Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Nguyễn Tri Phương (Hà Nội) tháng 5/2026 có đáp án
9 câu hỏi
Một thư viện tiến hành khảo sát về thời gian đọc sách mỗi ngày của một nhóm học sinh và thu được kết quả như sau:
(a) Tìm tần số tương đối của nhóm học sinh đọc sách từ 60 phút đến dưới 90 phút mỗi ngày.
(b) Biết rằng số học sinh thuộc nhóm đọc sách từ 0 đến dưới 30 phút mỗi ngày là 45 học sinh. Hãy tính tổng số học sinh đã tham gia cuộc khảo sát này.
a) Tần số tương đối của nhóm [60; 90) là 40%
b) Biết rằng số học sinh thuộc nhóm đọc sách từ 0 đến dưới 30 phút mỗi ngày là 45 học sinh. Tổng số học sinh đã tham gia cuộc khảo sát này là:
\(\frac{{45.100}}{N}\% = 15\% \). Tìm được N = 300 học sinh.
Trong một chiếc túi có tổng cộng 5 viên bi với kích thước và khối lượng như nhau, gồm 3 viên bi màu xanh và 2 viên bi màu đỏ. Bạn Nam lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ trong túi. Tính xác suất của biến cố A: “Lấy được ít nhất một viên bi màu đỏ”.
Gọi ba viên bi màu xanh lần lượt là: X1,X2, X3
Hai viên bi màu đỏ lần lượt là: Đ1; Đ2
Số phần tử của \(\Omega \) là \(n(\Omega ) = 10\)
Các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là
n(A) = 7
Xác suất của biến cố A là \(P(A) = \frac{7}{{10}}\)
Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0;x \ne 4\)).
1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\).
2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\).
3) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(\frac{B}{A} \le \frac{{x - \sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\).
1) Thay \(x = 9\) (TMĐK) vào A ta có:
\(A = \frac{{\sqrt 9 + 2}}{{\sqrt 9 + 1}} = \frac{5}{4}\).
Vậy khi \(x = 9\) thì \(A = \frac{5}{4}\).
2) \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}}\)
\[ = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{x + 2\sqrt x + 3\sqrt x + 6 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]
\( = \frac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\) \( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\).
3) Ta có: \(\frac{B}{A} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\). \(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} \le \frac{{x - \sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\)
\(\frac{{x - \sqrt x + 2 - \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 2}} \ge 0\)
\(\frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} \ge 0\)
\(\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 2}} \ge 0\).
Vì \({(\sqrt x - 1)^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên xét 2 TH.
* Trường hợp 1: \({\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 0\) hay \(x = 1\) (TMĐK).
* Trường hợp 2: \(\sqrt x - 2 > 0\) hay \(x > 4\) (TMĐK).
Vậy \(x = 1\) hoặc \(x > 4\) thì \(\frac{B}{A} \le \frac{{x - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}}\).
Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4h. Nếu mỗi đội làm một mình xong công việc ấy thì đội thứ nhất cần ít thời gian hơn đội thứ hai là 6h. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu?
Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình xong công việc là (giờ, )
Vì đội thứ nhất làm nhanh hơn đội thứ hai 6h, nên thời gian đội thứ hai làm một mình xong công việc là: \(x + 6\) (giờ)
Trong 1 giờ, đội thứ nhất làm được: \(\frac{1}{x}\) (công việc).
Trong 1 giờ, đội thứ hai làm được: \(\frac{1}{{x + 6}}\) (công việc).
Trong 1 giờ, cả hai đội cùng làm được: \(\frac{1}{4}\) (công việc) nên ta có phương trình
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}} = \frac{1}{4}\)
Biến đổi PT (1) đưa được về dạng : \({x^2} - 2x - 24 = 0\) (2)
Giải PT (2) ta được \(x = - 4\) (loại) hoặc \(x = 6\) (TMĐK)
Vậy người thứ nhất làm một mình trong 6h thì xong công việc
Người thứ hai làm một mình trong 12h thì xong công việc
Một doanh nghiệp sản xuất áo phông có tổng chi phí là 300 triệu đồng/tháng. Giá bán của mỗi chiếc áo là 210 nghìn đồng. Hỏi trung bình mỗi tháng, doanh nghiệp phải bán được ít nhất bao nhiêu chiếc áo phông để thu được lợi nhuận không dưới 60 triệu đồng mỗi tháng?
