Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 3 lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc. hoảng biến thiên được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

+ Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị.

+ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho phương sai của mẫu số liệu gốc. Phương sai được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Phương sai càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc. Khoảng tứ phân vị được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

Ý nghĩa độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Độ lệch chuẩn được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.CHỌN A

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\bar x = \frac{{3.2,4 + 6.2,8 + 5.3,2 + 5.3,6 + 1.4,0}}{{20}} = 3,1\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\[{s^2} = \frac{{{{3.2,4}^2} + {{6.2,8}^2} + {{5.3,2}^2} + {{5.3,6}^2} + {{1.4,0}^2}}}{{20}} - {3,1^2} = 0,206\]

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là

$s=\sqrt{0,206}\approx 0,45$

CHỌN D

a. Đúng

Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên là:

b. Sai

Tổng số học sinh là \(n = 30\).

Trung bình mỗi em chạy \(50\,\,m\) hết số thời gian là:

\(\bar x = \frac{{6,25.2 + 6,75.5 + 7,25.10 + 7,75.9 + 8,25.3 + 8,75.1}}{{30}} = 7,4\,\,\left( {gi\^a y} \right).\)

c. Sai

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(R = 9,0 - 6,0 = 3,0.\)

d. Đúng

- Cỡ mẫu là \(n = 30\).

Gọi \({x_1}, \ldots ,{x_{30}}\) là thời gian chạy \(50\,\,m\) của \(30\) học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, trung vị là \(\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}\). Do 2 giá trị \({x_{15}},{x_{16}}\) thuộc nhóm \(\left[ {7,0\,\,;\,\,7,5} \right)\) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó:

\({M_e} = 7,0 + \frac{{\frac{{30}}{2} - \left( {2 + 5} \right)}}{{10}} \cdot 0,5 = 7,4\).

Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) chính là trung vị \({M_e}\).

- Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\)

Nhóm chứa \({Q_1}\) là nhóm thứ \(3\): \(\left[ {7,0\,\,;\,\,7,5} \right)\). Khi đó \({Q_1} = 7,0 + \frac{{\frac{{30}}{4} - \left( {2 + 5} \right)}}{{10}} \cdot 0,5 = 7,025\).

- Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\)

Nhóm chứa \({Q_3}\) là nhóm thứ \(4\): \(\left[ {7,5\,\,;\,\,8,0} \right)\).

Khi đó \({Q_3} = 7,5 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - \left( {2 + 5 + 10} \right)}}{9} \cdot 0,5 = 7,80\left( 5 \right) \approx 7,806\).

- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 7,806 - 7,025 = 0,781\).

a) Tổng số học sinh được khảo sát là \(n = 4 + 8 + 12 + 10 + 8 = 42\).

b) Nhóm có tần số lớn nhất là \([40;60)\).

Mốt của mẫu số liệu là

\({M_0} = 40 + \frac{{12 - 8}}{{(12 - 8) + (12 - 10)}} \cdot (60 - 40) \approx 53,3.\)

c) Gọi \({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{42}}\) là thời gian xem điện thoại trong ngày của \(42\) học sinh khối \(12\) và giả sử dãy này đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là trung vị của dãy \({x_1}\), \({x_2}\),..., \({x_{21}}\) nên \({Q_1} = {x_{11}}\). Do đó \({Q_1}\) thuộc nhóm \([20;40)\).

Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là trung vị của dãy \({x_{22}}\), \({x_{23}}\),..., \({x_{42}}\) nên \({Q_3} = {x_{32}}\). Do đó \({Q_3}\) thuộc nhóm \([60;80)\).

Suy ra \({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{42}}{4} - 4}}{8} \cdot (40 - 20) = 36,25\).

\({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3 \cdot 42}}{4} - 24}}{{10}} \cdot (80 - 60) = 75\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 75 - 36,25 = 38,75\).

d) Số trung bình của mẫu số liệu là

\(\bar x = \frac{{4 \cdot 10 + 8 \cdot 30 + 12 \cdot 50 + 10 \cdot 70 + 8 \cdot 90}}{{42}} \approx 54,76.\)

Phương sai của mẫu số liệu là

\({s^2} = \frac{{4 \cdot {{\left( {10 - 54,76} \right)}^2} + 8 \cdot {{\left( {30 - 54,76} \right)}^2} + 12 \cdot {{\left( {50 - 54,76} \right)}^2} + 10 \cdot {{\left( {70 - 54,76} \right)}^2} + 8 \cdot {{\left( {90 - 54,76} \right)}^2}}}{{42}} \approx 605,9.\)

Cỡ mẫu: \(n = 20\)

Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{20}}\) là mẫu số liệu gốc về số giờ nắng trong tháng 6 trong 20 năm của Nha Trang được xếp theo thứ tự không giảm.

\(\begin{array}{l}{\rm{ Ta có : }}{x_1} \in [130;160);{x_2} \in [160;190);{x_3} \in [190;220);{x_4}; \ldots ;{x_{11}} \in [220;250);{x_{12}}; \ldots ;{x_{18}} \in [250;280){\rm{; }}\\{x_{19}};{x_{20}} \in [280;310)\end{array}\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right) \in [220;250)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 220 + \frac{{\frac{{20}}{4} - (1 + 1 + 1)}}{8}(250 - 220) = 227,5\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right) \in [250;280)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 250 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - (1 + 1 + 1 + 8)}}{7}(280 - 250) = \frac{{1870}}{7}\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 39,64\)

