Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Thống Nhất (Thanh Hóa) Tháng 4/2026 có đáp án

10

Cho \[A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{2\sqrt x - 4}}{{x - 1}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x + 1}}\] với \(x \ge 0;x \ne 1\).

Rút gọn biểu thức \(A\)

\[A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{2\sqrt x - 4}}{{x - 1}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x + 1}}\]

\( = \left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\frac{1}{{\sqrt x + 1}}\)

\( = \)\(\left[ {\frac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\frac{1}{{\sqrt x + 1}}\)

0,5

\( = \left[ {\frac{{x - \sqrt x - x - \sqrt x + 2\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\frac{1}{{\sqrt x + 1}}\)\( = \left[ {\frac{{ - 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\frac{1}{{\sqrt x + 1}}\)

0,25

\( = \frac{{ - 4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{\sqrt x - 1}}\). Vậy \(A = \frac{{ - 4}}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\)

0,25

11

Cho phương trình \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn hệ thức: \({x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} = 1\).

Xét phương trình \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\)

Ta có: \(\Delta = 37 - 4m\)

Để phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thì điều kiện là:

\(\Delta \ge 0 \Rightarrow 37 - 4m \ge 0 \Rightarrow m \le \frac{{37}}{4}\) (*)

Với điều kiện (*), áp dụng định lí Viète cho phương trình (1), ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\;\;\;\,\,\,\,\,(1)\\{x_1}.{x_2} = m - 3\;\;\;(2)\end{array} \right.\]

Theo bài ra, ta có \(x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} = 1\)     (3)

Từ (1) suy ra : \({x_2} = 5 - {x_1}\) thế vào (3) ta được :

\({x_1}^2 - 2{x_1}\left( {5 - {x_1}} \right) + 3\left( {5 - {x_1}} \right) = 1\)

\(3{x_1}^2 - 13{x_1} + 14 = 0\)

\(\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {3{x_1} - 7} \right) = 0\)

\( \Rightarrow {x_1} = 2\) hoặc \({x_1} = \frac{7}{3}\)

Với \({x_1} = 2\) thì \({x_2} = 3\), thế vào (2) ta được: \(m = 9\) (thỏa mãn)

Với \({x_1} = \frac{7}{3}\) thì \({x_2} = \frac{8}{3}\), thế vào (2) ta được: \(m = \frac{{83}}{9}\) (thỏa mãn)

Vậy có hai giá trị của \(m\)thỏa mãn là: \(m = 9\) và \(m = \frac{{83}}{9}\).

0,25

0,25

0,25

0,25

Gọi \(x\) (km/h) là vận tốc của xe tải và \(y\) (km/h) là vận tốc của xe khách (\(x,y > 0)\).

Vì mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15km nên ta có: \(x - y = 15\;\left( 1 \right)\)

Đổi 1 giời 30 phút = \(\frac{3}{2}\) giờ, 40 phút = \(\frac{2}{3}\;\)giờ.

Thời gian xe khách đi được là: \(\frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{{13}}{6}\) giờ

0,25

Quãng đường xe khách đi được là \(\frac{{13}}{6}x\) (km).

Quãng đường xe tải đi được là \(\frac{2}{3}y\) (km).

Vì quãng đường Hà Nội đến Thanh Hóa dài 160 km nên: \(\frac{{13}}{6}x + \frac{2}{3}y = 160\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 15}\\{\frac{{13}}{6}x + \frac{2}{3}y = 160}\end{array}} \right.\) Giải hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 60(tm)\\y = 45(tm)\end{array} \right.\)

0,25

0,25

Vậy vận tốc của xe khách là 60 km/h và vận tốc của xe tải là 45 km/h.

0,25

a)    Chứng minh bốn điểm\(A,\,M,\,C,\,H\)cùng thuộc một đường tròn

a) Vì \(AM \bot MC;CH \bot AB\) nên: \(\widehat {AMC} = 90^\circ ;\widehat {AHC} = 90^\circ \).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\), ta có \(IA = IC = \frac{1}{2}AC\) \(\left( 1 \right)\)

0,25

Trong tam giác \(MAC\) vuông tại \(M\) có \(MI\) là đường trung tuyến nên \(MI = \frac{1}{2}AC\) \(\left( 2 \right)\)

Trong tam giác \(AHC\) vuông tại \(M\) có \(HI\) là đường trung tuyến nên \(HI = \frac{1}{2}AC\) \(\left( 3 \right)\)

0,25

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\), \(\left( 3 \right)\), ta có: \(IA = IC = IH = IM = \frac{1}{2}AC\).

