Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 3 lớp 12 (có lời giải) - Đề 3
23 câu hỏi
Phần I: Trắc nghiệm nhiều phương án (12 câu-3điểm)
Cho mẫu số liệu ghép nhóm
Nhóm | Tần số |
\(\left[ {{a_1};{a_2}} \right)\) \(\left[ {{a_2};{a_3}} \right)\) … \(\left[ {{a_m};{a_{m + 1}}} \right)\) | \({n_1}\) \({n_2}\) \({n_m}\)
|
| \(n\) |
Gọi \({Q_1},\,{Q_2},\,{Q_3}\)lần lượt là tứ phân vị thứ nhất, tứ phân vị thứ hai và tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là
\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_2}\).
\({\Delta _Q} = {Q_2} - {Q_1}\).
\({\Delta _Q} = {Q_3} - \frac{3}{2}{Q_1}\)
Chọn A
Cho mẫu số liệu ghép nhóm
Nhóm | Tần số |
\(\left[ {{a_1};{a_2}} \right)\) \(\left[ {{a_2};{a_3}} \right)\) … \(\left[ {{a_m};{a_{m + 1}}} \right)\) | \({n_1}\) \({n_2}\) \({n_m}\)
|
| \(n\) |
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là
\(R = {a_m} - {a_1}\).
\(R = {a_{m + 1}} - {a_m}\).
\(R = {a_{m + 1}} - {a_2}\).
\(R = {a_{m + 1}} - {a_1}\)
Chọn D
Bảng thống kê chiều cao của 40 mẫu cây ở một vườn thực vật (đơn vị: centimét)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên bằng
\(R = 60\).
\(R = 50\).
\(R = 70\).
\(R = 10\)
Chọn A
\(R = 90 - 30 = 60\)
ghi lại ở bảng sau:
Thời gian | \([9,5\,;\,12,5)\) | \([12,5\,;\,15,5)\) | \([15,5\,;\,18,5)\) | \([18,5\,;\,21,5)\) | \([21,5\,;\,24,5)\) |
Số học sinh | \(3\) | \(12\) | \(15\) | \(24\) | 2 |
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là
\([9,5\,;\,12,5)\).
\([12,5\,;\,15,5)\).
\([15,5\,;\,18,5)\).
\([18,5\,;\,21,5)\).
Chọn B
Cỡ mẫu \(n = 56\)
Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{56}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian truy bài trước mỗi buổi học của \(56\) số học sinh trong một tuần được xếp theo thứ tự không giảm.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{{{x_{14}} + {x_{15}}}}{2} \in [12,5\,;\,15,5)\).
Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Thời gian (phút) | \([0\,;\,20)\) | \[[20\,;\,40)\] | \([40\,;\,60)\) | \([60\,;\,80)\) | \([80\,;\,100)\) |
Số học sinh | \(5\) | \(9\) | \(12\) | \(10\) | \(6\) |
Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là
\[[20\,;\,40)\].
\([40\,;\,60)\).
\([60\,;\,80)\).
\([80\,;\,100)\).
Chọn C
Cỡ mẫu \(n = 42\)
Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{42}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục trong ngày của \(42\) học sinh khối 11 được xếp theo thứ tự không giảm.
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{32}} \in [60\,;\,80)\).
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên của một công ty như sau:
Thời gian | \([15\,;\,20)\) | \[[20\,;\,25)\] | \([25\,;\,30)\) | \([30\,;\,35)\) | \([35\,;\,40)\) | \([40\,;\,45)\) | \([45\,;\,50)\) |
Số nhân viên | \(7\) | \(14\) | \(25\) | \(37\) | \(21\) | \(14\) | \(10\) |
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) và tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({Q_1} = \frac{{136}}{5}\,,\,{Q_3} = \frac{{800}}{{21}}\).
\({Q_1} = \frac{{1360}}{{37}}\,,\,{Q_3} = \frac{{800}}{{21}}\).
\({Q_1} = \frac{{1360}}{{37}}\,,\,{Q_3} = \frac{{3280}}{{83}}\).
\({Q_1} = \frac{{136}}{5}\,,\,{Q_3} = \frac{{3280}}{{83}}\).