Gọi số áo bán được mỗi tháng là \(x\) (chiếc, \(x \in \mathbb{N}*).\)
Số tiền thu được là: \(0,21x\) (triệu đồng).
Số tiền lãi một tháng là: \(0,21x - 300\) (triệu đồng)
Để thu được lợi nhuận không dưới 60 triệu đồng mỗi tháng, ta có bất phương trình: \[0,21x - 300 \ge 60\] nên \[x \ge \frac{{12\,\,000}}{7}.\]
Vì \(x \in \mathbb{N}*\) nên \(x \ge 1715\)
Vậy mỗi tháng cần bán được ít nhất là 1715 chiếc áo.
Cho phương trình \({x^2} - 5x + 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức \(A = \sqrt {11{x_1} + 8} + {x_2} + 9\).
Vì phương trình có 2 nghiệm \({x_{1,}}{x_2}\)nên theo định lí Viète, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}.{x_2} = 1\end{array} \right.\).
Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình nên:
\(x_1^2 - 5{x_1} + 1 = 0\)
\(x_1^2 - 5{x_1} + 1 + 11{x_1} + 8 = 11{x_1} + 8\)
\(x_1^2 + 6{x_1} + 9 = 11{x_1} + 8\)
\(\sqrt {11{x_1} + 8} = \sqrt {{{({x_1} + 3)}^2}} = \left| {{x_1} + 3} \right|\)
Vì phương trình có hai nghiệm cùng dương nên
\(A = {x_1} + 3 + {x_2} + 9 = {x_1} + {x_2} + 12 = 17\)
Một bình thủy tinh hình trụ có đường kính đáy là \(10\;\,{\rm{cm}}\) và chiều cao là \(20\,\;{\rm{cm}}\), bên trong đang chứa một lượng nước (coi độ dày của bình không đáng kể, lấy \(\pi \approx 3,14\)).
(a) Tính thể tích của bình thủy tinh đó.
(b) Người ta thả một quả cầu vào bình nước, quả cầu chìm hoàn toàn xuống đáy làm cho mực nước trong bình dâng cao thêm \(4\;\,{\rm{cm}}\) và nước không tràn ra ngoài (quả cầu không thấm nước). Tính bán kính của quả cầu đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
a) Bán kính đáy của bình là: \(R = 10:2 = 5{\rm{ (cm)}}\).
Tính thể tích bình thủy tinh là: \(V = \pi \cdot {R^2} \cdot h \approx 3,14 \cdot {5^2} \cdot 20 = 1570{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\)
b) Thể tích của quả cầu sắt bằng thể tích của phần nước dâng lên trong bình trụ.
Thể tích phần nước dâng lên là: \({V_{d\^a ng}} = \pi \cdot {R^2} \cdot h = 100\pi {\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).
Gọi \(r\) là bán kính của quả cầu.
Ta có công thức thể tích hình cầu: \({V_{cau}} = \frac{4}{3}\pi {r^3}\).
Thay số vào ta có: \(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} = 100\pi \).
\({r^3} = 75\) suy ra \(r = \sqrt[3]{{75}} \approx 4,22{\rm{ (cm)}}\).
Vậy bán kính quả cầu khoảng 4,22 cm.
Từ điểm \[A\] nằm bên ngoài đường tròn \[\left( O \right),\] kẻ hai tiếp tuyến \[AB,\,\,AC\] với đường tròn \[\left( O \right)\] \[(B,\,\,C\] là hai tiếp điểm).
(a) Chứng minh tứ giác \[ABOC\] là tứ giác nội tiếp.