Gọi \({y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{50}}\) là mẫu số liệu gốc về số giờ nắng trong tháng 6 trong 20 năm của Quy Nhơn được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{y_1}; \in [160;190);{y_2};{y_3} \in [190;220);{y_4}; \ldots ;{y_7} \in [220;250);{y_8}; \ldots ;{y_{17}} \in [250;280);\\{y_{4 = 18}}; \ldots ;{y_{20}} \in [280;310)\end{array}\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{y_5} + {y_6}} \right) \in [220;250)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}^\prime  = 220 + \frac{{\frac{{20}}{4} - (1 + 2)}}{4}(250 - 220) = 235\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{y_{15}} + {y_{16}}} \right) \in [250;280)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}^\prime  = 250 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - (1 + 2 + 4)}}{{10}}(280 - 250) = 274\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}^\prime  = {Q_3}^\prime  - {Q_1}^\prime  = 39\)

Vậy nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn

Xét số liệu của Nha Trang:

Số trung bình: \(\overline {{x_X}}  = \frac{{1.145 + 1.175 + 1.205 + 8.235 + 7.265 + 2.295}}{{20}} = 242,5\)

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _X} = \sqrt {\frac{{{{1.145}^2} + {{1.175}^2} + {{1.205}^2} + {{8.235}^2} + {{7.265}^2} + {{2.295}^2}}}{{20}} - {{242,5}^2}}  \approx 35,34\)

Xét số liệu của Quy Nhơn:

Số trung bình: \(\overline {{x_Y}}  = \frac{{1.175 + 2.205 + 4.235 + 10.265 + 3.295}}{{20}} = 253\)

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _Y} = \sqrt {\frac{{{{1.175}^2} + {{2.205}^2} + {{4.235}^2} + {{10.265}^2} + {{3.295}^2}}}{{20}} - {{253}^2}}  \approx 30,59\)

Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn

Ta có bảng của lớp \(12A\):

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm lớp \(12A\) là

\(\overline x  = \frac{1}{{45}}\left( {5.1 + 6.3 + 6.5 + 25.7 + 3.9} \right) \approx 5,7\)

Ta có bảng của lớp \(12B\):

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm lớp \(12B\) là

\(\overline x  = \frac{1}{{45}}\left( {2.1 + 5.3 + 18.5 + 16.7 + 4.9} \right) \approx 5,7\).

Vậy số trung bình cộng của hai mẫu số liệu trên bằng nhau, suy ra mệnh đề a) đúng.

b) Ta có phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm lớp \(12A\) là

\({S^2} = \frac{1}{{45}}\left[ {5.{{\left( {1 - 5,7} \right)}^2} + 6.{{\left( {3 - 5,7} \right)}^2} + 6.{{\left( {5 - 5,7} \right)}^2} + 25.{{\left( {7 - 5,7} \right)}^2} + 3.{{\left( {9 - 5,7} \right)}^2}} \right] \approx 5,16\).

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm lớp \(12A\) là \(S = \sqrt {{S^2}}  \approx \sqrt {5,16}  \approx 2,27\).

Vậy mệnh đề b) đúng.

c) Ta có phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm lớp \(12B\) là

\({S^2} = \frac{1}{{45}}\left[ {2.{{\left( {1 - 5,7} \right)}^2} + 5{{\left( {3 - 5,7} \right)}^2} + 18.{{\left( {5 - 5,7} \right)}^2} + 16.{{\left( {7 - 5,7} \right)}^2} + 4.{{\left( {9 - 5,7} \right)}^2}} \right] \approx 3,56\).

Vậy mệnh đề c) đúng.

d) Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm lớp \(12B\) là \(S = \sqrt {{S^2}}  \approx \sqrt {3,56}  \approx 1,89\).

Do độ lệch chuẩn của lớp \(12A\) nhỏ hơn độ lệch chuẩn của lớp \(12B\) nên điểm thi của lớp \(12A\) đồng đều hơn.

Vậy mệnh đề d) sai.

Chọn đáp án: Đ-Đ-Đ-S.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là \(200 - 0 = 200\).

Số lượng khách du lịch đến tỉnh Quảng Ninh được cho dưới bảng sau

Cỡ mẫu là \(n = 3 + 9 + 3 + 2 = 17\). Gọi \({x_1};\,\,{x_2};\,....;\,\,{x_{17}}\) là số khách đến Quảng Ninh du lịch và giả sử rằng dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc này là \({x_5}\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {5;9} \right)\) và ta có

\({Q_1} = 5 + \left[ {\frac{{\frac{{19}}{4} - 3}}{9}} \right].4 \approx 5,78\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{13}}\)nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {9;13} \right)\) và ta có

\({Q_3} = 9 + \left[ {\frac{{\frac{{3.19}}{4} - 12}}{3}} \right].4 = 12\).

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 12 - 5,78 = 6,22.\)

Ta có bảng phân bố của mẫu ghép nhóm 40 bé sơ sinh

Chiều dài trung bình của 40 trẻ là:

\(\overline x  = \frac{{45.3 + 47.3 + 49.10 + 51.15 + 53.7 + 55.2}}{{40}} = 50,3\) (cm)

Phương sai của 40 bé sơ sinh ở bảng thống kê trên là:

\({s^2} = \frac{{3.{{\left( {50,3 - 45} \right)}^2} + 3.{{\left( {50,3 - 47} \right)}^2}.... + 2.{{\left( {55 - 50,3} \right)}^2}}}{{40}} = 5,9\)

Bảng phân bố tần số tần suất của bảng số liệu của công ty bất động sản Đất Vàng

Mức giá trung bình của công ty là \(\overline x  = 19,448\) ( triệu đồng)

Phương sai của mức giá là: \({s^2} = 21,5\)

Độ lệch chuẩn của mức giá \(\sqrt {{s^2}}  = 4,6\)