Cỡ mẫu \(n = 128\)
Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{128}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên của một công ty được xếp theo thứ tự không giảm.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{{{x_{32}} + {x_{33}}}}{2} \in [25;30)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 25 + \frac{{\frac{{128}}{4} - \left( {7 + 14} \right)}}{{25}}*(30 - 25) = \frac{{136}}{5}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{{{x_{96}} + {x_{97}}}}{2} \in [35\,;\,40)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 35 + \frac{{\frac{{3*128}}{4} - \left( {7 + 14 + 25 + 37} \right)}}{{21}}*(40 - 35) = \frac{{800}}{{21}}\).chọn D
Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
Tìm tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\).
\({Q_1} = 15\).
\({Q_1} = 15,5\).
\({Q_1} = 15,2\).
\({Q_1} = 15,25\).
Cỡ mẫu là \(n = 56\).
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_{14}} + {x_{15}}}}{2}\). Do \({x_{14}},{x_{15}}\) đều thuộc nhóm \([12,5;15,5)\) nên nhóm này chứa
\({Q_1}\).
Do đó, \(p = 2;{a_2} = 12,5;{m_2} = 12;{m_1} = 3,{a_3} - {a_2} = 3\) và ta có
\({Q_1} = 12,5 + \frac{{\frac{{56}}{4} - 3}}{{12}} \cdot 3 = 15,25\).
Thống kê cân nặng của học sinh lớp 11A cho trong bảng dưới đây:
Cân nặng | \(\left[ {40,5;45,5} \right)\) | \(\left[ {45,5;50,5} \right)\) | \(\left[ {50,5;55,5} \right)\) | \(\left[ {55,5;60,5} \right)\) | \(\left[ {60,5;65,5} \right)\) | \(\left[ {65,5;70,5} \right)\) |
Số học sinh | \(10\) | \(7\) | \(16\) | \(4\) | \(2\) | \(3\) |
Tính cân nặng trung bình của học sinh lớp 11A?
\[50,1\].
\[52,83\].
\[50,81\].
\[51,81\].
Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:
Cân nặng (kg) | \(43\) | \(48\) | \(53\) | \(58\) | \(63\) | \(68\) |
Số học sinh | \(10\) | \(7\) | \(16\) | \(4\) | \(2\) | \(3\) |
Tổng số học sinh là \(n = 42.\)
Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11A là: \(\bar x = \frac{{10.43 + 7.48 + 16.53 + 4.58 + 2.63 + 3.68}}{{42}} \approx 51,81\) kg.
Phương sai của một mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng thống kê dưới đây là:
\(13,24\)
\(15,74\)
\(18,84\)
\(14,84\)
Ta có chiều cao trung bình:
\[\overline x = \frac{1}{{500}}\left( {152.25 + 156.50 + 160.200 + 164.175 + 168.50} \right) = 161,4\]
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{S^2}\, = \frac{1}{{500}}\left[ {25{{\left( {152 - 161,4} \right)}^2} + 50{{\left( {156 - 161,4} \right)}^2} + 200{{\left( {160 - 161,4} \right)}^2} + 175{{\left( {164 - 161,4} \right)}^2} + 50{{\left( {168 - 161,4} \right)}^2}} \right]\]
\[ = 14,84\].CHỌN D
Kết quả khảo sát thời gian sử dụng liên tục (đơn vị: giờ) từ lúc sạc đầy cho đến khi hết của pin một số máy vi tính cùng loại được thống kê ở bảng sau:
Thời gian sử dụng | \(\left[ {7,2;7,4} \right)\) | \(\left[ {7,4;7,6} \right)\) | \(\left[ {7,6;7,8} \right)\) | \(\left[ {7,8;8,0} \right)\) |
Số máy | 2 | 4 | 7 | 6 |
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?
\(0,192\).
\(0,193\).
\(0,037\)
\(0,2\)
Từ bảng thống kê ta có:
Thời gian sử dụng | \(\left[ {7,2;7,4} \right)\) | \(\left[ {7,4;7,6} \right)\) | \(\left[ {7,6;7,8} \right)\) | \(\left[ {7,8;8,0} \right)\) |
Giá trị đại diện | 7,3 | 7,5 | 7,7 | 7,9 |
Số máy | 2 | 4 | 7 | 6 |
Tổng số máy: \(n = 2 + 4 + 7 + 6 = 19\).
Thời gian sử dụng trung bình của pin là: \(\overline x = \frac{{2.7,3 + 4.7,5 + 7.7,7 + 6.7,9}}{{19}} = \frac{{1459}}{{190}}\)
Phương sai của mẫu số liệu là \[{S^2} = \frac{1}{{19}}\left( {{{2.7,3}^2} + {{4.7,5}^2} + {{7.7,7}^2} + {{6.7,9}^2}} \right) - {\left( {\frac{{1459}}{{190}}} \right)^2} \approx 0,037\].
