2,92\)
d) Đ. Ta có số trụng bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(\overline x = \frac{1}{{30}}\left( {1.30 + 32.4 + 34.5 + 36.13 + 38.7} \right) = 35,4\) (\({}^0C\))
Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \({s^2} = \frac{1}{{30}}{\left( {1(30 - 35,4} \right)^2} + 4{(32 - 35.4)^2} + 5{(34 - 35,4)^2} + 13{(36 - 35.4)^2} + 7{(38 - 35.4)^2}) = 4,57\)
Cho bảng phân bố tần số ghép lớp cân nặng (đơn vị: kg) của các công nhân trong một công ty như sau:
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Tần suất của nhóm \[{\rm{[}}52;54)\] là: \(20\% \).
b) Số trung vị của mẫu số liệu là:\(54,909\,\).
c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: \(10\).
d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: \(4,35\).
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) Tần số của nhóm \[{\rm{[}}52;54)\] là: \(20\).
Tần suất của nhóm \[{\rm{[}}52;54)\] là: \(\frac{{20}}{{100}}.100\% = 20\% \).
b) Trung vị của mẫu số liệu là \({x_3} \in [54;56)\). Do đó, trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{M_e} = {Q_2} = 54 + \frac{{\frac{{2.100}}{4} - (15 + 20)}}{{45}}(56 - 54) = \frac{{164}}{3} = 54,667\].
c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 60 - 50 = 10\).
d) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm của công ty là:
\(\overline x = \frac{{51.15 + 53.20 + 55.45 + 57.15 + 59.5}}{{100}} = 54,5\)
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của công ty là:
\({s^2} = \frac{{15 \cdot {{\left( {51 - 54,5} \right)}^2} + 20 \cdot {{\left( {53 - 54,5} \right)}^2} + 45 \cdot {{\left( {55 - 54,5} \right)}^2} + 15 \cdot {{\left( {57 - 54,5} \right)}^2} + 5.{{(59 - 54,4)}^2}}}{{100}} = 4,35\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của công ty là: \(s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {4,35} \approx 2,085665\).
Cho bảng số liệu dưới đây về thời gian (phút) tập thể dục buổi sáng của hai bạn Bình và Chi trong 30 ngày.
Thời gian | \(\left[ {15;20} \right)\) | \(\left[ {20;25} \right)\) | \(\left[ {25;30} \right)\) | \(\left[ {30;35} \right)\) | \(\left[ {35;40} \right)\) |
Bạn Bình | \(5\) | \(8\) | \(10\) | \(4\) | \(3\) |
Bạn Chi | \(10\) | \(10\) | \(5\) | \(3\) | \(2\) |
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau
a. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục của Chi là 25 (phút).
b. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bạn Bình là: \({Q_1} = \frac{{354}}{{16}}\)
c. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bạn Chi là
d. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bạn Bình là \(\frac{{314}}{9}\)
a | b | c | d |
Đúng | Sai | Đúng | Đúng |
\(\)Ta có
Thời gian | \(\left[ {15;20} \right)\) | \(\left[ {20;25} \right)\) | \(\left[ {25;30} \right)\) | \(\left[ {30;35} \right)\) | \(\left[ {35;40} \right)\) |
Giá trị đại diện | \(17,5\) | \(22,5\) | \(27,5\) | \(32,5\) | \(37,5\) |
Bạn Bình | \(5\) | \(8\) | \(10\) | \(10\) | \(10\) |
Bạn Chi | \(10\) | \(10\) | \(5\) | \(3\) | \(2\) |
a. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục của Bình là \(40 - 15 = 25\) (phút).
b. Ở bạn Bình. Ta có cở mẫu \(n = 30\).
Vì \(\frac{n}{4} = \frac{{30}}{4} = 7,5\) và \(5 < 7,5 < 5 + 8\)nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm \(\left[ {20;25} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là \({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 5}}{8}.5 = \frac{{345}}{{16}}\).
c. Ở bạn Chi. Ta có cở mẫu \(n = 30\).
