Số vận động viên bơi 50 m dưới 30 giây là: \(2 + 8 + 10 = 20\)(vận động viên)

Tổng số vận động viên tham gia giải bơi là: \(2 + 8 + 10 + 8 + 4 = 32\) (vận động viên)

Tần số tương đối của nhóm \(\left\{ {28;30} \right\}\)là: \(f = \frac{{10}}{{32}}.100\%  = 32,25\% \)

a) Thay \[x = 4\]vào biểu thức A ta được: \[A = \frac{{\sqrt 4  + 2}}{4} = 1\].

Vậy \[A = 1\].

b) \[B = \frac{{\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}}\]   với    \[x > 0,x \ne 1\]    

\[B = \frac{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) + 7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{x - \sqrt x  + 5\sqrt x  - 5 + 7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[B = \frac{{x + 3\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}}\]

c) Cho \[M = A:B\] Tìm tất cả các giá trị của x để \[2M - \frac{2}{x} \ge \frac{1}{4}\]                                           

\[M = A:B\]

\[M = \frac{{\sqrt x  + 2}}{x}:\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{x}\] với \[x > 0,x \ne 1\]    

\[\begin{array}{l}2M - \frac{2}{x} \ge \frac{1}{4}\\2.\frac{{\sqrt x  - 1}}{x} - \frac{2}{x} \ge \frac{1}{4}\end{array}\]

\[\begin{array}{l}\frac{{2\sqrt x  - 4}}{x} - \frac{1}{4} \ge 0\\\frac{{8\sqrt x  - 16}}{{4x}} \ge 0\end{array}\]

Ta có \[x > 0,x \ne 1\] suy ra  \[4x > 0 \Rightarrow \,\,\,8\sqrt x  - 16 \ge 0\]

Do đó \[\sqrt x  \ge 2\] nên \[x \ge 4\].

Vậy \[x \ge 2\]

Gọi \(x\)là số lá cờ xưởng phải làm mỗi ngày theo kế hoạch (\(x \in \mathbb{N}\), lá cờ).

Thời gian dự định hoàn thành là: \(\frac{{40000}}{x}\) (ngày).

Thực tế, mỗi ngày xưởng làm được: \(x + 200\) (lá cờ).

Thời gian thực tế hoàn thành là: \(\frac{{40000}}{{x + 200}}\) (ngày).

Vì xưởng hoàn thành sớm hơn 10 ngày so với kế hoạch, ta có phương trình:

 \(\frac{{40000}}{x} - \frac{{40000}}{{x + 200}} = 10\)

\(\frac{{4000}}{x} - \frac{{4000}}{{x + 200}} = 1\)

\(\frac{{4000(x + 200) - 4000x}}{{x(x + 200)}} = 1\)

\(4000x + 800000 - 4000x = {x^2} + 200x\)

\({x^2} + 200x - 800000 = 0\)

Giải phương trình ta được:

\({x_1} = \frac{{ - 100 + 900}}{1} = 800\) (thỏa mãn)

\({x_2} = \frac{{ - 100 - 900}}{1} =  - 1000\) (loại vì \(x > 0\))

Theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng sản xuất phải làm 800 lá cờ.

Gọi \(x\) là số lần ném trúng bóng vào rổ của học sinh (\(x \in \mathbb{N},0 \le x \le 10\)).

Khi đó, số lần ném bóng ra ngoài là: \(10 - x\) (lần).

Theo đề bài, mỗi lần ném trúng được cộng 3 điểm và mỗi lần ném ra ngoài bị trừ 1 điểm.

Tổng số điểm của học sinh đó là: \(3x - 1(10 - x)\) (điểm)

Để được chọn vào đội tuyển, học sinh phải đạt từ 20 điểm trở lên, ta có bất phương trình:

\(3x - (10 - x) \ge 20\)

\(3x - 10 + x \ge 20\)

\(4x - 10 \ge 20\)

\(4x \ge 30\)

\(x \ge \frac{{30}}{4}\)

 \(x \ge 7,5\)

Vì \(x\) là số lần ném trúng (phải là số tự nhiên) và \(x \ge 7,5\), nên giá trị nhỏ nhất của \(x\) thỏa mãn là \(x = 8\). Vậy học sinh đó phải ném trúng ít nhất 8 quả bóng vào rổ.