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: \(S = \sqrt {{S^2}} \approx \sqrt {0,037} \approx 0,192\).
Đại lượng nào đo độ phân tán của nửa giữa của mẫu số liệu, không bị ảnh hưởng nhiều bởi các giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu?
Khoảng biến thiên.
Khoảng tứ phân vị.
Phương sai.
Độ lệch chuẩn.
Khoảng tứ phân vị dùng để đo độ phân tán của nửa giữa của mẫu số liệu, không bị ảnh hưởng nhiều bởi các giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu.chọn B
Để so sánh mức độ phân tán của các mẫu số liệu ghép nhóm có cùng số trung bình ta dùng đại lượng nào?
Khoảng biến thiên.
Khoảng tứ phân vị.
Trung vị.
Độ lệch chuẩn.
Để so sánh mức độ phân tán của các mẫu số liệu ghép nhóm có cùng số trung bình ta dùng phương sai và độ lệch chuẩn.CHỌN D
Mẫu số liệu dưới đây ghi lại tốc độ của \(40\) ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ (đơn vị: km/h):
a) Bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có sáu nhóm ứng với sáu nửa khoảng là
b) Mẫu số liệu trên có số trung bình là 54,875
c) Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: \({Q_1} = 47,8(km/h);{Q_2} = 53,6(km/h);{Q_3} = 60(km/h).\)
d) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 25.
a) Bảng tần số ghép nhóm:
Vậy ý a ĐÚNG
b)S *Số trung bình
\(\overline x = \frac{{4.42,5 + 11.47,5 + 7.52,5 + 8.57,5 + 8.62,5 + 2.67.5}}{{40}} = \)53,875 (km/h)
Vậy ý b SAI
c)*Số phần tử của mẫu là \(n = 40 \Rightarrow \frac{n}{2} = 20\).
Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20.
Xét nhóm 3 là nhóm \(\left[ {50;55} \right)\) có \(r = 50,d = 5,{n_3} = 7\) và \(c{f_2} = 15\)
Ta có số trung vị của mẫu số liệu là:
\({M_e} = 50 + \frac{{20 - 15}}{7}.5 \approx 53,6\)(km/h)
*Số phần tử của mẫu là \(n = 40\).
Ta có: \(\frac{n}{4} = 10\)
Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10.
Xét nhóm 2 là nhóm \(\left[ {45;50} \right)\) có \(r = 45,d = 5,{n_2} = 11\) và \(c{f_1} = 4\)
Ta có tứ phân vị thứ nhất là:
\({Q_1} = 45 + \frac{{10 - 4}}{{11}}.5 \approx 47,8\)(km/h)
Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = 30\)
Nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30.
Xét nhóm 4 là nhóm \(\left[ {55;60} \right)\) có \(r = 55,d = 5,{n_4} = 8\) và \(c{f_3} = 22\)
Ta có tứ phân vị thứ ba là:
\({Q_3} = 55 + \frac{{30 - 22}}{8}.5 = 60\)(km/h)
Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: \({Q_1} = 47,8(km/h);{Q_2} = 53,6(km/h);{Q_3} = 60(km/h).\)
Vậy ý c ĐÚNG
d)Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = {a_7} - {a_1} = 70 - 40 = 30\)
Vậy ý d SAI
Bảng dưới đây cho ta bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê cân nặng của \(40\) học sinh lớp \(12{\rm{B}}\) trong một trường trung học phổ thông (đơn vị: kilôgam).
Nhóm | Số học sinh |
\(\left[ {30\,;\,40} \right)\) | \(2\) |
\(\left[ {40\,;\,50} \right)\) | \(10\) |
\(\left[ {50\,;\,60} \right)\) | \(16\) |
\(\left[ {60\,;\,70} \right)\) | \(8\) |
\(\left[ {70\,;\,80} \right)\) | \(2\) |
\(\left[ {80\,;\,90} \right)\) | \(2\) |
| \(n = 40\) |
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Số học sinh nặng dưới \(50\,kg\) là \(12\).
b) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên xấp xỉ bằng \(54,29\,(kg)\).