Vì \(\frac{n}{4} = \frac{{30}}{4} = 7,5\) và \(7,5 < 10\)nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm \(\left[ {15;20} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là \({Q_1} = 15 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 0}}{{10}}.5 = 18,75\).
Vì \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.30}}{4} = 22,5\) và \(10 + 10 < 22,5 < 10 + 10 + 5\)nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm \(\left[ {25;30} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là \({Q_3} = 25 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - \left( {10 + 10} \right)}}{5}.5 = 27,5\).
Vậy khoảng tứ phân vị là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 28,75\).
d. Thời gian trung bình bạn Bình tập thể dục buổi sáng là
\(\overline x = \frac{{17,5.5 + 22,5.8 + 27,5.10 + 32,5.4 + 37,5.3}}{{30}} = \frac{{157}}{6} \approx 26,17\).
Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bạn Bình là
\(s_B^2 = \frac{{5{{\left( {17,5 - \frac{{157}}{6}} \right)}^2} + 8{{\left( {22,5 - \frac{{157}}{6}} \right)}^2} + 10{{\left( {27,5 - \frac{{157}}{6}} \right)}^2} + 4{{\left( {32,5 - \frac{{157}}{6}} \right)}^2} + 3{{\left( {37,5 - \frac{{157}}{6}} \right)}^2}}}{{30}} = \frac{{314}}{9}\)
Bảng sau đây cho biết chiều cao của các em học sinh lớp 12A và 12B.
Chiều cao (cm) | \(\left[ {145\,;\,150} \right)\) | \(\left[ {150\,;\,155} \right)\) | \(\left[ {155\,;\,160} \right)\) | \(\left[ {160\,;\,165} \right)\) | \(\left[ {165\,;\,170} \right)\) | \(\left[ {170\,;\,175} \right)\) |
Số học sinh của lớp 12A | 2 | 1 | 15 | 11 | 9 | 3 |
Số học sinh của lớp 12B | 0 | 1 | 16 | 11 | 10 | 4 |
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Dựa vào khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm thì chiều cao của học sinh lớp 12A phân tán hơn lớp 12B.
b) Dựa vào khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh lớp 12A có chiều cao phân tán hơn học sinh lớp 12B.
c) Dựa vào phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm thì chiều cao của học sinh lớp 12A ít phân tán hơn học sinh lớp 12B.
d) Học sinh lớp 12B có chiều cao đồng đều hơn học sinh lớp 12A vì có độ lệch chuẩn nhỏ hơn.
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
a) Với số liệu của học sinh lớp 12A, có khoảng biến thiên: \({R_A} = 175 - 145 = 30\).
Với số liệu của học sinh lớp 12B, có khoảng biến thiên: \({R_B} = 175 - 150 = 25\).
Vậy ta có \({R_A} > {R_B}\) nên chiều cao của học sinh lớp 12A phân tán hơn lớp 12B.
b)
Với mẫu số liệu ghép nhóm của học sinh lớp 12A:
Cỡ mẫu là \(n = 2 + 1 + 15 + 11 + 9 + 3 = 41\). Gọi \({x_1}\,,\,{x_2}\,,\,{x_3}\,,...,\,{x_{41}}\) là mẫu số liệu gốc gồm chiều cao của học sinh lớp 12A được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{10}} + {x_{11}}} \right) \in \left[ {155\,;\,160} \right)\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {155\,;\,160} \right)\) và \({Q_1} = 155 + \frac{{\frac{{41}}{4} - 3}}{{15}}.5 \approx 157,42\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{31}} + {x_{32}}} \right) \in \left[ {165\,;\,170} \right)\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {165\,;\,170} \right)\) và \({Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.41}}{4} - 29}}{9}.5 \approx 165,97\).
Suy ra \(\Delta {Q_A} = {Q_3} - {Q_1} \approx 8,55\).