0,25

Suy ra \(A,\,M,\,C,\,H\,\, \in \left( {I;\frac{{AC}}{2}} \right)\)

Vậy bốn điểm\(A,\,M,\,C,\,H\)cùng thuộc một đường tròn

0,25

b) Khi \(A,B\) cố định, chứng minh rằng : \(C{H^2} = AH.BH\)

Xét \(\Delta ACB\) có CO là đường trung tuyến ứng với cạnh AB và

\(CO = \frac{1}{2}AB\) suy ra \(\Delta ACB\) vuông tại C

Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta CHB\) có

\(\widehat {AHC} = \widehat {CHB} = 90^\circ \) (vì \(AH \bot AB\))

Xét tam giác vuông \(AHC\)có : \(\widehat {ACH} + \widehat {CAH} = 90^\circ \)

\(\widehat {ACH} + \widehat {HCB} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {CAH} = \widehat {HCB}\) (cùng phụ \[\widehat {ACH}\])

Suy ra: $\Delta AHC\backsim \Delta CHB(g.g)$

Do đó: \(\,\,\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{HC}}{{HB}}\), suy ra: \(C{H^2} = AH.HB\)

0,25

0,25

c) Xác định vị trí của \(C\) trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\) để \(AM.BN\) lớn nhất.

Vì \[AM \bot d\,;\,\,OC \bot d\] suy ra \(AM\,{\rm{//}}\,OC\).

Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\)

Ta có OA = OC suy ra \(\Delta OAC\) cân tại O

Suy ra \(\widehat {CAO} = \widehat {ACO}\) mà \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\) suy ra \(\widehat {CAO} = \widehat {MAC}\)

Xét \(\Delta AMC\) và  có

\(\widehat {AMC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \); AC là cạnh chung; \(\widehat {CAO} = \widehat {MAC}\)

Suy ra \(\Delta AMC = \Delta AHC\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AM = AH

Tương tự ta cũng chứng minh được \(\Delta HCB = \Delta CNB\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra HB = NB

0,25

Suy ra \(AM.BN = AH.HB = C{H^2}\)

Ta có \(CH \le CO = R\)

\(\begin{array}{l}Suy\,ra\,\,AM.BN \le {R^2} \Rightarrow Min(AM.BN) = {R^2}\,\\Khi\,\,CH = CO \Rightarrow \Delta ACB\,vu\^o ng\,\,c\^a n\,\,tai\,C\end{array}\)

Khi đó C là điểm chính giữa cung AB

0,25

Ta có hình vẽ minh họa như sau

Kí hiệu như hình vẽ

Ta được \[MI = 216\left( m \right)\];

\[MN = 1\left( {km} \right) = 1000m\]

Đặt: \[AM = x\,\left( m \right)\left( {x > 216} \right)\]

Áp dụng định lí Pytgagore trong tam giác vuông \[AMI\], ta có

\[AI = \sqrt {{x^2} - {{216}^2}} \left( m \right)\]

Nhận thấy , nên

    \[\frac{{AI}}{{MN}} = \frac{{AM}}{{BM}}\] suy ra \[\frac{{AI}}{{MN}} = \frac{{AM}}{{BM}} \Rightarrow BM = \frac{{MN.AM}}{{AI}} = \frac{{x.1000}}{{\sqrt {{x^2} - {{216}^2}} }}\]

Lúc này để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất, tức là \[AB\]có độ dài ngắn nhất .

Ta có \[AB = x + \frac{{1000x}}{{\sqrt {{x^2} - {{216}^2}} }}\]

Đặt \[a = \sqrt {{x^2} - {{216}^2}} \Rightarrow x = \sqrt {{a^2} + {{216}^2}} \], Khi đó

\[AB = \sqrt {{a^2} + {{216}^2}} + \frac{{1000\sqrt {{a^2} + {{216}^2}} }}{a}\]

\[\,\sqrt {{a^2} + {{216}^2}} = \sqrt {({a^2} + {{216}^2})\left( {\frac{{25}}{{34}} + \frac{9}{{34}}} \right)} \ge \sqrt {{{\left( {\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }}} \right)}^2}} = \left( {\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }}} \right)\]

Do đó \[AB = \sqrt {{a^2} + {{216}^2}} + \frac{{1000\sqrt {{a^2} + {{216}^2}} }}{a}\]s

\[\, \ge \left( {\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }}} \right) + \frac{{1000}}{a}\left( {\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }}} \right)\]

\[ = \frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{1000.5}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{1000.216.3}}{{a\sqrt {34} }}\]

\[ \ge \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{1000.5}}{{\sqrt {34} }} + 2\sqrt {\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }}.\frac{{1000.216.3}}{{a\sqrt {34} }}} \approx 1586\] (m)

Dấu “=” xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3a}}{{\sqrt {34} }} = \frac{{216.5}}{{\sqrt {34} }}.\\\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} = \frac{{1000.216.3}}{{a\sqrt {34} }}\end{array} \right.\] nên \[a = 360\]

Với \[a = 360 \Rightarrow x = \sqrt {{{360}^2} + {{216}^2}} = 72\sqrt {34} \]

Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là \[S \approx \frac{{1586}}{{100}}.200 \approx 3,172\] (tỉ đồng).

Khi đó điểm \(A\) cách \(M\) một khoảng \[72\sqrt {34} \,\,m\]

0,25

0,25