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(\frac{{39}}{2}.\)
d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là \(128.\)
a) Số học sinh nặng dưới \(50\,kg\) là \(2 + 10 = 12\). Vậy ý a) đúng.
b)
Nhóm | Tần số |
\(\left[ {30\,;\,40} \right)\) | \(2\) |
\(\left[ {40\,;\,50} \right)\) | \(10\) |
\(\left[ {50\,;\,60} \right)\) | \(16\) |
\(\left[ {60\,;\,70} \right)\) | \(8\) |
\(\left[ {70\,;\,80} \right)\) | \(2\) |
\(\left[ {80\,;\,90} \right)\) | \(2\) |
| \(n = 40\) |
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là \(\left[ {50\,;\,60} \right).\)
Do đó um=50; nm=16; nm-1=10, nm+1=8, um+1-um=60-50=10
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ bằng:
\({M_0} = 50 + \frac{{16 - 10}}{{\left( {16 - 10} \right) + \left( {16 - 8} \right)}} \cdot 10 = \frac{{380}}{7} \approx 54,29\,(kg).\)
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên xấp xỉ bằng \(54,29\,(kg)\). Vậy ý b) đúng.
c)
Nhóm | Tần số |
\(\left[ {30\,;\,40} \right)\) | \(2\) |
\(\left[ {40\,;\,50} \right)\) | \(10\) |
\(\left[ {50\,;\,60} \right)\) | \(16\) |
\(\left[ {60\,;\,70} \right)\) | \(8\) |
\(\left[ {70\,;\,80} \right)\) | \(2\) |
\(\left[ {80\,;\,90} \right)\) | \(2\) |
| \(n = 40\) |
Cỡ mẫu \(n = 40\).
Gọi \({x_1},\,{x_2} \in \left[ {30\,;\,40} \right);\)\({x_3},\,...,{x_{12}} \in \left[ {40\,;\,50} \right);\)\({x_{13}},\,...,{x_{28}} \in \left[ {50\,;\,60} \right);\)\({x_{29}},\,...,{x_{36}} \in \left[ {60\,;\,70} \right);\)\({x_{37}},{x_{38}} \in \left[ {70\,;\,80} \right);\)\({x_{39}},{x_{40}} \in \left[ {80\,;\,90} \right).\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{10}} + {x_{11}}} \right) \in \left[ {40\,;\,50} \right)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là
\({Q_1} = 40 + \frac{{\frac{{40}}{4} - 2}}{{10}}.\left( {50 - 40} \right) = 48.\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{30}} + {x_{31}}} \right) \in \left[ {60\,;\,70} \right)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là
\({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3.40}}{4} - \left( {2 + 10 + 16} \right)}}{8}.\left( {70 - 60} \right) = \frac{{125}}{2}.\)
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
\({\Delta _Q} = \frac{{125}}{2} - 48 = \frac{{29}}{2}.\)
Vậy ý c) sai.
d)
Ta có bảng cân nặng của các em học sinh theo giá trị đại diện:
Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số |
\(\left[ {30\,;\,40} \right)\) | \(35\) | \(2\) |
\(\left[ {40\,;\,50} \right)\) | \(45\) | \(10\) |
\(\left[ {50\,;\,60} \right)\) | \(55\) | \(16\) |
\(\left[ {60\,;\,70} \right)\) | \(65\) | \(8\) |
\(\left[ {70\,;\,80} \right)\) | \(75\) | \(2\) |
\(\left[ {80\,;\,90} \right)\) | \(85\) | \(2\) |
|
| \(n = 40\) |
Cỡ mẫu \(n = 2 + 10 + 16 + 8 + 2 + 2 = 40.\)
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là
\(\frac{{35.2 + 45.10 + 55.16 + 65.8 + 75.2 + 85.2}}{{40}} = \frac{{2240}}{{40}} = 56\,(kg)\)
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
\({S^2} = \frac{1}{{40}}\left( {{{2.35}^2} + {{10.45}^2} + {{16.55}^2} + {{8.65}^2} + {{2.75}^2} + {{2.85}^2}} \right) - {56^2} = 3265 - 3136 = 129.\)
Vậy ý d) sai.
Trong một hội thao, thời gian chạy \(200m\) của một nhóm các vận động viên được ghi lại ở bảng sau:
Dựa vào bảng số liệu trên, em hãy xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a) Tần suất của nhóm vận động viên chạy trong khoảng thời gian từ \(22\)giây đến dưới \(22,5\) giây bằng \(30\% \).
b) Số trung vị của mẫu số liệu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) bằng \(22,67\).
c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu bằng \(R = 2\).
d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) bằng \(0.28\).
a) Cỡ mẫu: \(n = 5 + 10 + 30 + 45 + 30 = 120\).