Cho phương trình \({x^2} - 6x + m = 0\). Biết phương trình trên có một nghiệm là \(x = \frac{5}{2}\). Tính giá trị của biểu thức \(M = \frac{{{x_1} - 1}}{{{x_2} + 2}} + \frac{{{x_2} - 1}}{{{x_1} + 2}}\)

Vì \(x = \frac{5}{2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 6x + m = 0\), ta thay \(x = \frac{5}{2}\) vào phương trình: \({\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - 6\left( {\frac{5}{2}} \right) + m = 0\)

\(\frac{{25}}{4} - 15 + m = 0\)

\(\frac{{25}}{4} - \frac{{60}}{4} + m = 0\)

\(\begin{array}{l} - \frac{{35}}{4} + m = 0\\m = \frac{{35}}{4}\end{array}\)

Khi đó phương trình trở thành: \({x^2} - 6x + \frac{{35}}{4} = 0\).

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 6}\\{{x_1} \cdot {x_2} = \frac{{35}}{4}}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(M = \frac{{{x_1} - 1}}{{{x_2} + 2}} + \frac{{{x_2} - 1}}{{{x_1} + 2}}\)

\(M = \frac{{({x_1} - 1)({x_1} + 2) + ({x_2} - 1)({x_2} + 2)}}{{({x_2} + 2)({x_1} + 2)}}\)

\(M = \frac{{(x_1^2 + {x_1} - 2) + (x_2^2 + {x_2} - 2)}}{{{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) + 4}}\)

\(M = \frac{{(x_1^2 + x_2^2) + ({x_1} + {x_2}) - 4}}{{{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) + 4}}\)

\(M = \frac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2} + ({x_1} + {x_2}) - 4}}{{{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) + 4}}\)

Thay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 6}\\{{x_1} \cdot {x_2} = \frac{{35}}{4}}\end{array}} \right.\)vào biểu thức \(M\):

\(M = \frac{{{6^2} - 2.\frac{{35}}{4} + 6 - 4}}{{\frac{{35}}{4} + 2.6 + 4}} = \frac{{\frac{{41}}{2}}}{{\frac{{99}}{4}}} = \frac{{82}}{{99}}\)

Vậy \(M = \frac{{82}}{{99}}\).

Bán kính của đường tròn đáy cốc là: \(r = 8:2 = 4(\;cm)\).

a) Diện tích xung quanh chiếc cốc của bác An là

\({S_{xq}} = 2\pi rl \approx 2.3,14.4.9,5 = 238,64\left( {c{m^2}} \right)\)

b) Thể tích chiếc ly là: \(V = \pi  \cdot {r^2} \cdot h \approx 3,14 \cdot {4^2} \cdot 9,5 = 477,28\left( {c{m^3}} \right)\)

Lượng nước trung bình bạn Bình uống mỗi ngày là:

\[65\% .V.7 \approx 0,65.477,28.7 \approx 2171,624\left( {\;c{m^3}} \right) = 2,171624\left( l \right)\]

Vì \(2,171624 > 2\) nên bạn Bình uống đủ nước theo khuyến cáo.

a) Do \(OC \bot AB\) tại \[O\] nên \(\Delta COB\) vuông tại O nên \(C,O,B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[CB\].

Có \(CH \bot BD\) tại \[H\] nên \(\Delta CBH\) vuông tại \[H\] nên \[C,\,\,H,\,\,B\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[CB\].

Vậy \(C,H,B,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[CB\] hay tứ giác \[OBHC\] nội tiếp.

b) Ta có \(OC = OB = R\) nên \(\Delta OBC\) vuông cân tại \[O\].

Khi đó \(\widehat {OCB} = \widehat {OBC} = 45^\circ \).

Do \[OBHC\] nội tiếp nên \(\widehat {CHO} = \widehat {CBO} = 45^\circ \) (cùng chắn cung \[CO\]) và \(\widehat {OHB} = \widehat {OCB} = 45^\circ \) (cùng chắn cung \[OB\]).

Suy ra \(\widehat {CHO} = \widehat {OHB} = 45^\circ \) hay \[OH\] là phân giác của \(\widehat {CHB}\).

Do \[OH\] là phân giác của \(\widehat {CHB}\) nên \(\frac{{CE}}{{BE}} = \frac{{CH}}{{HB}}\) (tính chất đường phân giác).

Do \(C \in (O)\) nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(CB \bot CD\) tại \[C\].