Với mẫu số liệu ghép nhóm của học sinh lớp 12B:
Cỡ mẫu là \(n = 1 + 16 + 11 + 10 + 4 = 42\). Gọi \({x_1}\,,\,{x_2}\,,\,{x_3}\,,...,\,{x_{42}}\) là mẫu số liệu gốc gồm chiều cao của học sinh lớp 12B được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{11}} \in \left[ {155\,;\,160} \right)\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {155\,;\,160} \right)\) và \({Q_1} = 155 + \frac{{\frac{{42}}{4} - 1}}{{16}}.5 \approx 157,97\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{32}} \in \left[ {165\,;\,170} \right)\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {165\,;\,170} \right)\) và \({Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.42}}{4} - 28}}{{10}}.5 = 166,75\).
Suy ra \(\Delta {Q_B} = {Q_3} - {Q_1} \approx 8,78\).
Do \(\Delta {Q_A} < \Delta {Q_B}\) nên học sinh lớp 12A có chiều cao phân tán ít hơn học sinh lớp 12B.
c) Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta được bảng:
Chiều cao (cm) | \(\left[ {145\,;\,150} \right)\) | \(\left[ {150\,;\,155} \right)\) | \(\left[ {155\,;\,160} \right)\) | \(\left[ {160\,;\,165} \right)\) | \(\left[ {165\,;\,170} \right)\) | \(\left[ {170\,;\,175} \right)\) |
Giá trị đại diện | 147,5 | 152,5 | 157,5 | 162,5 | 167,5 | 172,5 |
Số học sinh của lớp 12A | 2 | 1 | 15 | 11 | 9 | 3 |
Số học sinh của lớp 12B | 0 | 1 | 16 | 11 | 10 | 4 |
Chiều cao trung bình của học sinh lớp 12A là: \({\bar x_A} = \frac{1}{{41}}\left[ {2 \cdot 147,5 + 1 \cdot 152,5 + 15 \cdot 157,5 + 11 \cdot 162,5 + 9 \cdot 167,5 + 3 \cdot 172,5} \right] \approx 161,52\).
Chiều cao trung bình của học sinh lớp 12B là: \({\bar x_B} = \frac{1}{{42}}\left[ {0 \cdot 147,5 + 1 \cdot 152,5 + 16 \cdot 157,5 + 11 \cdot 162,5 + 10 \cdot 167,5 + 4 \cdot 172,5} \right] = 162,5\).
Phương sai của mẫu số liệu lớp 12A là
\(S_A^2 \approx \frac{1}{{41}}\left[ {2 \cdot {{147,5}^2} + 1 \cdot {{152,5}^2} + 15 \cdot {{157,5}^2} + 11 \cdot {{162,5}^2} + 9 \cdot {{167,5}^2} + 3 \cdot {{172,5}^2}} \right] - {\left( {161,52} \right)^2} \approx 35,83\) Phương sai của mẫu số liệu lớp 12B là
\(S_B^2 = \frac{1}{{42}}\left[ {0 \cdot {{147,5}^2} + 1 \cdot {{152,5}^2} + 16 \cdot {{157,5}^2} + 11 \cdot {{162,5}^2} + 10 \cdot {{167,5}^2} + 4 \cdot {{172,5}^2}} \right] - {\left( {162,50} \right)^2} \approx 27,38\)Vậy dựa vào phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm thì chiều cao của học sinh lớp 12A phân tán hơn học sinh lớp 12B.
d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 12A là \(S_A^{} \approx \sqrt {35,83} \approx 5,99\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 12B là \(S_B^{} \approx \sqrt {27,38} \approx 5,23\).
Vậy học sinh lớp 12B có chiều cao đồng đều hơn học sinh lớp 12A vì có độ lệch chuẩn nhỏ hơn.
Phần III: Trả lời ngắn (4 câu-2điểm)
Bảng sau đây cho biết chiều cao của học sinh lớp 5A
Chiều cao (cm) | Tần số |
\(\left[ {85;\;90} \right)\) | \(1\) |
\(\left[ {90;\;95} \right)\) | \(4\) |
\(\left[ {95;\;100} \right)\) | \(8\) |
\(\left[ {100;\;105} \right)\) | \(12\) |
\(\left[ {105;\;110} \right)\) | \(3\) |
\(\left[ {110;\;115} \right)\) | \(2\) |
Tìm k hoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh lớp 5A.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \[R = 115 - 85 = 30\].