Tần suất của nhóm vận động viên chạy trong khoảng thời gian từ \(22\)giây đến dưới \(22,5\) giây bằng: \({f_3} = \frac{{{n_3}}}{n} = \frac{{30}}{{120}} = 25\% \).
Vậy mệnh đề a) sai.
b) Gọi \({x_1},{x_2},\,...\,,{x_{120}}\) là thời gian chạy của 120 vận động viên và dãy này là một dãy không giảm.
Khi đó trung vị là \(\frac{{{x_{60}} + {x_{61}}}}{2}\). Do \({x_{60}},\,{x_{61}} \in \left[ {22,5;\,23} \right)\) nên nhóm này chứa trung vị. Ta có:
\({M_e} = 22,5 + \frac{{\frac{{120}}{2} - \left( {5 + 10 + 30} \right)}}{{45}}.\left( {23 - 22,5} \right) \approx 22,67\).
Vậy mệnh đề b) đúng.
c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu bằng : \(R = 23,5 - 21 = 2,5\).
Vậy mệnh đề c) sai.
d) Giá trị trung bình của mẫu số liệu là:
\(\bar x = \frac{{5.21,25 + 10.21,75 + 30.22,25 + 45.22,75 + 30.23,25}}{{120}} \approx 22,60\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) bằng
\(s = \sqrt {\frac{{5{{\left( { - 1,35} \right)}^2} + 10{{\left( { - 0,85} \right)}^2} + 30{{\left( { - 0,35} \right)}^2} + 45{{\left( {0,15} \right)}^2} + 30{{\left( {0,65} \right)}^2}}}{{120}}} \approx 0,53\).
Vậy mệnh đề d) sai.
Thống kê chiều cao của tổ 1 và tổ 2 của lớp 10A cho bởi bảng sau:
Chiều cao (cm) | \(\left[ {150;155} \right)\) | \(\left[ {155;160} \right)\) | \(\left[ {160;165} \right)\) | \(\left[ {165;170} \right)\) | \(\left[ {170;175} \right)\) | \(\left[ {175;180} \right)\) |
Số học sinh tổ 1 | 3 | 2 | 2 | 1 | 3 | 0 |
Số học sinh tổ 2 | 1 | 3 | 3 | 2 | 1 | 1 |
A. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 1 là \({Q_1} = 154,375\).
B. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 1 là \(R = 25\).
C. Phương sai của mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 2 là \(s_2^2 \approx 48,88\).
D. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 2 lớn hơn độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 1.
A. Xét mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 1:
Cỡ mẫu \(n = 3 + 2 + 2 + 1 + 3 = 11\). Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \({x_3}\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là \(\left[ {150;155} \right)\) và ta có \({Q_1} = 150 + \frac{{\frac{{11}}{4} - 0}}{3}.5 \approx 154,58\) nên đáp án A sai.
B. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 1 là \(R = 175 - 50 = 25\)nên B đúng.
C. Xét mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 2:
\(\overline {{x_2}} = \frac{{1.152,5 + 3.157,5 + 3.162,5 + 2.167,5 + 1.172,5 + 1.177,5}}{{11}} \approx 163,41\)
\(s_2^2 = \frac{{1.{{(152,5)}^2} + 3.{{(157,5)}^2} + 3.{{(162,5)}^2} + 2.{{(167,5)}^2} + 1.{{(172,5)}^2} + 1.{{(177,5)}^2}}}{{11}} - {\left( {163,41} \right)^2} \approx 48,88\)
Do đó C đúng.
D. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 2 là \({s_2} \approx \sqrt {48.88} \approx 6,99\).
Xét mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 1:
\(\overline {{x_1}} = \frac{{3.152,5 + 2.157,5 + 2.162,5 + 1.167,5 + 3.172,5}}{{11}} \approx 162,05\)
\(s_1^2 = \frac{{3.{{(152,5)}^2} + 2.{{(157,5)}^2} + 2.{{(162,5)}^2} + 1.{{(167,5)}^2} + 3.{{(172,5)}^2}}}{{11}} - {\left( {162.05} \right)^2} \approx 59,68\)
\({s_1} \approx \sqrt {59,68} \approx 7,73\). Ta thấy \({s_1} > {s_2}\) nên D sai.
