Đề khảo sát tuyển sinh vào 10 môn Toán năm 2026 THCS Lý Tự Trọng (Quảng Ninh) có đáp án

Đáp án đúng: C

Đáp án đúng: C

Đáp án đúng: C

\[A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x + 1}}\]

\[A = \frac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1 + 2\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\left( {\sqrt x + 1} \right) = \frac{{2\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\left( {\sqrt x + 1} \right)\]

\[A = \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\left( {\sqrt x + 1} \right) = 2\]

Rút \(y\) từ phương trình (1) ta có \[y = 1 - 2x{\rm{ }}\](3).

Thế (3) vào (2) được \(3x - 2\left( {1 - 2x} \right) = 5\)\( \Rightarrow x = 1\).

Thay \(x = 1\) vào (3) được \(y = - 1\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x\,;y} \right) = \left( {1\,; - 1} \right).\)

Nhân hai vế của bất phương trình với 6, ta được: \(2\left( {1 - x} \right) - 3\left( {2x + 3} \right) \ge 6\)

Giải tìm được: \(x \le \frac{{ - 13}}{8}\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x \le \frac{{ - 13}}{8}\).

Theo định lí Viète, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 7\\{x_1}.{x_2} = 1\end{array} \right.\)

Suy ra \({x_1} > 0;{x_2} > 0\)

Vì\({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình (*) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 7{x_1} + 1 = 0\\x_2^2 - 7{x_2} + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 6{x_1} + 2 = {x_1} + 1\\x_2^2 - 6{x_2} + 2 = {x_2} + 1\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có:

\[\begin{array}{l}A = \frac{1}{{\sqrt {x_1^2 - 6{x_1} + 2} }} + \frac{1}{{\sqrt {x_2^2 - 6{x_2} + 2} }}\\ = \frac{1}{{\sqrt {{x_1} + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {{x_2} + 1} }}\\ = \frac{{\sqrt {{x_2} + 1} + \sqrt {{x_1} + 1} }}{{\sqrt {{x_1} + 1} \sqrt {{x_2} + 1} }}\\ = \frac{{\sqrt {{{(\sqrt {{x_2} + 1} + \sqrt {{x_1} + 1} )}^2}} }}{{\sqrt {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1\,} \right)} }}\\ = \frac{{\sqrt {{x_2} + 1 + {x_1} + 1 + 2\sqrt {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1\,} \right)} } }}{{\sqrt {{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1} }}\\ = \frac{{\sqrt {7 + 2 + 2\sqrt {1 + 7 + 1} } }}{{\sqrt {1 + 7 + 1} }} = \frac{{\sqrt {15} }}{3}\end{array}\]

Gọi số áo xưởng may được mỗi ngày theo kế hoạch là x (chiếc) (\(x \in {\mathbb{N}^*}\))

Thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch là \(\frac{{1200}}{x}\) (ngày)

5 ngày đầu, xưởng may được số áo là \(5x\)(chiếc)

Những ngày sau, mỗi ngày xưởng may được số áo là \(x + 10\) (chiếc)

Số áo cần phải may trong những ngày còn lại là \(1200 - 5x\)(chiếc)

Thời gian hoàn thành số áo còn lại sau 5 ngày là \(\frac{{1200 - 5x}}{{x + 10}}\)(ngày)

Vì hoàn thành xong trước 5 ngày nên ta có phương trình: \(\frac{{1200}}{x} - \left( {5 + \frac{{1200 - 5x}}{{x + 10}}} \right) = 5\)

Giải tìm được \({x_1} = 40\)(TMĐK); \({x_2} = - 60\) (loại)

Vậy số áo xưởng may được mỗi ngày theo kế hoạch là 40 chiếc.

a) Vì \(\widehat {BEC}\) và \(\widehat {BDC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[\left( O \right)\] nên \(\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = 90^\circ .\)

Suy ra \(BD \bot AC\,;\,\,CE \bot AB\).

Vì \[\Delta AEH\]vuông tại \[E\] nên \[\Delta AEH\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\]

Vì \[\Delta ADH\] vuông tại \[D\] nên \[\Delta ADH\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\]

Suy ra: tứ giác \[ADHE\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\]

b) Chứng minh: \[H\] là trực tâm của \(\Delta ABC\) suy ra \(AF \bot BC\)

Chứng minh: (g.g) (1)

Chứng minh: (g.g) (2)

Từ (1), (2) suy ra nên \(\frac{{AH}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{BD}}\) suy ra \(AH \cdot BD = AD \cdot BC\).

c) Chứng minh tứ giác \[A,\,\,M,\,\,F,\,\,O,\,\,N\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO.\]

Ta chứng minh được \(\widehat {AMN} = \widehat {AFM}\) (3)

Chỉ ra suy ra \(A{M^2} = AE \cdot AB\)

Chỉ ra suy ra \(AH \cdot AF = AE \cdot AB\)

Do đó \(A{M^2} = AH \cdot AF\)

Suy ra hay \(\widehat {AFM} = \widehat {AMH}\) (4)

Từ (3), (4) suy ra \(\widehat {AMN} = \widehat {AMH}\)

Vậy \[M,\,\,H,\,\,N\] thẳng hàng.

Gọi \[r,\,\,h\,\,({\rm{m}})\] lần lượt là bán kính của nửa đường tròn và chiều dài hình chữ nhật \[\left( {0 < r\,;\,\,h < 12} \right)\]

Ta có \(\pi r + 2h + 4\pi = 20\)

\(h = \frac{{20 - \pi r - 4\pi }}{2} = 10 - 2\pi - \frac{{\pi r}}{2}\)

\(S = 2rh + \frac{{\pi {r^2}}}{2} = 2r\left( {10 - 2\pi - \frac{{\pi r}}{2}} \right) + \frac{{\pi {r^2}}}{2} = 20r - \frac{{8 + \pi }}{2}{r^2}\)

Đặt \({a^2} = \frac{{8 + \pi }}{2}\).

Ta có: \(S = {\left( {{\rm{ar}} - \frac{{10}}{a}} \right)^2} + \frac{{100}}{{{a^2}}} \le \frac{{100}}{{{a^2}}} = \frac{{200}}{{8 + \pi }} \approx 17,95\)

Dấu “=” xảy ra khi \[ar = \frac{{10}}{a}\] suy ra \[r = \frac{{10}}{{{a^2}}} = \frac{{20}}{{8 + \pi }} \approx 1,8\].

Khi đó \(h = 3,574\)

Vậy cần uốn khung có chiều dài hcn là \[3,574\,\,{\rm{m}},\] bán kính đường tròn là \[1,8\,\,{\rm{m}}\] thì diện tích khung làm lớn nhất.