Bảng sau đây cho biết chiều cao của học sinh lớp 5A
Chiều cao (cm) | Tần số |
\(\left[ {85;\;90} \right)\) | \(1\) |
\(\left[ {90;\;95} \right)\) | \(4\) |
\(\left[ {95;\;100} \right)\) | \(8\) |
\(\left[ {100;\;105} \right)\) | \(12\) |
\(\left[ {105;\;110} \right)\) | \(3\) |
\(\left[ {110;\;115} \right)\) | \(2\) |
Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh lớp 5A.
Cỡ mẫu là \[n = 1 + 4 + 8 + 12 + 3 + 2 = 30\].
Tứ phân vị thứ nhất \[{Q_1} = 95 + \left[ {\frac{{\frac{{30}}{4} - 5}}{8}} \right].\left( {100 - 95} \right) \approx 96,56\].
Tứ phân vị thứ ba \[{Q_3} = 100 + \left[ {\frac{{\frac{{3.30}}{4} - 13}}{{12}}} \right]\,.\left( {105 - 100} \right) \approx 103,96\].
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là \[{\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 103,96 - 96,56 = 7,4\].
Số người xem trong 60 buổi chiếu phim của một rạp chiếu phim nhỏ
Lớp người xem | Tần số |
[0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60] | 5 9 11 15 12 8 |
Cộng | 60 |
Hãy tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả được làm tròn đến hàng phần chục)
Trả lời: ………………
Lớp người xem | Giá trị đại diện | Tần số |
[0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60] | 5 15 25 35 45 55 | 5 9 11 15 12 8 |
Cộng |
| 60 |
Số trung bình: \(\bar x = \frac{{{n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + {n_3}{c_3} + {n_4}{c_4} + {n_5}{c_5} + {n_6}{c_6}}}{n} = \frac{{5.5 + 9.15 + 11.25 + 15.35 + 12.45 + 8.55}}{{60}} \approx 32,3\)
+ Phương sai: \(s_x^2 = \frac{{{n_1}{{({c_1} - \bar x)}^2} + {n_2}{{({c_2} - \bar x)}^2} + {n_3}{{({c_3} - \bar x)}^2} + {n_4}{{({c_4} - \bar x)}^2} + {n_5}{{({c_5} - \bar x)}^2} + {n_6}{{({c_6} - \bar x)}^2}}}{n}\)\[ = \frac{{5{{(5 - 32,3)}^2} + 9{{(15 - 32,3)}^2} + 11{{(25 - 32,3)}^2} + 15{{(35 - 32,3)}^2} + 12{{(45 - 32,3)}^2} + 8{{(55 - 32,3)}^2}}}{{60}}\]
\( \approx 219,6\)
Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.
Cự li (m) | \([19;19,5)\) | \([19,5;20)\) | \([20;20,5)\) | \([20,5;21)\) | \([21;21,5)\) |
Tần số | 13 | 45 | 24 | 12 | 6 |
Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)
Trả lời: ………………
Giá trị đại diện | 19,25 | 19,75 | 20,25 | 20,75 | 21,25 |
Tần số | 13 | 45 | 24 | 12 | 6 |
Cỡ mẫu: \(n = 100\)
Số trung bình: \(\bar x = \frac{{13.19,25 + 45.19,75 + 24.20,25 + 12.20,75 + 6.21,25}}{{100}} = 20,015\)
Phương sai: \[\begin{array}{l}{s^2} = \frac{{13.{{\left( {19,25 - 20,015} \right)}^2} + 45.{{\left( {19,75 - 20,015} \right)}^2} + 24.{{\left( {20,25 - 20,015} \right)}^2} + 12.{{\left( {20,75 - 20,015} \right)}^2} + 6.{{\left( {21,25 - 20,015} \right)}^2}}}{{100}}\\ \approx 0,28\end{array}\]
Độ lệch chuẩn: \(\sigma = \sqrt {0,28} \approx 0,53\).