Giả sử kết quả khảo sát hai khu vực \(A\) và \(B\) về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình được cho ở bảng sau:
Tuổi kết hôn | \([19;22)\) | \([22;25)\) | \([25;28)\) | \([28;31)\) | \([31;34)\) |
Số phụ nữ khu vực \(A\) | 10 | 27 | 31 | 25 | 7 |
Số phụ nữ khu vực \(B\) | 47 | 40 | 11 | 2 | 0 |
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A là: \(15\) (tuổi)
b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực B là: \(12\)(tuổi)
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A là: \(\frac{{61}}{3}\) (tuổi)
d) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì phụ nữ ở khu vực B có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | c) Đúng |
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A là: \(34 - 19 = 15\) (tuổi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực B là: \(31 - 19 = 12\)(tuổi)
Cỡ mẫu \(n = 100\)
Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{100}}\) là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực A được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{10}} \in [19;22);{x_{11}}; \ldots ;{x_{37}} \in [22;25);{x_{38}}; \ldots ;{x_{68}} \in [25;28);{x_{69}}; \ldots ;{x_{93}} \in [28;31)\); \({x_{94}}; \ldots ;{x_{100}} \in [31;34)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right) \in [22;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 22 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 10}}{{27}}(25 - 22) = \frac{{71}}{3}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) \in [28;31)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 28 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (10 + 27 + 31)}}{{25}}(31 - 28) = \frac{{721}}{{25}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{388}}{{75}}\)
Gọi \({y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{100}}\) là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực B được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{47}} \in [19;22);{y_{48}}; \ldots ;{y_{87}} \in [22;25);{y_{88}}; \ldots ;{y_{98}} \in [25;30);{y_{99}};{y_{100}} \in [28;31)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{y_{25}} + {y_{26}}} \right) \in [19;22)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}^\prime = 19 + \frac{{\frac{{100}}{4}}}{{47}}(22 - 19) = \frac{{968}}{{47}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{y_{75}} + {y_{76}}} \right) \in [22;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}^\prime = 22 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - 47}}{{40}}(25 - 22) = \frac{{241}}{{10}}\)
Có \({\Delta _Q}^\prime < {\Delta _Q}\) nên phụ nữ ở khu vực B có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn.
PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN
hời gian tập luyện trong một ngày (tính theo giờ) của một số vận động viên được ghi lại ở bảng sau:
Thời gian tập luyện | [0; 2) | [2; 4) | [4; 6) | [6; 8) | [8; 10) |
Số vận động viên | 3 | 8 | 12 | 12 | 4 |
Hãy tìm khoảng biến thiên cho thời gian tập luyện của các vận động viên.
Gọi \(R\) là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập luyện trong ngày của các vận động viên. Ta có: \(R = 10 - 0 = 10\)
Một trang báo điện tử thống kê thời gian người sử dụng đọc thông tin trên trang trong mỗi lần truy cập ở bảng sau:
Thời gian đọc (phút) | [0; 2) | [2; 4) | [4; 6) | [6; 8) | [8; 10) |
Số lượt truy cập | 45 | 34 | 23 | 18 | 5 |
Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Cỡ mẫu là \(n = 45 + 34 + 23 + 18 + 5 = 125\). Gọi \({x_1},...\,,\,{x_{125}}\) là thời gian đọc thông tin trên trang báo điện tử của 125 lượt truy cập và giả sử rằng dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{31}} + {x_{32}}} \right)\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm [0; 2) và ta có:
\({Q_1} = 0 + \left[ {\frac{{\frac{{1.125}}{4} - 0}}{{45}}} \right].(2 - 0) \approx 1,39\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{94}} + {x_{95}}} \right)\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm [4; 6) và ta có:
\({Q_3} = 4 + \left[ {\frac{{\frac{{3.125}}{4} - (45 + 34)}}{{23}}} \right].(6 - 4) \approx 5,28\).
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 5,28 - 1,39 = 3,89\).
Người ta ghi lại tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) của một số nhà đầu tư (với số tiền đầu tư như nhau), khi đầu tư vào hai lĩnh vực \(A,B\) cho kết quả như sau:
Tiền lãi | \([5;10)\) | \([10;15)\) | \([15;20)\) | \([20;25)\) | \([25;30)\) |
Số nhà đầu tư vào lĩnh vực \(A\) | \(2\) | \(5\) | \(8\) | \(6\) | \(4\) |
Số nhà đầu tư vào lĩnh vực \(B\) | \(8\) | \(4\) | \(2\) | \(5\) | \(6\) |
Tính hiệu phương sai \(s_B^2 - s_A^2\) cho các mẫu số liệu về tiền lãi của các nhà đầu tư ở hai lĩnh vực này.