(b) Vẽ đường kính BD của đường tròn \[\left( O \right).\] Gọi \[E\] là giao điểm thứ hai của đường thẳng \[AD\] và đường tròn \[\left( O \right).\] Đường thẳng \[BC\] và đường thẳng \[AO\] cắt nhau tại \[H.\]
Chứng minh \[AH \cdot AO = A{B^2}\] và \(\widehat {OHD} = \widehat {AHE}.\)
(c) Tia \[CE\] cắt \[AH\] tại \[M\]. Chứng minh \[M\] là trung điểm của đoạn thẳng \[HA.\]
a) Giải thích \(\Delta ABO\) vuông tại B, \(\Delta ACO\) vuông tại C
Xét \(\Delta ABO\) vuông tại B nội tiếp đường tròn đường kính \[AO\]
Suy ra 3 điểm \[B,\,\,A,\,\,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\] (1)
Xét \(\Delta ACO\) vuông tại C nội tiếp đường tròn đường kính \[AO\]
Suy ra 3 điểm \[A,\,\,C,\,\,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[A,\,\,B,\,\,O,\,\,C\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\]
Vậy ABOC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh: OA vuông góc với BC
Chứng minh (gg)
Suy ra \(A{B^2} = AH.AO\)
Chứng minh suy ra \(\widehat {AHE} = \widehat {ODA}\)\(\)
Chứng minh \(OH.OA = O{B^2} = O{D^2}\)
Chứng minh suy ra \(\widehat {OHD} = \widehat {ODA}\)=> =
c) Chứng minh suy ra \(\frac{{CH}}{{DC}} = \frac{{HA}}{{CB}}\)
Chứng minh \(\widehat {DEC} = \widehat {DBC} = \widehat {BAO} = \widehat {HEB}\)
Chứng minh \(\widehat {HEC} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {MHE} = \widehat {HCM}\)
Chứng minh \(\widehat {HDC} = \widehat {DHO} = \widehat {MHE} = \widehat {MCH}\)
Chứng minh suy ra \(\frac{{CH}}{{DC}} = \frac{{HM}}{{CH}}\)
Suy ra \(\frac{{HA}}{{CB}} = \frac{{HM}}{{CH}}\), mà \[BC = 2CH\] nên \[HA = 2HM\] suy ra \[M\] là trung điểm \[HA.\]
Một công ty may mặc dự định tổ chức cho toàn thể cán bộ nhân viên đi nghỉ mát tại Sầm Sơn. Tổng số người tham gia là 1100 người. Công ty đã liên hệ với đơn vị vận tải để thuê 2 loại xe: Loại xe 25 chỗ ngồi có giá thuê là 2,5 triệu đồng/xe. Loại xe 45 chỗ ngồi, giá thuê là 4,2 triệu đồng/xe (cả hai loại xe đều không kể tài xế). Hỏi công ty cần thuê mỗi loại bao nhiêu xe để vừa đủ chỗ ngồi cho 1100 người (không dư ghế nào) và tổng chi phí thuê xe là thấp nhất?
Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là số xe loại 25; 45 chỗ ngồi. ĐK: \(x,\,\,y \in \mathbb{N}*\)
Theo bài ra, ta có 25x + 45y = 1100 hay 5x + 9y = 220
Chi phí thuê xe là: \[T = 2,5x + 4,2y\]
Từ 5x + 9y = 220
Suy ra \(y = \frac{{220 - 5x}}{9} = \frac{{216 - 9x + 4\left( {x + 1} \right)}}{9} = 24 - y + \frac{{4\left( {x + 1} \right)}}{9}\).
Để y là số tự nhiên thì 220 – 5x chia hết cho 9.
Suy ra \(1 + x\,\, \vdots \,\,9\), do đó x chia 9 dư 8.
Mà \[y > 0\] nên \[x < 44\] suy ra \(x \in \left\{ {8\,;\,\,17\,;\,\,26\,;\,\,35} \right\}\).
Ta có bảng sau:
Suy ra \[x = 8\] (TMĐK); \[y = 20\] (TMĐK)
Vậy công ty cần thuê 8 xe 25 chỗ và 20 xe 45 chỗ. Khi đó chi phí thuê xe thấp nhất là: 104 triệu đồng.