Suy ra \(\widehat {DCH} + \widehat {HCB} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {CBH} + \widehat {BCH} = 180^\circ  - \widehat {CHB} = 90^\circ \) nên \(\widehat {DCH} = \widehat {CBH}\) (cùng cộng \(\widehat {BCH}\) bằng \(90^\circ \))

Kết hợp \(\widehat {CHB} = \widehat {CHD} = 90^\circ \) suy ra  (g.g)

Suy ra \(\frac{{DH}}{{CH}} = \frac{{HC}}{{HB}}\).

Mà \(\frac{{CE}}{{BE}} = \frac{{CH}}{{HB}}\) nên \(\frac{{DH}}{{CH}} = \frac{{CE}}{{BE}}\) hay \(DH \cdot BE = CE.CH\)

c) Kẻ đường kính \[CM\] của \((O)\). Do \(K \in (O)\) nên \(KM \bot CK\).

Lại có \(K\) thuộc đường tròn đường kính \[CD\] nên \(\widehat {CKD} = 90^\circ \) hay \(DK \bot CK\).

Suy ra \(D,K,M\) thẳng hàng.

Gọi \({\rm{E'}}\) là giao điểm của \[CB\] và \[DM\].

Do \[CM\] là đường kính nên \(\widehat {CBM} = 90^\circ \) nên \(BM \bot CB\).

Mà \(CD \bot BC\) nên \(BM{\rm{//}}CD\).

Khi đó \(\frac{{CE'}}{{E'B}} = \frac{{CD}}{{BM}}\) (theo định lí Thalès).

Mà \(BM = BC\) nên \(\frac{{CD}}{{BM}} = \frac{{CD}}{{BC}} = \tan \widehat {CBD} = \frac{{CH}}{{BH}}\).

Vậy \(\frac{{CE'}}{{E'B}} = \frac{{CH}}{{HB}}\) suy ra \(HE'\) là phân giác của \(\widehat {CHB}\).

Mà \[HE\] là phân giác của \(\widehat {CHB}\) nên \(E \equiv E'\) hay \(D,E,K,M\) thẳng hàng.

Ta có \(\widehat {CDE} = \widehat {ECK}\) (cùng phụ \(\widehat {DCK}\)).

Kết hợp \(\widehat {CKD} = \widehat {CKE} = 90^\circ \). Khi đó .

Suy ra \(\frac{{CK}}{{EK}} = \frac{{DK}}{{CK}}\) hay \(C{K^2} = EK.DK\).

Lại có \(EK.DK \le \frac{{{{(EK + DK)}^2}}}{4} = \frac{{D{E^2}}}{4}\) nên \(C{K^2} \le \frac{{D{E^2}}}{4}\).

Suy ra \(CK \le \frac{{DE}}{2}\) hay \(DE \ge 2CK\).

Dấu "=" xảy ra khi \[K\] là trung điểm của \[DE\] hay \[K\] phải thoả mãn \(\widehat {KCD} = 45^\circ \).

Mà \(\widehat {ACM} = 45^\circ \) nên \(\widehat {MCK} = 90^\circ \) (vô lí).

Vậy \(C{K^2} < \frac{{D{E^2}}}{4}\) (đpcm).

Gọi số lần tăng giá là x (lần) (mỗi lần tăng \[10\,\,000\] đồng) \[\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right).\]

Giá vé mới là \[160\,\,000 + 10\,\,000x\] (đồng)

Số vé bán được là \[400 - 10x\]  (người)

Doanh thu là

 \[T = \left( {400 - 10x} \right)\left( {160\,\,000 + 10\,\,000x} \right)\]

\[\begin{array}{l} = 64\,\,000\,\,000 + 2\,\,400\,000x - 100\,\,000{x^2}\\ =  - 100\,\,000\,\left( {{x^2} - 24x - 640} \right)\\ =  - 100\,\,000\,\left[ {{{\left( {x - 12} \right)}^2} - 784} \right] \le 7\,8\,\,400\,\,000\end{array}\]

Giá trị lớn nhất của \[T\] là \[78\,\,400\,\,000\] khi \[x = 12\]

Do đó giá vé nên bán: \[160\,000 + 12.10\,\,000\,\, = \,280\,\,000\] (đồng/vé).

Số vé bán: \[400 - 10.12\, = \,280\] vé và doanh thu lớn nhất \[7\,8\,\,400\,\,000\] đồng.

Vậy nhà hàng nên bán vé với mức giá \[280\,\,000\] đồng/vé và bán 280 vé để doanh thu lớn nhất là \[7\,8\,\,400\,\,000\] đồng.