Ta có mẫu số liệu ghép nhóm với giá tri đại diện là:
Tiền lãi | \([5;10)\) | \([10;15)\) | \([15;20)\) | \([20;25)\) | \([25;30)\) |
Giá trị đại diện | \(7,5\) | \(12,5\) | \(17,5\) | \(22,5\) | \(27,5\) |
Số nhà đầu tư vào lĩnh vực \(A\) | \(2\) | \(5\) | \(8\) | \(6\) | \(4\) |
Số nhà đầu tư vào lĩnh vực \(B\) | \(8\) | \(4\) | \(2\) | \(5\) | \(6\) |
Tiền lãi trung bình khi đầu tư vào lĩnh vực \(A\) là:
\(\overline {{x_A}} = \frac{{7,5.2 + 12,5.5 + 17,5.8 + 22,5 \cdot 6 + 27,5.4}}{{2 + 5 + 8 + 6 + 4}} = 18,5\).
Tiền lãi trung bình khi đầu tư vào lĩnh vực \(B\) là:
\(\overline {{x_B}} = \frac{{7,5.8 + 12,5.4 + 17,5.2 + 22,5.5 + 27,5.6}}{{8 + 4 + 2 + 5 + 6}} = 16,9\).
Phương sai của mẫu số liệu về tiền lãi khi đầu tư vào lĩnh vực \(A\):
\(s_A^2 = \frac{1}{{25}}\left( {{{7,5}^2} \cdot 2 + {{12,5}^2} \cdot 5 + {{17,5}^2} \cdot 8 + {{22,5}^2} \cdot 6 + {{27,5}^2} \cdot 4} \right) - {18,5^2} = 34\).
Phương sai của mẫu số liệu về tiền lãi khi đầu tư vào lĩnh vực \(B\):
\(s_B^2 = \frac{1}{{25}}\left( {{{7,5}^2} \cdot 8 + {{12,5}^2} \cdot 4 + {{17,5}^2} \cdot 2 + {{22,5}^2} \cdot 5 + {{27,5}^2} \cdot 6} \right) - {16,9^2} = 64,64\).
Do đó \(s_B^2 - s_A^2 \approx 64,64 - 16,9 = 47,74\).
Thời gian hoàn thành một bài kiểm tra trắc nghiệm của một số học sinh lớp \(10\)của hai lớp \(10A\) và \(10B\) được ghi lại ở bảng sau:
Thời gian (phút) | \([6;7)\) | \([7;8)\) | \([8;9)\) | \([9;10)\) | \([10;11)\) |
Học sinh lớp \(10A\) | \(8\) | \(10\) | \(13\) | \(10\) | \(9\) |
Học sinh lớp \(10B\) | \(4\) | \(12\) | \(17\) | \(14\) | \(3\) |
Tính hiệu độ lệch chuẩn \({\sigma _{10A}} - {\sigma _{10B}}\).
Lập lại mẫu số liệu ghép nhóm theo giá trị đại diện, ta được:
Giá trị đại diện | \(6,5\) | \(7,5\) | \(8,5\) | \(9,5\) | \(10,5\) |
Học sinh lớp \(10A\) | \(8\) | \(10\) | \(13\) | \(10\) | \(9\) |
Học sinh lớp \(10B\) | \(4\) | \(12\) | \(17\) | \(14\) | \(3\) |
Ta có:
Cỡ mẫu: \(n = 50\)
Xét số liệu của lớp \(10A\):
Số trung bình: \({\overline x _{10A}} = \frac{{8.6,5 + 10.7,5 + 13.8,5 + 10.9,5 + 9.10,5}}{{50}} = 8,54\).
Độ lệch chuẩn: \({\sigma _{10A}} = \sqrt {\frac{{{{8.6,5}^2} + {{10.7,5}^2} + {{13.8,5}^2} + {{10.9,5}^2} + {{9.10,5}^2}}}{{50}} - {{8,54}^2}} \approx 1,33\).
Xét số liệu của lớp \(10B\):
Số trung bình: \({\overline x _{10B}} = \frac{{4.6,5 + 12.7,5 + 17.8,5 + 14.9,5 + 3.10,5}}{{50}} = 8,5\).
Độ lệch chuẩn: \({\sigma _{10B}} = \sqrt {\frac{{{{4.6,5}^2} + {{12.7,5}^2} + {{17.8,5}^2} + {{14.9,5}^2} + {{3.10,5}^2}}}{{50}} - {{8,5}^2}} \approx 1,04\).
Do đó \({\sigma _{10A}} - {\sigma _{10B}} \approx 1,33 - 1,04 = 0,29\).
Giá đóng cửa của một cổ phiếu là giá của cổ phiếu đó cuối một phiên giao dịch. Bảng sau thống kê giá đóng cửa (đơn vị: nghìn đồng) của hai mã cổ phiếu A và B trong 50 ngày giao dịch liên tiếp.
Giá đóng cửa | [120;122) | [122;124) | [124;126) | [126;128) | [128;130) |
Số ngày giao dịch của cổ phiếu A | 8 | 9 | 12 | 10 | 11 |
Số ngày giao dịch của cổ phiếu B | 16 | 4 | 3 | 6 | 21 |
Hãy tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên và so sánh độ rủi ro của cổ phiếu A và cổ phiếu B.
Ta có bảng thống kê giá đóng cửa theo giá trị đại diện
Giá trị đại diện | 121 | 123 | 125 | 127 | 129 |
Số ngày giao dịch của cổ phiếu A | 8 | 9 | 12 | 10 | 11 |
Số ngày giao dịch của cổ phiếu B | 16 | 4 | 3 | 6 | 21 |
Xét mẫu số liệu của cổ phiếu A:
+ Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là
\(\overline {{x_A}} = \frac{{8.121 + 9.123 + 12.125 + 10.127 + 11.129}}{{50}} = 125,28\).
+ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
\(S_A^2 = \frac{1}{{50}}\left( {{{8.121}^2} + {{9.123}^2} + {{12.125}^2} + {{10.127}^2} + {{11.129}^2}} \right) - {\left( {125,28} \right)^2} = 7,5216\).
Xét mẫu số liệu của cổ phiếu B:
+ Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là
\(\overline {{x_B}} = \frac{{16.121 + 4.123 + 3.125 + 6.127 + 21.129}}{{50}} = 125,28\).
+ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
\(S_B^2 = \frac{1}{{50}}\left( {{{16.121}^2} + {{4.123}^2} + {{3.125}^2} + {{6.127}^2} + {{21.129}^2}} \right) - {\left( {125,28} \right)^2} = 12,4096\).
Do \(S_A^2 < S_B^2\) nên nếu so sánh theo phương sai thì cổ phiếu A có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu B.
Thầy Niên thống kê lại điểm trung bình cuối năm của các học sinh lớp 10A và 10B ở bảng sau.
Điểm trung bình | [5;6) | [6;7) | [7;8) | [8;9) | [9;10) |
Số học sinh lớp 10A | 1 | 0 | 11 | 22 | 6 |
Số học sinh lớp 10B | 0 | 6 | 8 | 14 | 12 |
Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp nào có điểm trung bình ít phân tán hơn?
Giá trị đại diện | 5,5 | 6,5 | 7,5 | 8,5 | 9,5 |
Số học sinh lớp 10A | 1 | 0 | 11 | 22 | 6 |
Số học sinh lớp 10B | 0 | 6 | 8 | 14 | 12 |
Xét mẫu số liệu của lớp 10A:
+ Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là
\(\overline {{x_A}} = \frac{{1.5,5 + 0.6,5 + 11.7,5 + 22.8,5 + 6.9,5}}{{40}} = 8,3\).
+ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
\(S_A^2 = \frac{1}{{40}}\left( {{{1.5,5}^2} + {{0.6,5}^2} + {{11.7,5}^2} + {{22.8,5}^2} + {{6.9,5}^2}} \right) - {8,3^2} = 0,61\).
+ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \({S_A} = \sqrt {0,61} \)
Xét mẫu số liệu của lớp 10B:
+ Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là
\(\overline {{x_B}} = \frac{{0.5,5 + 6.6,5 + 8.7,5 + 14.8,5 + 12.9,5}}{{40}} = 8,3\).
+ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
\(S_B^2 = \frac{1}{{40}}\left( {{{0.5,5}^2} + {{6.6,5}^2} + {{8.7,5}^2} + {{14.8,5}^2} + {{12.9,5}^2}} \right) - {8,3^2} = 1,06\).
+ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \({S_B} = \sqrt {1,06} \).
Do \({S_A} < {S_B}\) nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp 10A có điểm trung bình ít phân tán hơn học sinh lớp 10B.
